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si la fonction t)j {x) est du degré ni. Dans le cas contraire, si notre problème admet une solution, c'est-à-dire si la somme

peut devenir un maximum ou un minimum, le facteur F contiendra plusieurs coefficients indéterminés et sera donné par l'une des formules

où V et Vj désignent les degrés des fonctions

Comme précédemment, on appliquera la première de ces deux formules si V < Vj , et la seconde dans le cas de v ^ Vj . Quant au critérium qui permet de reconnaitre que notre problème a une solution ou n'en a pas, nous avons déjà vu (§ 8) que le facteur F qui satisfait aux conditions de notre problème n'existe que dans le cas où le degré de la fonction co ne surpasse au moins l'un des nombres v, v^.

Quand les quantités

ont des valeurs réelles, et que la fonction

ûix)

ne change pas de signe, la fraction continue, qu'on obtient en développant

l'expression

e jx) 9' jx)

comme il est connu, sera de la forme

où ^j, B^^ A^, J?25- • • • sont des quantités constantes*). Dans ce cas les fonctions

2n Ï2' : Qn-'

ont pour valeurs

et les dénominateurs

des fractions réduites de l'expression

seront de degrés

Comme dans ce cas le dernier dénominateur d'un degré inférieur à m, est 4*771 (^)' ^^ Q'Ç^lyn qui le suit immédiatement, c'est-à-dire '^^^^{x), est du degré m, d'après ce qui a été établi, le polynôme clierclié y sera donné par la formule

y = «1 'l^l («) -^^Aii^)^ -^ «m-i "^m-x (^) -^ "m *m (^)-

Mettons à la place de q„ sa valeur q„ = J^a; -t- B„ dans la formule du n" 7 qui sert à calculer les facteurs

nous aurons „ ^(lf-^'V(A X I j? ) /'^" ^^^ ^^-^^ ^ (^^ ^' ^"^^ T? ^» ^^^-^(^^ ^ ^^^ ^' ^^^'^

n '^ ^ J]j '^ n n^ \ <p (a;) J]j cp (,r) /*

Si nous désignons par JJ la fonction entière qu'on obtient en divisant le produit

^^{X)ax)0{x)r^'{x)

par 9 (a:), nous aurons, par notre notation

*) Voyez le Mémoire intitulé: Kecherches sur les fractions continues (T. I, pag. 203 —

-230). Du reste cela résulte aussi de ce que a?!, a-g, %, étant réels, 0(x) conservant toujours

le même signe, notre problème a toujours une solution, quel que soitw?, car cela suppose d'après

le ifi 8 que dans la série ^^ {x), <|<2(^)i > ^^ J ^^^^ toujours un dénominateur du degré m, et

que par conséquent il s'y trouvera des dénominateurs de tous les degrés, ce qui n'est possible que quand la fraction continue dont il s'agit a la forme que nous venons d'indiquer.

et

d'où nous tirons

(?[x) Jli cp (x)

Ainsi l'expression trouvée ci-dessus pour le facteur 6)^ se réduit à la suivante :

Cette formule peut s'écrire ainsi:

".=(-ir^E(^^

,^\ x^/MlM^M^

Le terme placé sous h signe Tj est du degré zéro; donc, eu faisant x = oo^ nous aurons sa partie entière, et nous trouverons ainsi:

En calculant d'après cette formule les valeurs des facteurs

et en les mettant dans l'expression du polynôme y, nous obtiendrons la formule que voici:

y = A^ f{x,) 0 {X,) ^, (X,) . ^, (x) -A,y^ f{x^) 0 (x.) ^, (^,) ^\>,ix) -*-...,

C'est ainsi que l'on détermine le polynôme du degré m — 1 qui rend maximum ou minimum la somme

étendue aux valeurs réelles de x et dont le facteur û {x) ne change pas de signe.

Cette formule sert pour l'interpolation parabolique, d'après la méthode des moindres carrés^ quand il n'existe aucune condition particulière relative à ses coefficients.

§ 10. Passons maintenant au cas où dans le polynôme cherché

le coefficient de x\ où l est un des nombres 0, 1, 2,. . . ., m — 1, est supposé donné.

La condition que le coefficient de x\ dans le polynôme y, doit être égal à un nombre donné peut être exprimée par l'égalité

pourvu toutefois qu'on n'étende cette somme qu'à la seule valeur de la variable ic, a? = 0, et que la fonction

se réduise à un seul terme 2/' = -^. Dans ce cas, d'après la notation du n° 5, nous aurons

m (x) = x\ -^-SW = — ;

et toutes les dérivées partielles de

prises par rapport à ?/, ?/', y\ y"\ .... seront zéro, excepté la seule dérivée par rapport à y\ qui sera égale à 1 .

