FF F

les valeurs (7j et de rendre la puissance du membre

intérieure a — m.

Mais comme, d'un autre côté, pour que le polynôme cherché, représenté par la formule

reste, comme l'exigent les conditions de la question, d'un degré qui ne soit pas supérieur à m, il est nécessaire et suffisant qu'avec les valeurs (7) des fonctions F^^ F^^ . . . . ^ ^u i5 ^^ terme F Q ne soit pas d'un degré supérieur à m — 1, car tous les autres, comme il est aisé de le voir, seront de degrés inférieurs à m — 1 .

En effet, conformément à ce qui vient d'être dit, les degrés des facteurs

seront inférieurs à ceux de

^ Si ^^

donc les produits

ne contiendront que des termes de degrés inférieurs à

et par conséquent inférieurs à la puissance

car, d'après notre notation, tous ces dénominateurs des fractions réduites de u ont des degrés moindres que m — 1 .

En vertu de quoi nous concluons que le polynôme cherché 9/ sera donné par la formule

2/ = F, e, -H F, e, -f- . . . . -H F^, e^, -+- y^ G^, où

et où le facteur F^ est une fonction entière déterminée par les conditions suivantes :

La puissance du produit F^ Q^ ne surpassera pas m — 1, et la puissance du produit {F^ — w^) B ne surpassera pas — m — 1 .

Or, d'après notre notation,

de plus, d'après les propriétés des fractions réduites,

étant du même degré que la fraction

on peut, en déterminant le facteur F par la méthode que nous venons d'exposer, remplacer i^„ par la fraction yr^ .

Ceci nous permet d'exprimer les conditions qui déterminent le facteur F de la manière suivante:

La puissance du produit F^ Q^ ne surpassera pas m — 1, et la puis-

sance du quotient -^ — ^ ne surprassera pas — w — 1 .

Quant aux fonctions

Wj, «2, «3 ,

elles s'expriment généralement, comme nous l'avons dit dans le numéro précédent, ainsi:

Ayant déterminé à l'aide de cette formule les valeurs

et les ayant mises, conformément à (7), à la place de

dans l'expression du polynôme cherché y, nous obtenons pour celui-ci la formule que voici:

où le facteur F doit satisfaire aux conditions que nous venons d'énoncer. Nous allons donc nous occuper, dans le numéro suivant, de la manière de déterminer F sous ces conditions.

§ 8. D'après notre notation,

est le dernier dénominateur de la suite

dont le degré est inférieur à m; par conséquent le dénominateur

sera ou du degré m, ou d'un degré supérieur à m. Dans le premier cas, comme il sera aisé de le faire voir, il n'y aura qu'une valeur de F propre à satisfaire aux conditions qui limitent le choix de cette quantité, c'est-àdire qu'il faudra que F^ soit égal à o ; dans le second cas, ou il n'y aura pas du tout de valeur de F qui satisfasse à ces conditions, ou bien F s'exprimera au moyen d'une fonction à plusieurs coefficients arbitraires.

En effet, d'après les conditions qui déterminent la fonction F . le degré du produit F Q ne pourra pas surpasser m — 1 , et celui du quotient

-^ — 5i ue surpassera pas — m — 1, où le dénominateur Q,,., est de la

puissance m. Ainsi quand le numérateur sera entier et différent de zéro, le degré du quotient

sera nécessairement supérieur à — m — 1. Donc, dans ce cas, on est forcé d'admettre que

ou bien

Ensuite, d'après ce qui a été dit précédemment, le degré de la fonction w^ est inférieur à celui de

Qii.-t-i

donc, en donnant à F la valeur o nous rendons la puissance du produit

inférieure à celle de

et par conséquent inférieure à celle de x^, car, dans le cas que nous examinons, le dénominateur ^„^i est du degré m.

D'oii il résulte que si ^ ^i est du degré m, on peut toujours faire

et qu'aucune autre valeur de ce facteur F ne satisfera aux conditions établies dans le numéro précédent.

Dès lors, dans ce cas, le polynôme cherché y ne peut avoir qu'une seule valeur, et elle sera déterminée par la formule que nous venons d'écrire, c'est-à-dire par

pourvu que nous y fassions

Passons maintenant au cas où le dénominateur Q,J^^^ est d'une puissance supérieure à m. Conformément aux conditions qui déterminent le facteur F le produit F Q^^ doit être d'un degré qui ne soit pas supérieur à m — 1 , et le degré du quotient !^~"^ ne doit pas surpasser — m — 1 , ou

Vu-Hl

bien, ce qui est la même chose, le facteur F^ ne doit pas avoir un degré supérieur à celui de ^ — , et le degré de la différence F^ — o^ ne doit pas surpasser celui de ^^. Or cette propriété est évidemment exprimée par les deux équations suivantes:

(8) F^ = C,x'-i-G,x'-' -*-...., et

où V désigne la puissance de la fonction ^q""' ^i ^^^^^ ^^ ^^ fonction -^i'. et les quantités

Cl, 6^2, ... ., C, G\ . . . .

sont des coefficients indéterminés.

