TOME III

3+2ni — a 7 4.9'— i

!5+m 3 1— m 1 i + 2mH ^ — 5 J 1 — 2m 6 — im \

0=j ,-{2«jf-c)'|.^,"

1— 2ni

. a \ 36 + 2im-i5re' ^^ „„ ^ ^ (''^"'L i '" .c*

4(i-TO)

(57-38 m) jw , ijD(u), D(,s)j 2l

o-, ( i5— i8/w / V 76 — 33iîi I ,,

11 . Considérons présentement la troisième des équations (L) du n** 1 . La fonction

devient

j /dQ\ ji+ss) /dQ\ hKu'\da) A'.a' '\ds)

, cos

/ M 3m'. u'*. S ( iicos.(v— v') 1 ^'"^ '"^ + -8ÂriF-j+ 5cos.(3r-3»')r

développons ces différents termes. Le terme — ' \ donne « par

son développement, la fonction

2/l\tt*

|(i-H2e*— |y"-f-|e^)sin.(^v— 0) 1 — !ie.sin.(^t;-4-ct; — — t?)

— 2e.sm.[gv — cv — 0H-«) -hYe'.sin.(^t;-hciiit? — — tu') -4-~e'. sin.(^i; — cmv — O-i-t?')

— ^e\s\n.[2cv — gv — a«-hô)

Le développement de — .\ \ .cos.(2v — nv) se réduit à multiplier le développement de ' ^ .cos.(2!; — 2v) , que nous avons donné dans le n*" 6, par -; et Ton aura

i-H2e*— / '7^— i^* \.sm.[iv — 2mv—gv^t-B)

+ ûa\iv — imv+gv — Q)

) .e.sm.[2v—imv+gv — cv—B + ^)

) .e.sm^gv+cv — iv + imv — B — ^)

) .e.sin.(2v — amv— ^v + cv+fl — «)

) .e.sm\gv + cv+iv—imv-'B—'ts)

[iv — imv^gv—cmv + B+^')

[iv— imv+ gv —cmv— B +'&')

[iv—imv—gv+cmv+B — '&')

[2v—imv+gv+cmv — B—'&')

10+19 w+Sto* ^, (5in.(2i;— amv — 2cv+5fi;+2t5— ô)l (+sin.(2cv+5fv— 21;— amv — atff—ô))

— fe.sm.

+Y«'.sin.

+^e.sin.

— Ye'.sin.

252 MÉGANIQUE CÉLESTE.

Le terme — ^' ^ " . cos.(î; — v) produit les suivants :

- — j7—.—.—.y. jsin.(^i; — v-i-mv — d)-\-sin.[gV'^v — mv — d)\.

Le terme dépendant de cos.(3i; — 3v) est insensible; nous n'avons même eu égard aux deux précédents qu'à raîson de leur petite influence sur l'argument de la longitude lunaire , dépendant de

V — mv.

La fonction ti— , • t" • (-t^Ji ^^^ renferme la troisième des équations (L), donne le terme suivant,

On aura le développement de ce terme en augmentant, dans le développement de — ' / .cos.(2i;— 21;'), les angles gv et iv d'un angle droit, et en le multipliant par g, ce qui donne

[i-f2c*-~(2 + m).^^ — \.e'\.siu.{2v — 2mv—gv + d)

+ sin.{2v—2mv+gv — d) 2 (i+m) .e.sïn.[2v- 2mv+gv — cv — d + 'cs) + 2 (i+m) .e.s\n.[gv + cv — 2v + 2mv — d — 'cs) ^ --2 {i—Tn) .e.sm.[2v — 2mv—gv — cv + d — 'cs)

'—.gy. ^ — 2 [1—171) .e.sin.[gv+cv+2v — 2mv--u--'cs) + Y^'.sin.(2r — 2mi;— ^v — cmt;+0 + ^') + T^ e .sm.[2v— 2mv+ gv —cmv — + ^' ) Y^'. sin.(2t;— 2mi;— ^v + c'mv + Ô — «') — ye. sin.(2i;— 2mi; + 9i;+cmt; — 0— «')

(io + i9w+8m») , j sin. (2 v~-2mî;— 2Cî; + ^i;+2tST— I 4 ' '\^sin.{2cv+gV'-2v+2mv — 2 — ^

Les termes de la fonction t^— , -j-- ("T^)> ^^^ dépendent de u\ produisent les suivants,

— j^-— •— -7- |sin.(9i; — v-hmv — 6) — sin.((/r-f-î; — mv — 6) j.

