i + z*). A.sin. (v+iv+e
' -. m*— ai— i' '
Cette dernière quantité est insensible; car iv s'élevant au plus à cinquante secondes par année, et-^m^v, qui exprime à peu près, comme on le verra dans la suite, le mouvement rétrograde du nœud, surpassant 20"", -m' est au moins quatre mille fois plus grand que qi; on peut donc négliger le terme
S.Lji — (iH-i)*},sin. [v + iv-^e)
dans l'équation différentielle en 5^, et alors cette équation est indépendante de tout ce qui a rapport au mouvement séculaire de
Técliptique. Uinclinaison moyenne de Torbite lunaire à Técliptique vraie est une des arbitraires de Tintégraie de cette équation; on voit donc qu'à raison de la rapidité du mouvement des nœuds de la lune, cette inclinaison est constante^ et la latitude s^ de la lune au-dessus de Técliptique vraie est la même que dans le cas où cette écliptique serait immobile; nous pourrons conséquemment supposer dans les recherches suivantes s = Oj ce qui simplifiera les calculs.
Nous aurons de cette manière, en négligeant les quantités des ordres m u' 5* , et m u' ,
Q= , -hm'uH 7^-,ji-4-3cos.(2t; — 2v) — 25M
-4- g\ .{3 (1 — 45').cos.(v — v')-f-5cos.(3i; — 3w')}; d'où l'on tire, en négligeant les quantités de l'ordre m' a'* 5%
\dtt/ u \ds ; (,+,«)r 2« ^ ^'
8T~{ (3 — 45'). cos,(i;— v') + 5 cos.(3i; — '6v) \ ,
H= ^.sin.(2i;— 2v') ^^.{3(i— 45*).sin.(i;— i;')+i5sin.(3î; — i^î;')"},
(dQ\ us m'.u^'s 3m'.a'*5 , ,v
4. Pour intégrer les équations (L) du n** I, nous observerons que sans la force perturbatrice du soleil, la lune décrirait une ellipse dont le centre de la terre occuperait un des foyers. On aurait alors par le n° 16 du second livre,
5=:y.sin. [v — 0),
équations dans lesquelles y est la tangente de Tinclinaison de Forbite lunaire; d est la longitude de son nœud ascendant; e et isr sont deux arbitraires dépendantes principalement de Texcentricité de l'orbite, et de la position du périhélie, y et ^ sont des quantités fort petites : en négligeant la quatrième puissance de y, on aura
»= K(/+y«) 'l^"^Ty'-^-g-<^s-(^— ^)— t/-<^s.(2i; — 20)}.
Cette valeur de u suppose Tellipse lunaire immobile; mais on verra bientôt qu'en vertu de l'action du soleil les nœuds et le périgée de cette ellipse sont en mouvement. Alors, en désignant par [i — c).v, le mouvement direct du périgée, et par [g — i).v, le mouvement rétrograde des nœuds, on aura
5=y.sin. [gv — 6);
Si l'on substitue cette valeur de u, dans l'expression de dt du n"" 1, et si l'on observe qu'en négligeant l'attraction solaire,
|i+|(e*+/) — 2^.(i+-|-e'+-|-7*).cos.(cî;— ttr) +-f-e\cos.(2Cî;— 2«)— e'.cos.(3ci;— 3ttT)+Yy*. cos.(2^î;— 20) —\ey\\cos.{2gv+cv-'2d'-^)+cos.{2gv—cV'-2d+^)\
ce qui donne en intégrant,
f=const. + À'.v. (i+|e*+-|-/)~ L^.(i+|e*+|/).sin.(cv-45) + -7 — .sm.(2ct;— 2ttT) 5— .sm.(3cî;— 3ttT)+-y^ . sm.(2^i;— 2 0)
Les coefficients de cette intégrale sont un peu modifiés par Faction du soleil, comme on le verra dans la suite.
Dans l'hypothèse elliptique, le coefficient de v de cette exprès-
sion est, par le n"" 16 du second livre, égal à a' ; ce qui donne
a étant le demi-grand axe de Tellipse; on a donc alors
h = a^.[i—±e^ — ±Y); et par conséquent,
n = -.\i+é'+\y^+e.{i+e^).cos.{cv—^)—\y\cos.[2gv — 2d)\.
En faisant ensuite n=a % on aura
nt+e=v . (i— •^/).sin.(cî; — ttT)+ y— .sin.(2Cî; — atsr)
— Y--sin.(3ct; — 3ttT)+ ^.sin.(2^î; — 2 0)
- Ti — -. — z.sm.(2qv+cv—20—^)— , , ^ — r.sin.faoî;— ci;— 2 0-Hsr), 4{2 5f+c) ^ ^ ^ ^.(îjf— c) ^ ^ '
e étant une arbitraire. Dans la substitution de nt-he, on pourra supposer c et ^ égaux à Tunité, et négliger les quantités de l'ordre e\ ou ey% dans les coefficients des sinus. On aura ainsi, en conservant le terme dépendant de sin.(2jft; — cv — 20-4-«), qui nous sera utile,
?if+e=t;— 2c.sin.(cî;— ttT)+-|-e*.sin.(2ct;— 2ttT) + -j-y*.sin.(2^v— 20)
En marquant d*un trait pour le soleil les quantité relatives à la lune, et observant que y =o, on aura
n'f-h e'=t;' — 2e. sin. [cv — ^') '^\e\ sin. (2cV — 2^') , a'= ly.[i^é''\-e. [\'\-e').cjos.{cv—^)\.
