Zj

pour la détermination de 77/.

Passant à la détermination de la somme

et remarquant, d'après ce que nous avons dit plus haut, que les quantités

Zq, Zj,. . . .z^ forment une série décroissante, depuis Z^ =: 6 jusqu'à Z = w^ on trouve au moyen de cette formule que le maximum cherché se présente à l'aide du symbole ^ de la manière suivante :

SUR LE DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS CON- TINUES DES SÉRIES PROCÉDANT SUIVANT LES PUISSANCES DÉCROISSANTES DE LA VARIABLE.

(TRADUIT PAR ]8". G. KLODXDSJEVSXY.)

(Lu le 13 mai 1892.)

& pasAOoIccuiii Su Hcnpcpuényio dpoSt pji9oê'ô, pacno* Ao:^cHnux'6 no uucooodjïiHiUM^ cfitcncujîMiè ncpcMf&uuoû.

(IIpBjioiKenie kt, LXXI-iiy TOMy SanucoKt TiMnepaTopcKoô AKa?i,eMiH HayKt, A*! 8.) ]

Sur le développement en fractions continues des séries procédant suivant les puissances décroissantes de la variable.

§ 1. D'après ce que nous avons montré au sujet des valeurs limites (les intégrales et des sommes *), sous les signes desquelles la fonction inconnue ne devient pas inférieure à zéro, on voit que ces valeurs s'obtiennent au moyen des fractions réduites que l'on obtient en développant la série

en fraction continue.

Les coefficients

^o> Qj <^2>'

dans cette série sont des quantités données, d'après lesquelles on cherche les valeurs limites des intégrales ou des sommes.

Lorsque le nombre des données augmente, la difficulté de déterminer les réduites nécessaires de la série

en la développant en fraction continue, croit rapidement; elle devient même insurmontable si l'on veut avoir des formules générales fournissant les limites cherchées pour un nombre des données arbitrairement grand.

Jusqu'à présent ces formules ne peuvent être trouvées que dans les cas exceptionnels, où, grâce à la forme des coefficients

*) Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. T. II, pag. 421—440.

Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive. T. II, pag. 561—610.

la série

appartient au petit nombre des expressions dont les réduites peuvent être obtenues, à l'état actuel de l'Analyse, sans le secours des fractions continues. Dans chacun de ces ces toutes les réduites de la série

peuvent être représentées par une formule unique dépendant d'un nombre entier positif arbitraire qui est déterminé par le degré du dénominateur. En prenant successivement pour ce nombre

nous trouvons au moyen de cette formule une série de fractions réduites qui peut être prolongée aussi loin qu'on le veut. En supposant que ces réduites, qui s'obtiennent par la formule générale unique, correspondent au cas particulier, oii dans la série

les coefficients ont les valeurs

nous allons montrer ici, comment on pourra en faire usage pour déterminer les réduites de la série

« «2 -çS • * • >

lorsque les coefficients

^Oj C*!, (73,. . .

diffèrent plus ou moins de c^, c^, Cg,. . .

En nous reportant à ce que nous avons montré sur les fractions continues provenant du développement des séries, qui se présentent dans la recherche des valeurs limites des sommes et des intégrales, nous supposerons que la série

pour

peut être développée eu fraction continue

aj>0, a2>0, a3>0, < ^^y-: . .-, En désignant par

les réduites, nous observons, d'après ce que nous avons montré dans les Mémoires cités, que les équations

^iW = 0, 'Wi^) = 0, '^;3(^) = 0,...

seront des degrés

que leurs racines seront réelles et qu'entre deux racines successives de l'équation

se trouvera une racine de l'équation

pour toute valeur de w.

Afin de simplifier nos formules, nous nous bornerons à la supposition que les racines de toutes ces équations sont toutes plus grandes que zéro, comme cela a lieu dans les cas les plus intéressants par leurs applications et comme cela peut être toujours réalisé par un changement convenable de la variable x. Dans cette supposition toutes les racines des équations

+iW = 0, ^,{x) = 0, ^,{x) = 0,...

auront des valeurs réelles positives, et par suite leurs premiers membres

seront des polynômes à termes alternés dont les premiers termes auront le signe -+- , puisque dans la fraction continue

a. aj-*- p. —

ttj a; H- ^2

l'on a, comme nous l'avons dit plus haut,

(1) ai>0, oi,>0, a3>0,...

D'après cela, en déterminant les signes des fonctions

4^1 W, 'hi^\ i'si^),'"