TOME III

peut d'ailleurs se convaincre aisément que cette quantité est la seule sensible qui résulte de cette fonction. En l'ajoutant à Téquation diflPérentielle du n*" 13, et observant que/ — i est extrêmement petit par rapport à ^ — i, l'intégration donnera

d'où il résulte dans s, ou dans le mouvement de la lune en latitude, l'inégalité

— ^— î- — - — ^ . -— .sm. A.cos. X.sm./i;.

C'est la seule inégalité sensible du mouvement lunaire en latitude, due à la non-sphéricité de la terre. Cette inégalité revient évidemment à supposer que l'orbite de la lune, au lieu de se mouvoir sur le plan de l'écliptique, avec une inclinaison constante, se meut avec la même condition, sur un plan passant constamment par les équinoxes, entre l'équateur et l'écliptique, et incliné, à ce dernier plan, d'un angle égal à

— — ^— ^ . — - . sin. X. COS. X.

Nous avons trouvé précédemment

— = o,oi655ioi, g — i=o,oo4o2i75;

on avait en 1760

enfin, a(p= -g-; en supposant donc ap = ^^r» l'inégalité précédente devient

— 2o\oià3.s\n.fv.

Elle serait — 4i\47o.sin.yV, si l'aplatissement de la terre était

--^, comme dans le cas d'homogénéité de cette planète; cette

inégalité bien observée est donc très -propre à faire connaître l'aplatissement de la terre.

Considérons présentement les variations du rayon vecteur et de la longitude de la lune, dues à la non-sphéricité de la terre. Nous pouvons les déduire de la première et de la seconde des équations (L) du n® 1; mais il est plus exact et plus simple de faire usage des formules du n° 46 du second livre. Pour cela, nous supposerons que dans ce n** 46, la caractéristique diflFérentielle S se rapporte à la quantité ^a^ — ^P- Nous observerons ensuite que la fonction R du même numéro est égale à ce que

nous représentons ici par — Q-\ — , et que rR est égal à ^•(-j-) ; ce qui change l'équation (5) du numéro cité, dans la suivante.

d\rSr rSr

2fâ.dR-^â.r.(^^y

R contient le terme 2 [dp — T*9)-"~r- sin. X. cos. X.^.sin./v; et par conséquent celui-ci,

(ap — T*9)- ~7- ^i^- ^- ^^s- ^'7' eos.(^i; — fv — d) ;

en supposant donc que oR représente ce terme, fSdR sera égal à ce même terme; car la caractéristique différentielle d se rapportant aux seules coordonnées de la lune, on aura, en n'ayant égard qu'au terme précédent,

fâ.dR=âR; on aura ensuite,

ê.r.l--j-'\ = — 3[ap — Ya(^).-7.sin.X. cos.X.y.cos.(^r — fv — d).

Si l'on substitue ces valeurs de fâ. dfi, et de S. ''•(■j— )> dans l'équation difierentielle précédente, on verra que Fexpression Sr contient un terme dépendant de cos.[gv — /vH-0)> mais qui, n'ayant point ^ — i pour diviseur, comme le terme correspondant de as, est insensible.

11 n'en est pas de même de l'expression de la longitude. La formule (7^ du n** 46 du second livre donne dans dSv la fonction

Ut\fhAR + 'idt\h.r.iç^

r^dv

En y substituant pour 5iî, le terme qu'il représente, on aura dans d.8v\e terme

[ 1 • —7- sm. A. COS. A. y. cos.[gv—Jv—d).

Mais ce terme n'est pas le seul de ce genre qui entre dans l'expression de d. 8v. L'action du soleil donne par le n** 3, dans Q,

le terme -7-7.(1 —2 5*) •En y substituant pour u, , on aura

dans R le terme

ce qui donne dans 8 Rie terme