TOME III

L'origine du temps t étant arbitraire, nous pouvons supposer e et e nuls, et alors en faisant — = m, la comparaison des valeurs de 71 f et de ut donnera

V — 2e.s\n.{cv — 'cy'j -Hy^''-^^^*!^^'^' — 2'®') = mv — 2m^. sin.(ri; — ^) -]- ~ messin. [2c v — 2^) -hjm.y\s\n.[2gv — 26) — \mey\ sin.[2gv — cv — ^d-h'ts];

d'où Ton tire, en observant que c est extrêmement peu difïérent de l'unité,

v=:mv — 2me.s\n. [cv — ^)-+-j^me\s\u. (2 ci; — 2^)

-f-Ymy'.sin. [^fjv — 26) — ^mey\ sïn. [2 g v — cv — 2 0-+-ttr) -[-2e.[i—jc']. sin. [cmv — 'U!f')—2mee.s\n.[cv+cmv--'&—^') — 2mer . sin. cv — cmv—^-\-^')~\-\e\sin.[2cmv—2'Ts')j

,__ 1 (1 + ^'. (1 — ye') . COS. [cmv —^') + e'\ cos.(2cmr — 2tar')

a i -\-mee .COS. [cv—cmv—'cs+'af ) — mec . coi>.[cv+ cmv — "cs — ^' )

5. On substituera ces valeurs de u, u, s et v, dans l'expression de Q et de ses différences partielles , que l'on développera ainsi en sinus et cosinus d'angles proportionnels à v; mais il est nécessaire, pour ce développement, d'établir quelques principes relatifs au degré de petitesse des quantités qui entrent dans ces fonctions, et à l'influence des intégrations successives sur leurs différents termes.

La valeur de m est à peu près égale à la fraction —^r : nous la

regarderons comme une quantité très-petite du premier ordre. Les excentricités des orbites du soleil et de la lune, et l'inclinaison de l'orbite lunaire à récliptique,sont à peu près du même degré de petitesse : nous regarderons ainsi les carrés et les produits de ces quantités comme très-petits du second ordre; leurs cubes et leurs produits de trois dimensions comme très-petits

du troisième ordre, et ainsi de suite. La force perturbatrice du

soleil est de Tordre — ^ , et Ton a vu dans le n° 3 que cette

quantité est de Tordre m', ou du second ordre. La fraction -7

étant à peu près égale à ^ — , elle peut être considérée comme

étant du second ordre. Nous porterons d'abord les approximations jusqu'aux inégalités du troisième ordre inclusivement, et dans le calcul de ces inégalités, nous aurons égard aux quantités du quatrième ordre; mais il faut une attention particulière pour ne laisser échapper dans les intégrales aucune quantité de cet ordre. Le développement de la seconde des équations (L) du n** 1 lui donne la forme suivante ,

ddu T.., „

dv*

N* ne différant de Tunité que d'une quantité de Tordre m', et II étant une suite de cosinus de la forme k.cos. [iv~he). La partie de H relative à ce cosinus est, par le n*" 41 du second livre, égale à

___.cos.(ii;-+-s);

or il est clair que si i* ne diffère de Tunité que d'une quantité de Tordre m, le terme A. cos. (/t;-f-e) acquiert par l'intégration un diviseur de cet ordre, et par conséquent il devient beaucoup plus considérable et de Tordre r — 1 , s'il est de Tordre r, dans l'équation différentielle. On verra dans la suite que c'est à cela qu'est due la grandeur de Tinégalité nommée évection.

Les termes dans lesquels i est fort petit, et qui ne se rapportent qu'au mouvement du soleil, n'augmentent point parTintégration, dans la valeur de u; mais il est visible, par la première des équations (L) du n° I, que ces termes acquièrent le diviseur /, par f intégration, dans Texpression du temps t; il faut donc faire une

grande attention à ces termes. C'est de là que dépend la grandeur de l'équation nommée équation annuelle.

