SOS

On a à très-peu près mn\ r'=jn\ et par le n** 13, ^* est à fort peu près égal à i -h y m', ce qui donne g égal à i-h-fm*; le terme précédent devient ainsi

ili [g—i).sSs r

En substituant pour §5, — — — ^—^ . —^ . sin. X. cos. X. sin.fv; et pour s, y. sin.(^î; — 0), on aura le terme

— 7(ap — Ya^).— j-.sin.X.cos.X.y.cos.(^v — Jv — 6),

qui, ajouté au terme que nous venons de trouver pour 3./S.d/{

(j n\ -1— |, donne dans d8v, le terme

iv__P — i— L/.-.sin.X.cos.X.y. cos.(^i; — fv — 6).

On peut dans ce terme substituer a pour r, et dv pour ndt; en observant ensuite que 7i*a'=i, il devient

— iodv.[(xp — T^ip)- — r-sin.X.cos.X.y. cos.(^i; — fv — 0).

Cette valeur de d.êv est, par le n** 46 du second livre, relative à Tangle compris entre les deux rayons vecteurs consécutifs r et r-hdr; or si l'on nomme rfv cet angle, dv représentant alors sa projection sur le plan de Téclip tique, on a, par le numéro cité,

dv=dv .

ou à très-peu près,

' * * dv'

En substituant pour s,

y.sin. [gv — d) — l«P~T«yj —..sin.X-cos.X.sin./v,

on aura

/ ni

rfrzzrfi;. i+|(ap — Ya(p).— ;^7.sin.X,cos.X.cos.(5ft;--/v--0)+etc. .

On voit donc que pour avoir la valeur de d.hv, relative à Tangue V formé par la projection du rayon vecteur r sur Técliptique, avec une droite fixe, il faut ajouter à l'expression précédente de d.hv le terme

Ydv.{(tp — yaip).— ^.sin.X.cos.X.y.cos.(^t; — fv — d);

rf.5v= — Y^^-{^P~"2"^^)--^-sin.X.cos.X.y.cos-{5fi;— /v— 6);

et en intégrant,

^v = — y v^P «^^/ .,— ,sin.X.cos.X.y.sin.(gft;— /y — d).

C'est la seule inégalité sensible du mouvement de la lune en longitude, due à la non-sphéricité de la terre. On doit observer que fv — gv-]-d exprime la longitude du nœud ascendant de l'orbite, comptée de Téquinoxe mobile du printemps. Il suit de là que Texpression de la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne renferme l'inégalité

Y ^—^—j-^. -7. sin.X.cos.X.y.sin. (longitude du nœud ascendant).

Le coefficient de cette inégalité est 17",! 35, si p= t^- il s*élève à 35^490, si p= -^.

La Don-sphéricité de la terre influe encore sur les mouvements du périgée et des nœuds de lorbite lunaire. En effet, la valeur de Q étant par là augmentée de la quantité

/ 1 ^\ / , «x ( T— (i— ^*)-sin.*X.sin.7'r / ^

^ ' ^ r/ \ ^ / (— 25.sm.A.cos.A.sm.yt;— 5'.C0S.*A)

il en résulte dans la seconde des équations (L) du n** 1, le terme

- '•^-■:f'-^°' .(-fsin.-M.

En y substituant pour u, sa valeur approchée-, j i+e.cos. [cv—^)\y

et observant que A* est à très-peu près égal à a, on aura dans l'équation différentielle [L) du n*" 9, les termes

a a* ^ ^ ' ^—^ — - — —.—^.[i — Y sm.' Aj.e.cos.(ct; — tar);

d'où il est facile de conclure que le mouvement du périgée sera augmenté, à très-peu près, de la quantité

(ap— |a9). — .v.}i— l-sin.-Xj.

Il est aisé de voir, en considérant la troisième des équations (L) du n"" 1 , que le mouvement rétrograde du nœud sera augmenté de la même quantité. En la réduisant en nombres, on trouve 0,00000026384.1^; ce qui est insensible.

Nous ferons ici une remarque intéressante sur Tinégalité précédente du mouvement de la lune en latitude. Cette inégalité nest que la réaction de la nutation de Taxe terrestre, observée par Bradley. Pour le démontrer, nommons y Tinclinaison de l'or-

bite lunaire, sur le plan dont nous avons paiié, et qui, passant constamment par les équinoxes, est incliné à Técliptique, d'un angle égal à ^^P j^rj __ ^^^ ^ ^^^ ^ L'inclinaison de Forbite lunaire à l'écliptique sera

y — L£ — î— ^.— ^.sin.X.cos.X.cos. (^r — fv — 6);

or Taire décrite par la lune, autour du centre de gravité de la terre, est ^ r'dv : cette aire projetée sur l'écliptique est diminuée dans le rapport du cosinus de l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique, au rayon; elle est donc égale à

Yr*dv.cos.\y — ^— — î— ^.— Y.sin.X.cos.X.cos. (^v — fv — 6)1.

Ainsi l'expression de cette aire renferme l'inégalité

jr^dv. ^^^ ' ^ .--7.sin.X.cos.X.y.cos.(^i; — fv — 0);

et comme on a r*dv=a'dt, à fort peu près, en représentant par dt le moyen mouvement de la lune; cette inégalité est égale à

\D*dt . ^^P j' ^^f . sin. X . COS. X .y. cos. (^ft; — fv — B).

En la multipliant par la masse de la lune, que nous exprimerons ici par L, et en la divisant par dt^ le double de ce quotient sera le moment de la force de la lune par rapport au centre de gravité de la terre, et due à la non -sphéricité de cette planète, ce qui donne pour ce moment,