TOME III

On aura ainsi

3m' r u\dv . / ,v

cos.[2v — 2mv)

2 IL ^|i4.A^i±yi Ag'*j^^^cQs.^2i;--2mt;— cv+tsT^

2 (i — m , V -^ .e .cos.[2v—2mv+cv—'Ui]

H , ^ ,, — r-.cos.(2v— 2mt; — cmv+'cy')

COS. (2 1; — 2 mv + cm v — 'cy' )

7(2+3m).ee' / ' . . '\

— '-) 7i — - — T.cos. 2v--2mv — cv — cmr+'OF+tar

2(2 — om — c) ^ '

7 (2— 3 m). ce' / , , /x

— -M T, — - — T.cos. 21; — 2mî; + ci;— cmr — tST + 'CT

2(2— om + c) ^ '

o — , a / {2+m).ee , , , . ,n

(2 — m).ee' , / /x

+ -^-7 ^ r^.cosA2v—2mv + cv + cmv—'ts—'ts ]

(io + iqm + 8mM ^ / , ^v

+ ^"-r-, — {.e\cosA2cv + 2v — 2mv—2^]

4(2gf — 2 + 2m) ' V J /

H 7 — ^ — r.(?'*. cos.(2i; — 2mî; — 2cmî;+2'cy')

2 [2 — km) ^ ^

Dans cette formule, les termes dépendants des angles

2CV — 2v-f-2mi; — 2'cy et 2gv — 2i;H-2mv — 20

ont des diviseurs de Tordre m , et ils acquièrent de nouveau ces diviseurs par l'intégration, dans l'expression de la longitude moyenne de la lune; ce qui les réduit au second ordre, et ce qui semble devoir donner de grandes valeurs aux inégalités relatives à ces angles. Mais on doit observer que , par le n"* 5 , les termes qui ont pour diviseur le carré du coefficient de v (ians ces angles se détruisent. à très-peu près, dans l'expression de la longitude moyenne; en sorte que les inégalités dont il s'agit deviennent du troisième ordre et conformes au résultat des observations, comme on le verra dans la suite. On peut se dispenser, par cette raison , de considérer, dans le calcul de ces inégalités , les quantités multipliées par e\ ë'y\ et y*; car les quantités du quatrième ordre qui en résultent après les intégrations se détruisent à très-peu près.

L'intégrale -j-. | i-j^y-^ contient encore le terme

3m^ Ç n'.dv

dv . f M sm.(i; — V );

ce terme donne les suivants,

i Lj! i-i * .cosAv — mv)

. . ,. , ,e.cosAv — mr-hc'mi; — ^')

cos.(v — mv — cmv -Hcr') ^

1— 2in

les autres termes de la même intégrale peuvent être ici né^igés. Cela posé, si Ton observe que l'expression de n, du n** 4, donne

-f-(i — cn.e.cosAcv — "m] \ J \ J

le terme ( -^ "*"^)-ir- |(t^)"^^^^^ seconde des équations (L)

228 MÉGANIQUE CÉLESTE

du n'' 1 , donnera par son développement

• cos.fat;— amr)

+ -77 r ^^ ^•(l+T^—T^ ) .e.C0S.(2V— 2mt?— Clî+ISy)

(a(i— Wl) 2— 2m— C V * 2 /) \ /

H T-^-ô — r.cos.(2t;— 2mi; — cmv+tîT')

.cos.(2î;— 2 mt; + cm t;—«')

7(2+3m) , f f f\ P— 5 V.ee.cos.(2t; — 2mv— cv — cmr+tsT+tST )

7(2 — 3 m) , / . / ,x P— ô ^.ee.cos.(2t; — 2mt;+ct;— cmt;— tsr+tsT )

^ ^— T. ee.cos.(2t; — 2mv— cv + cmv+tsr— ta?

3m" -( / "~^^ , . ^e'.cos.(2t; — 2mî;+ci;+cmi;— «— «')

' \ (lO+iom+Sm*) , / . \

— ^-T-, — r^.c\ cos.(2ci;— 2i;+2mt; — 2«j)

(10— lom+Sm*) - , X

+ S-7 — r^. ^ . cos.{2Ci;+ 2î;— 2mt;— 215)

H — 7-^-î — r.cos.(2î;— 2mt;— 2cmt;+2'cr') 2(2— 4m) ^ '

( 5+»» 3(1— m) ) , / fï \

— -r-7 —\ + -7-7-^ f-T .ey'.cos. (2 r— 2 mv— 2 ai;+ctH-2 O-^or)

(4(2— am- 2j+c) 4(2— 2m-f-c)) ^ ^ «^ '

+ ^ — 7^7 r-^.-T.cos.fi; — mv)

+ y -T. c . cos.(t;— mu + cm t; —tsr' )

+ -7-7 r.-7.c.cos.(v— mv— cmu+tj')