Les termes de la forme kdv.sin.[iv'\-e) de l'expression de

|-7-^|,-^, acquièrent, par l'intégration de cette expression différentielle, un diviseur de l'ordre i, dans la valeur de u; d'où il semble que dans l'expression du temps t ils doivent acquérir un diviseur de l'ordre i*, ce qui rendrait ces termes fort grands, lorsque i est très-petit; mais il est essentiel d'observer que cela n'est pas , et que si l'on n'a égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, ces termes n'ont point, dans l'expression du temps, de diviseur de l'ordre i\ Pour le faire voir, nous observerons que , par le chapitre viii du second livre , l'expression de V en fonction du temps ne peut acquérir de diviseur de l'ordre i* que par la fonction — 3a.fndt.fàQ, la différentielle dQ étant uniquement relative aux coordonnées de la lune. Si Q contient un terme de la forme /f.cos.(â-+-e), i étant fort petit, ce terme ne peut acquérir un diviseur de l'ordre i* qu'autant que dQ n'acquiert point un multiplicateur de l'ordre i: la partie de l'angle it relative à la lune ne peut dépendre que des moyens mouvements de la lune, de son périgée et de ses nœuds, lorsque l'on n'a point égard au carré de la force perturbatrice; cette partie, si i est fort petit, ne dépend point du moyen mouvement de la lune; elle ne peut donc alors dépendre que des mouvements de son périgée et de ses nœuds. Dans ce cas, dQ acquiert un multiplicateur de l'ordre de ces mouvements , c'est-à-dire du second ordre; ce qui fait perdre au terme dont il s'agit son diviseur de l'ordre i\ Les angles, croissant avec lenteur, n'ont donc, dans l'expression de la longitude vraie en fonction du temps, qu'un diviseur de l'ordre i; et il est aisé d'en conclure que cela a également lieu dans l'expression du temps en fonction de la longitude vraie. Mais, si l'on a égard au carré de la force perturba-

irice, la partie de Tangle it relative aux coordonnées de la lune peut renfermer le moyen mouvement du soleil, et alors la difiFérentielle àQ n acquiert qu un multiplicateur du premier ordre, ou de l'ordre de m. On pourra, d'après ces principes, juger de l'ordre auquel les divers termes des 'équations différentielles s'abaissent dans les expressions finies des coordonnées.

6. Développons, d'après ces considérations, les différents termes de la seconde des équations (L) du n** 1 . Dans l'hypothèse elliptique , la partie constante de u serait -. ( i -he' -f- x7' -+- ^ ) » ^ étant

une fonction de la quatrième dimension en eety; et l'on aurait

ê' étant pareillement une fonction de la quatrième dimension en e et y. L'action du soleil altère cette partie constante de u; mais

a étant arbitraire, nous pouvons supposer que -.(i+e^+^y' + ê)

représente toujours la partie constante de u. Dans ce cas, on n'aura plus A* = a . ( i — e* — 7' -+- S' ) • i^ous ferons alors /«* z=z a . ( 1 — e* — / -h ê' ) , a étant une arbitraire qui , sans l'action

du soleil, coïnciderait avec a. Nous ferons ensuite

m '.Cela

posé, le terme ^^ de l'expression de i,.(^^ J.(^), deviendra par son développement

— 3^.(i-h-5-e*-h|e'').cos. {cv — ^) -H3e'.(i-{-e'-+-|/-4-|c*).cos.(cmt;— tsr') — y{3-{-2m).^^'.cos.(ct;-hcmi; — 'cy — 'cr') — -f-iS — 2m).ee.cos.{cv — cmv — ^-^^') y -h3e*.cos,(2Cî; — 2«) H--|-/.cos.(25fi; — 2 0) H-Ye*.cos,(2cmt; — 2^')

— -|'e7'.cos.(2^t; — cv — 20-+-«)

Pour développer le terme — rrr-^^i'^^ — ^^ ) ^^ Texpression de — ji\'T^) ^T^i'J^)^ ^^^^ alloDS d'abord donner le développement de 3m'. tt'*. COS. (21; — 2v). Ce terme développé devient

/(i — -f-e* — ^m\e*).cos.[2v — imv) \

-f- Y e'. COS. (21; — 2mv — cmv-h'Uf')

— Y^. COS. (21; — 2mv-hcmv — ^') '+-2me.cos.[2v — 2mv-+-cv — tsr)

— 2me.cos.(2i; — 2mv — cv-+-^) -f-YAcos.(2v — 2mv — 2cmvH-2tïr') — Ymee.cos.[2v — 2mv — cv— -cmv-f-tsr-h'cy') -hymee. cos.(2i; — 2mv-^cv — cmv — ^tsf-htsr') — -5-m^e.cos.(2i; — 2mv-^cV'^cmv — ^ — 'cy') -h Y me^'. COS. (21; — 2mv — cv-hcmv-h'Uf — W)

-j — ^.e*.cos.(2ct; — 2t;H-2mt; — 2^)

^ — 7 — ■' .e\cos.(2a;-h2i; — 2mv — 2^]

~-.cos.[2gv — 2V'-\-2mv — 2 0) — y-.cos.(2^vH-2t; — 2inv — 26) T-^.cos.(2t; — 2mn — 2gV'+'CV-h2d — tzr)

Il faut multiplier cette fonction par —7^ — -^, et Ton a ce facteur en faisant è nul dans le développement précédent de ' ^ , et en multipliant cette dernière quantité par —7-; on aura ainsi, à trèspeu près, en négligeant les quantités qui restent de Tordre m* après les intégrations,