Supposant, comme ci-devant, que la somme qu'on se propose de rendre un maximum ou un minimum est

et qu'elle s'étend aux valeurs de la variable ic, telles que a7j , a^2 ) ^3 5 • • • • 5

nous aurons, en conservant la notation du n° 5,

*o (^, y. y\ y\ ■•'•) = \[y— mY o {x\

AT à^Q{x,y,y\ y",....) ^

et

{x — x,) ix — x^) {x — x^) = cpo(^)-

Avec ces valeurs des fonctions

M„ N,, Po,...., 9o(^), ?i(^)

et ayant en vue la remarque que nous venons de faire sur les dérivées partielles de la fonction

prises par rapport à y, y", ....,?/',...., le polynôme cherché sera déterminé, d'après le n° 5, par la condition suivante: L^ expression

(il h

doit se réduire à une fonction entière avec une approximation poussée jusqic'aïc terme x~^ inclusivement.

Comme cette expression, après la différentiation et la multiplication indiquées, se réduit à la différence

pour déterminer le polynôme y nous devons, conformément à ce qui a été dit au n*^ 7, développer en fraction continue l'expression

Q jx) Çq (x)

En nous bornant à examiner le cas où toutes les valeurs de

sont réelles, et où la fonction

ne change pas de signe, nous aurons, d'après ce qui a été dit dans le numéro précédent,

Q (^) yp' (^) ., . ^ 1

^2 a: -t- jBj -»-

où ^j, J5j, ^2) -^25- • • -5 s^^^ ^^^ constantes. Ce développement de la fonction

nous donnera la suite de dénominateurs des réduites

qui seront de degré

Comme le dernier dénominateur de degré inférieur à m est -J;^ ix), et comme celui qui le suit immédiatement, '^^^.^ {x)^ est de degré m, le polynôme cherché

y =^ ÂQ-i-Â^x-t- . . . . -H Â^__^ x'^~^

d'après le n^ 8, s'exprimera par

Mais comme dans le cas que nous examinons

ft=*i(^), Q, = ^,i^): ,

et

^,^/(^)eN9o^(^) 1.2.... 7.x,

nous aurons, d'après le n° 7 , pour déterminer les facteurs

la formule que voici:

r (f{x)0{x)r?,'ix) 1.2...J.ÀA . .„ ]

ce qui peut être écrit ainsi:

o =(—lf-'V(A rr -i-B) (-^^"^^ " ^""^ "^"^ ^^^ ^» ^^^ 1? -^^-^^ ^^ ^^^ ^"' ^^^ ^» ^^^\

-(-ir-i.2...i.x,]^;(.4„.-.ij„)(^>-j;^;^)).

Mais, d'après ce qui a été établi dans le numéro précédent, l'expression

se réduit à

et la fonction ^„(a:;), développée par la série de Maclauriu, nous donne

-^ 1.2.. ..ui-..) 4'-.'*' W-^i......(,:i),iH-.)l'"'(0)-^--;

par conséquent

et la différence se réduit à la série

En multipliant cette expression par A^x -+- B^ et en rejetant dans ce produit

les termes oii la variable x a des exposants négatifs, nous aurons pour la valeur de

l'expression

Par conséquent la formule qui sert à déterminer o^ se réduit à

»„=(- yf" A„{^f(x,) tf(^,.)lK.)-X,l'(0)).

Ayant déterminé d'après cette formule les valeurs des facteurs

et les ayant mises dans l'expression du polynôme cherché

y = Q,^, (x) -^ Q^^^^(x) -+-.... -^ o,„^ 4)^^ (x) -4- o^ ^^ (x), nous verrous qu'il se réduit à

2/ = ^, (2 fi^i) 0 (X,) i/, (^,) - \ i,,' (0)) ■i/, (X)

- A, (2 f(.x,) 0 (^,) il, (x^ - X, 4,,' (0)) *, (rs) -H . . . .

où Xj est une constante inconnue qui, dans notre cas, sera déterminée par la condition que le coefficient de é doit avoir une valeur donnée.

On trouvera aussi de la même manière l'expression du polynôme 7/, dans le cas où plusieurs de ses coefficients sont donnés, et les autres sont déterminés par la condition de rendre maximum ou minimum la somme

^\{}i-f{x)yo{x\

étendue à des valeurs données de la variable x.

UNIVERS,, y

OF

SUR L'ÎNTÊGRATION