nt-</ , \{2-2m-gY

)*— il) , o .\ n/.i''«*y-Sin.(2C»-flP-2(

i— yi- .(io+i9m+8m').B/*H ' ^ ^^

+-f-m".— . ' ^ J^ 4 [.c'y.sin.(2v— amw— acîH-jftM-a'W— Ô)

°'(+io4,'"-4i.""-2B,"')

(10+iQ IB+8 m' -n I

+-j-in.— . 2 |.e'y>sin.(2cr+5fu— 2t>+2mt>— 21»— 0)

+ioA.("-44/"'-5£,w

+x m'.— .(3+2iJ,"*').-^.y.sin.(5fv— iH-jnw-0) + 1 m*.— .(|-f-2B,"'').A.7-sin.(^t;+v— m«— 0).

14. On doit faire sur l'intégra tion de l'équation différentielle précédente des remarques analogues à celles du n" 10. On considérera donc 7 et comme variables en vertu de la variation de l'excentricité de l'orbe terrestre; en substituant ensuite pour s la fonction y.sin. [gv — 6) -h- h s, et comparant d'abord les sinus et cosinus de ^ V — B, on aura les équations

dde dy l d9\

''=y'lbF-''d^\3-dZy

p''\-cf.e^ désignant le coefficient de y.sin. [gv — 0) dans Téquation diflFérentielle [V) du numéro précédent, où Ton doit observer que B}^^ et A^^'^ renferment déjà le facteur i — \e^. La première de ces équations donne en Tintégrant,

de 9-Tv

H étant une constante arbitraire. I^ seconde donne en négligeant -T^ , ainsi que le carré de q\ e\

de I j ^q\e''

dv ^ "^ 1- ^^^^.

et par conséquent si Ton regarde f et (f comme constants, ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible, on aura

X étant une arbitraire; ce qui donne

sm.

[gv — d) = sm.\\/T^^\v-+' ''''\ .fe\dv — \L

d'où il suit que, conformément aux observations, les nœuds de l'orbite lunaire, sur l'écliptique vraie, ont un mouvement rétro-

grade égal à j \Ji-\-p — i j . t; H — y-^— .fe^ .dv : ce mouvement

n'est pas uniforme, à raison de la variabilité de e; et l'équation séculaire de la longitude du nœud est à l'équation séculaire du

périgée comme ^ est à

La tangente y de l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique vraie est pareillement variable, puisqu'elle est égale à

\H Ag — -7-| ; mais il est aisé de voir que sa variation est insensible, et c'est la raison pour laquelle les observations les plus anciennes n'indiquent aucun changement dans cette inclinaison, quoique la position de l'écliptique ait varié sensiblement dans l'inten^alle qui nous en sépare.

On aura ensuite les équations suivantes,

-(5f + c)*j.B.w + |m'A.{J5.'"-2 + (i-m).(3-am-^).B.w|,

-(2-2m-^ + c)'!.B.'"+|m*.-.{(i+^).(i-m)-2BW+B.W|,

-(2-2m-^-c)'j.B.'"+|m'.-.j(n-^).(i+m)4-B.w + 2i4.W-2BW},

-(^+m)'}.Bw+-f-m'.-.j34-2B,">+|(3-2m-^).BW-(3-3m-o).jB.w

-(^-m)'}.B«+|m*.-.j3 + 2AW--i(3-2m-^).BW-(3-m-^).B.<'

-(2-m-^)'|.BW+|r.^.j-^ + 2B.(" + 3B,W-(i+^-m).B.wj,

-(2-3m-(/)«}.B.""+im'.^.{2B.'"'-i(i+^) + 3B.W-(i+(/+m).B."i|,

^ (3B.'"'-5-io4,i'i+44,'"i-(3-jiii-2c+j).B,»''

+ioy4,"'-4^,'»i-2B.'"> ( io+i9m+8m' , ^ p ,.„ ] -(2c+5f-2 + 2m)'j.B.""+-|-m*.-. ^ "^^^' !,

15. Il nous reste présentement à déterminer la valeur du temps t en fonction de v. Pour cela, reprenons la première des équations (L) du n** 1,

dv

dt=

Il faut, par le n*" 6, y substituer, au lieu de a, la fonction

~7*H-êH-e.(i-he*).cos.(a; — «) ) g

» On aura d*abord, en développant le facteur -j—j un terme indépendant de cosinus , et qui par la nature du mouvement ellîp-

a*dv tique doit être (livre 11, n"* 16); on aura ensuite

+i/.(i+|e*-i/).cos.(2^«-20)-e'.cos.{3ci;-3'sy) ]+jr^\J [w)-~^) \ —\€y*.\cos.{2gv—cv—'id+7s)+cos.['igv+cv—2d—^)\] f ç^^,

( -\-^'-cos.[2gv—2 0)—jey\cos.[2gv—cv—2d+^))^ '

-h3o'.(5b)*.j 1— 4e.cos.(c«— ct) j.j 1— etc. }

+etc.

La partie non périodique du second membre de cette équation est

Le coefficîenl de dv dans cette fonction n'est pas rigoureusement

constant. On a vu dans le n° 10 que l'expression de - contient le

terme j-^ — ; ce qui donne dans a' le terme ^fn\a\e*; ainsi

a^dv . i. ^

la quantité '—;= contient le terme ^ a\ dv.m\e*; or on a à très-

peu près a ' =r-, m'=:^m'; l'expression du temps t contient donc le terme — .fe'dv; et par conséquent la valeur de la longitude

vraie de la lune, en fonction de sa longitude moyenne, contient le terme — \m'.Je\lv ou — \m\fndt.e^ \ d'où il suit que les trois équations séculaires des longitudes moyennes de la lune, de son périgée et de ses nœuds, sont entre elles comme les trois

quantités 3m', --=:i=, A la vérité, les termes dépendants

\i-p Sji+p

du carré de la force perturbatrice changent un peu cette valeur de l'équation séculaire de la longitude moyenne; mais il est aisé de voir que les termes de cet ordre, qui ont une influence trèssensible sur l'équation séculaire du périgée, n'en ont qu'une très-petite et insensible sur celle du moyen mouvement.

La partie non périodique de -j-- est égale à -, et si l'on néglige

a* les quantités de l'ordre m*, ce coefficient est — =. On a ensuite.

Va,

par le n° 10, -=t— . (i — \rrû) ; ce qui donne — =i -r- \m\ et

'"—z=^=::za\ l i-h-^mM. On a de plus, par le n** 16 du second