Le produit (-jt^A'T;' I (^/•~^' ^^^ renferme la troisième des équations (L) du n° 1, se réduit à

1 — g^ étant de Tordre m\ nous ne conserverons dans ce produit que le terme dépendant de sin.(2î; — 2mv — gv-\-d) ; et il résulte

du développement précédent de -77. | (77^) -t» î^^ ^^ terme est égal à

, , ^^ — r-^. — .y.sm. 2t; — 2mv — qv-+-0].

La troisième des équations (L) du n** 1 se réduit ainsi à la forme suivante ,

dds ^

r étant la somme des termes que nous venons de considérer. IVfais, pour plus d'exactitude, il faut lui ajouter les termes dépendants du carré de la force perturbatrice, et qui peuvent avoir iine influence sensible.

12. Le terme — jV— î- donne, par sa variation, les deux sui- \ants,

im'.u'\Ss 6m\u\s.Su

et il en résulte la fonction

. — . os

^.^.jJ5/^)f J5/B)j.e'-y.sin.(^i;— 0)

— 3m'. —.B,^'.ey.sin.{2v — 2mv — gv-r-cv -i-O — «)

— 3m'. — .i4/*^ey.sin.(2r — 2mv-h-gv — cv — 0-^-«)

-h 3m\ — . j JB/"^ — i4/'^ \.ey.sin.[gv'-h-cv — 2v-\-2mv — S — «)

9^' a D(o) ' i sin.(2i; — 2mv — gv-hcmv-{-d — ^') 4 'a/ ' ' (-4-sin.(2i; — 2mv — gv — cmv -h 6 -h "ts )

-I —. — .\bA,^'^ — 2i4/"^ — Yfi/^^j.e*y.sin.(2ci;-+-^i; — 2î;-4-2mv — 2«—

-t . — . J5>1/'^ — 2i4/"^ j . e*y. sin.(2v — 2mv-hgv — 2cv — h- 2ttT).

Le terme — ' \ .cos,(2i; — 21;') donne, par sa variation, les suivants ,

^m'.u\S$ , n Çnn'.u\s.Su , ,.

— -7- — ; — .COS. 2t; — 2t;) r: — z .cos.(2r — 2V ]

Zm,u\ s.Sv' . , ,v

H 71 — : .sin.(2v — 2v ;

et il en résulte la fonction

^,L,\Bi'^+/iAM^±B:"Ke'*-{B,^''Ke"\.{i-\e'^).y.sm,{gv-6) 3m' g j {(i+m).B.W-i.")|.sin.(5fr-c«-0+'Of)|

/ \B,^*) + iB,%sm.{gv-c'mv-e+^') 3m' a , j+JB.""--|-5.w|.sin.(^w + c'TOî>-0-'ïaf') 4 *a,* '^'j+J5,'".sin.(2w — 2TOI»— ^i> + c'mi>+9— -ct') '+5,'''.sin. (aw— amt>— 5fv— cW+^+i»')]

— 7— .— .e'yJ lo+igm+Sw* ^ .sin.(2ct;— ^v— 2«+0) ^ / I 7 -A \

-T — .— .Bo^*'^-^. sin.(2i;— Qmv—îcv+^fv+atar — Ô).

Le terme rrT-T"-^^^-!^^""^^') donne par sa variation,

^m .a'^ d,Ss . / n 6 m', a'' ^ d5 . / n

— n — r-— î — .sin.iat; — 2t; H n — r--^ii. -r-.sin.(2î; — 2î; )

2 A*. Il* dv ^ ^ A*. «• dv ^ '

, 3m'. tt'' (^5 ^ , , ,x

+ -n — r-'-j-- dt;.cos.(2V— 2t; 1.

A". H* dv ^ '

De là résulte la fonction

3m' a ( i(i+m).(2-2m-^(jf).£,W-i4.'''j.sin.(^w — cw— 0+-©)) ' 2~'a/ '^•|+j(i/n).(2— 2m— ^).B,w+i,'''j.sin.(</î; + cw— — -or))

i (2— m — o).B,W ) , û rvl

,/ \ ' ,, .sm. (ov-cmi; — 0+iîT )

— T— .— .67./+ ,\ ^[ ' , J.sm.fow+cmt; — 0— 'O )

^ ''' j I— |-(2-2TO-^).B.'"j ^'^ ^1

[+(</— m). B,'*'. sin.(2w— 2mv— ^i;+c'mv-f-0— iït')

(^+m). B,'''.sin.(2w— 2/ni;— ^v— cmy+ô+itr')

-, — .— .Bo^''^e'y.sin.(2v— amv— 2cv+^i; + 2« — 0).

Enfin la fonction (-^-^ +5j.y7. | (-t^)--t» donne par sa variation les termes