X:=0, X= /i < 0, X = OO

nous trouvons que pour toutes les valeurs de n, l'on aura (2) (- ir 1(0) > 0; (-ir 1(- h) > 0; (- If i>„(— oo) > 0. § 2. Passant au cas, où les coefficients

(le la série

diffèrent plus ou moins de nous poserons

et nous désignerons par W, W^ les fonctions définies par les égalités

d'où il vient

^-^fi^fi^

Co-eo Cl -+-61 02-^2

Pour déterminer celle des réduites de l'expression

dont le dénominateur est du degré m (si une telle réduite existe), désignons-la par

Puisque, comme nous l'avons dit, les fonctions

sont des degrés

1, 2, 3,..., la fonction

sera du même degré que ^^ (a?) et par conséquent nous aurons

g^ étant uue constante différente de zéro et 6^{x) un polynôme dont le degré ne dépasse pas m — 1 . Avec cette décomposition du dénominateur la réduite cherchée prendra la forme

9m ^mi^)-^^m^'^)

En calculant la différence entre cette fraction et la fonction nous trouvons qu'elle est égale à l'expression fractionnaire

W^m [x] - Q^ (X) - {gm i'm (^) -h Qm (^)) ^o "*- 9m ^m (^) W 9m'^mi<^)-^^mi^)

Comme le dénominateur est ici du degré m et que l'expression ellemême, représentant la différence entre la fonction

et sa réduite

doit être d'un degré inférieur à — 2m, il s'ensuit que le degré du numérateur

doit être inférieur à — m; or, pour cela il faut et il suffit que la différence

donne l'expression de la fonction

exacte jusqu'aux termes en x~^ inclusivement. D'après cela, par les formules énoncées par nous dans une lettre au professeur Braschmann *) et démontrées dans un Mémoire intitulé: Sur le développement des fonctions en séries au moyen des fractions continues **), on peut trouver le développement du polynôme â^ (x) suivant les fonctions

En effet, en appliquant les formules obtenues dans le § 10 du Mémoire cité à la détermination du polynôme 0^ (x) de degré m — 1 au plus, avec lequel l'expression

*) T. I, pag. 611-614.

**) T. I, pag. 617—686.

Q^(ic) étant iiue fonction entière, puisse représenter le plus exactement possible une fonction quelconque F{x) et en supposant que W se développe en fraction continue

dont les réduites soient

Çi' ^2' Ça''"'

nous trouvons

(5) <9„w=AAe,-Ai,<3.-^...-(-ir^„i„e„,

oii

désignent les coefficients des termes en — dans les produits

Le polynôme 0^ {x) étant déterminé par cette formule et iï^ {x) étant convenablement choisi, l'expression

représentera la fonction F(x) avec la plus grande exactitude qui soit possible lorsque le degré de 6^ (m) ne dépasse pas m — 1 . Puisque la formule

Wû^ix)-Q^{x) donne la fonction

Fix)

au moins jusqu'au terme en x~"^ inclusivement et puisque pour tout autre polynôme, dont le degré ne dépasse par m — 1, l'exactitude de cette formule ne peut pas atteindre cette limite, nous concluons de ce qui a été dit sur la détermination du polynôme 0^{x) entrant dans l'expression (4) de ^(x) que 0^ (x) doit satisfaire à l'égalité (5) dans le cas, où

et

On voit de la dernière égalité que l'on a ici et que les dénominateurs

Vd ^2J HÎ8> • • • )

des réduites de la fraction continue

ont les valeurs

En trouvant d'après cela

nous concluons de la définition des quantités

que les coefficients

^iL,, A^L^, Ahy . .

dans l'égalité (5) sont les coefficients de — dans les produits

cc,^,{x)F{xl -^,^,{x)F{x), —<x,^,{x)F{x),,..,

et qu'ils peuvent par conséquent être représentés par les expressions

A,L,= [ccM^)F(z)l, A,L,=-[^Mz)F(,)l AL,=—[^M^)F{z)l,,..,

si nous convenons de désigner le coefficient de — dans le développement d'une fonction quelconque F suivant les puissances descendantes de z par