L'élimination de F à l'aide de ces deux équations nous donne

équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur des coefficients Cl, Cj, , C, G", , si le degré de la fonction o^^ surpasse v et v,.

D'où il est aisé de voir que si la puissance de o est supérieure à v et v^, il est impossible de satisfaire aux conditions qui déterminent F dans l'expression du polynôme cherché, et par conséquent, dans ce cas, notre problème n'a pas de solution. Dans le cas contraire, quand la puissance de o n'est pas supérieure au moins à l'un des nombres v et v, , la valeur du facteur F sera facile à trouver, et, comme il est aisé de le voir, elle sera déterminée, ou par la seule équation (8) ou par la seule équation (9), selon que v sera ou ne sera pas < v^ .

En effet, mettons l'expression de F , donnée par l'équation (8), dans la formule (9), nous aurons

Si le nombre v est inférieur au nombre Vj , le degré de la première partie de cette équation ne surpassera pas celui de la seconde, car si v < v^ la puissance de la fonction w ne peut être supérieure à v^, puisque dans ce cas, contrairement à l'hypothèse, cette puissance serait supérieure aux deux nombres v et v^ . Donc, par un choix convenable des coefficients G\ 0", . . . . , on pourra toujours satisfaire, dans ce cas, à l'équation

quels que soient les coefficients G^, G^,. . . . du premier membre de cette équation.

De même si v n'est pas < Vj, l'équation (9) nous donne

F^ = (ô^-i- G'x'^ H- C'^ic'!"' -+-....,

et, en y laissant tous les coefficients arbitraires, nous obtenons une valeur de F^ qui satisfait à l'équation (8) si l'on donne des valeurs convenables aux coefficients C^, (7^, . . . .

Ainsi, il est bien établi que toutes les fois que le degré de la fonction co n'est pas supérieur au moins à l'un des deux nombres v et v^ (degrés des fonctions ^ — et -^S Y la valeur du facteur F„ , satisfaisant aux con-

ditions du numéro précédent, peut tixQ trouvée. De plus, la valeur de F sera déterminée par l'équation

ou par l'équation

selon que l'on aura v < v^ ou bien v^v^. Quant aux coefficients

ils restent arbitraires.

§ 9. Pour donner un exemple, cherchons à déterminer le polynôme sous la condition de rendre maximum ou minimum la valeur de la somme étendue aux valeurs

a; = OJj , 0^2 1 ^3 5 • • • •

Nous commencerons par supposer que le choix des coefficients

du polynôme cherché y n'est limité par aucune condition particulière, et puis nous traiterons le cas oii la valeur d'un de ces coefficients

est donnée.

La première hypothèse, avec les valeurs réelles de ^r^, a^g, rCg,. . . . et l'invariabilité de signe de la fonction 0 (a;), nous donnera la formule déjà connue de l'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés dans les cas ordinaires; la seconde, avec les mêmes conditions pour les quantités ojj, ^2 5 ^3? • • • • ^^^^ fonction 0{x)^ nous conduira aussi à une formule d'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés, mais dans les cas particuliers oii l'un des coefficients de l'expression y est assujetti à la condition d'avoir une valeur donnée.

Si dans les formules du n** 2 nous faisons

Fix, y, y\ y\ ....)- y (}J — i\^))' 0{x),

nous trouverons

Jf= "^-'V^lf--' = [y -f(x)) 0 ix),

j\r__ dF{x,y,y',y",....) ^ dy' '

p __ dF(x,y,y',y",....) __ q dy" '

Avec de telles valeurs des fonctions

et dans l'hypothèse que le choix des coefficients du polynôme n'est limité par aucune condition spéciale, nous aurons à remplir d'après le n** 3 la condition suivante:

^expression

doit être réductible à une fonction entière, avec une approximation poussée jusqii'au terme x~"^ inclusivement.

Désignant par

les dénominateurs des réduites qu'on obtient en développant la fonction

n continue

et supposant que dans la suite des fonctions

^^{x), ^,ix), , ^^,(x), %ix), ^^^,{x),

la dernière fonction d'un degré inférieur à m soit

nous trouverons que le polynôme

y = Ao-^A,x-+-A,x'-^ .... -^A^^x"'-' qui satisfait à cette condition, sera donné par la formule

OLi les facteurs

seront déterminés par la formule

et le facteur F , d'après le n^ 8, n'aura qu'une valeur déterminée F = (d ,