/ (i+«*+x7'— Ye'*).cos.(2i; — ami;) \

— ^ ^.e.(i+Ye'— |-e'*).cos.(2i; — ami; — cv+ist)

— -^ ^.^.cos.(2i;— 2mv + cî?— tzr)

+ Ye'.cos.(2i; — 2 m v — cm r+tar')

— ■je\cos.(2v — 2mi;+c'mi; — 'Of')

21(1+21») il t f\ ^—7 -. ee . cos.[iv '— imv — cv — cmv +"(3 +"& )

21(1 — 2Wl) , f . , fK

^—. ^ .ee.cos.(2i;— 2mt; + ct;--cmt;— tsT+© )

^, + -^ — ; — '-. ee . cosAiv -- imv — cv + cmv+^ —^ ) 3m / 4 ^ '

-7;-— -.cos.(2i; — 2r ):

' + -^ — 1 — '-.ee .cos.yiv — imv + cv + cmv — TS'-m)

+ ye*. cos.(2t;— 2mv — icmv+i'us')

+ 7 ^.e*. cos-.(2ci; — 2r+2mv — 215)

+ ^ j -^.e\cos.(2cv+2t;- imv—im)

+ -^ — -r — ^•)^\cos.(2^î;— 2i;+2mt;— 2O)

+ -^ — ^ — ^.7\cos.(2^i;+2t;— 2mt; — 20)

Leterme|^\cos.(r-t;')derexpressionde-i.(^)-^(^), donne les suivants,

\^ . (i-4-2e"-f-2eM.-7.cos.(t; — mi;] oa^ ^ ' a "" '

H — ^ — . -,.e.cos. v — mv-hcmv — tsr 8a^ a ^ '

H i — .-.e.cos.fv — mv — cmv-i-'cy ),

-7 étant, par le numéro précédent, de l'ordre m*, les deux premiers de ces termes deviennent de Tordre m' par les intégrations. L'inégalité dépendante de l'angle v — mv étant très-propre à faire

connaître la parallaxe du soleil, donnée par le rapport -, il importe de la déterminer avec un soin particulier: je porterai par cette raison, dans le calcul de cette inégalité, l'approximation jusqu'aux termes de l'ordre m* inclusivement.

Développons maintenant le terme (^) • i, , i de la seconde

des équations (L) du n® 1. Ce terme contient d'abord le suivant,

3m'.tt'' du . , f\ r\ Zm'.u'^ . , ,.

Ï-— 7---r--sm.(2i; — iv). On aura rr— r-sm.(2r — iv],

ih^.u^ dv ^ ' 2n\u^ ^ '

en augmentant iv d'un angle droit, dans le développement pré-

cèdent de ./ ^ .cos.(2i; — iv). Il faut ensuite multiplier ce développement par —T- ou par

— ce. (i-h-j-e* — y/) .sin.(ci; — tsr)

-+'\ce\S\Ti.[2CV 2^)

— -j-c^. sin.(3ct; — Stsr) -+-Y^y\ sin.(2^t; — 2 0) — T^7'- sin.(25fi; — cv — 20-f-tzr).

On aura ainsi

.(i+ - — ^^^.é'—\e^\.cos.{2v--2mv'--cv + ^)

— ce.cos.^iv — ^mv + cv — ^) +Yce^'. cos.(2î;— 2mv— cv— cmr+tsT+tïr') — ycee'. cos.(2i;— amv+cv — cmi;— ist + 'Of') —^cee . cos.[2v — 2mv — cv + c'niv+tsT— tzr')

■7— — .-j-.Sin.(2r--2V )=-7- - / V / X

ft o av ^^* +2c.(i— m) .e".cos.(2ct;+2t;— 2mr — 213?)

4mc. e*.cos,(2t;—2mv)

— ^.y.cos.(2^t?— 2t;+2mv — 2 0)

+^.y'.cos.(2^i;4-2t;--2mt;— 2 0)

^ — y — ^-.ey\cos.[2v—2mv — 2gv + cv + 20'-^j

Les termes

de l'expression de f^j. . ° , ne produisent aucune inégalité de troisième ordre dans les intégrales.

Développons enfin le terme ^ . l [-j^] •— r- Ce terme contient le suivant, -j—. l ^ \^ .sin.(2t;— 21;'). Le développement précédent de — T^.cos.(2v—2v) donne celui de rrV--sin.(2v— 2v'),

en y augmentant 2v d'un angle droit, et en multipliant par - ou par

\ — e. (1 — -J-e" — -|-/) .cos.(cr — ^)^ 2a. |-|-±^. cos.(2ct; — 2tïr) 1-4-77*. cos.(2^i; — 20)