VI
En portant dans l'équation (5) ces valeurs des coefficients
ainsi que les expressions obtenues plus haut pour les fonctions ft, ^a, ft-.., nous trouvons que cette équation devient
^m W = [«x -f 0 (^) F{^)1 ^0 W -*- [«2 '^. (^) Pi^)l ^1 (^) -^
et, en posant
nous trouvons
d'où, en y portaut l'cxpressiou de la fonction F{x) définie par la formule (6), nous obtenons pour déterminer le polynôme cherché 0^ (x) cette équation
<'«. (^) = [<Pm i^> ') [iHrn -P„ (^) -^ 0„ W) W, - g„ |„ (z) W)\
OU bien
0,, W = l'K (^. ') {9n, +», W -^- *m W) TF.], - [i/„ '/'„ (a;, ^) 4.„ (^) }f ]..
Dans cette égalité le produit
d'après la propriété des réduites, ne différera de la fonction entière ç„j {z) que par les termes de degrés inférieurs à — m, tandis que la fonction (Z>^ (rc, z)^ d'après (7), est du degré m — 1; donc l'expression
ne contiendra pas de terme en — ; par suite l'on aura
et l'équation que nous avons obtenue se réduira à celle-ci
où, d'après la formule (7), la fonction ^^ (a;, z) est exprimée par
*oW» +l(^)>-.4m-,(^)
sous la forme d'une somme de m termes symétriques par rapport h. x^ z et dont les degrés par rapport à chacune de ces deux variables ne dépassent pas m — 1.
Il n'est pas difficile de trouver l'expression de cette fonction sous la forme d'une fraction très simple ne contenant que 4^^j (ic), ^j>^ {x).
Pour cela nous observons que l'équation (7) multipliée par x donne
X0^ {x, z) = CL^ 4o W +0 (^) -+- «2 4l i^) +1 (^)-*-- • •-+- «m ^+m-i (^) "J^m-. W'
Comme les dénominateurs des réduites de la fraction continue
jX-f-Pa--
satisfont aux égalités
d'où il résulte
«m 4m i W = k (^) — Pm ^-i W ^ +m-2 W;
cette équation se réduit à la suivante
En calculant de même le produit nous trouvons
ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne
En divisant par ic — 2, nous obtenons pour déterminer la fonction ^m i^> ^) ^^ formule
§ 3. Passant aux applications des formules que nous venons d'obtenir, nous commencerons par le cas particulier où la série
se réduit à la fraction
ce qui a lieu pour
Nous supposerons la quantité h toujours positive et H quelconque. En posant dans ce cas particulier dans la formule (9)
''''0 HixH-h)
nous obtenons pour déterminer le polynôme 0^ {%) l'équation
Om W = [^m (^, ^) (^m 4^. (^) "*- K W) H(i^)]/
Pour en déduire l'expression du polynôme cherché 0^{x), nous observons que la fonction
après que l'on en a retranché la partie entière
9m ^m (^) -*- Qm (^) -ffm ^m (- ^) - ^m (- ^) H[z-\-h)
qui n'influe pas sur la quantité
[*„ (^, ^) (P» *» (^) -H «» (^)) HF^],. se réduit à la fraction
9m^m{—^)-*-^mi-^) Hiz-^ h) '
ce qui donne
Si de même nous retranchons ici de la fonction
0rn («. z)
sa partie entière
0^{x,z)-0,ni^>
nous aurons
L^m (^5 ^) (^m 4^«i (^) -^- ^^m (^)) g(.H-fe)J,— S [ z-*-h J/
D'où, en vertu de l'égalité il vient
par suite, l'expression du polynôme 0^(x) que nous venons d'obtenir se réduit à celle-ci
0^ (^-j ^ 9m^mi-hh^^mi-h) ^,^ ^^^ j^y
Nous déterminerons la constante inconnue qui figure dans cette exprès- .
sion de la fonction 0^{x), en observant que pour x=^ — h elle donne l'é- '
quation
d'où l'on obtient
/; / ]A - ffm ^m (- ^) ^m (~ ^> - ^).
En posant pour abréger
nous avons d'après cette formule
et l'expression obtenue pour 0^{x) se réduit à la suivante
En portant cette expression du polynôme 6^ {x) dans l'égalité (4) qui détermine le dénominateur ^^ (x) de la réduite
QmM r
de l'expression
dont le degré est égal à m, nous trouvons que dans le cas particulier que nous considérons, où
ce dénominateur est déterminé par la formule
Quant au numérateur O.^ (x) de cette fraction, nous le trouverons en multipliant W — TF^ par ^J;^ {x) et en négligeant dans le produit les termes de degrés négatifs.
§ 4. Les formules que l'on obtient de cette manière pour
contiennent le facteur constant g^ qui reste indéterminé. Comme c'est un facteur commun des fonctions
il disparait dans la fraction
il reste donc complètement arbitraire, si, en déterminant les fonctions
on n'a en vue que de faire approcher le plus possible la fraction de la fonction
'' H{x-*-hy
comme nous l'avons fait jusqu'ici. Passons maintenant à la supposition que la fraction que nous considérons
s'obtient du développement de la fonction W-
en fraction continue
où
sont des fonctions entières.
En désignant par
Po Px P2
ses réduites, où
-ft,...,
nous observons que parmi elles il doit se trouver une fraction dont le dénominateur est du degré m, si la différence
n'est pas nulle. En effet, on pourra déterminer ici par la formule (13) un dénominateur du degré m tel que la fraction
donne l'expression de la fonction
à la quantité
inclusivement près, et cela ne peut pas avoir lieu si la fraction n'appartient pas à la série
Po, Pi P^
des réduites de la fonction
H(x-t-hy
obtenues par le développement de cette fonction en fraction continue
^^-Ts-
Il en résulte que, le facteur constant g^ étant convenablement choisi dans la formule (13), cette formule fournit la fonction ^„{x) égale à l'un des dénominateurs
De là, en répétant le même raisonnement après avoir remplacé m par 1, 2,. . .w — 1, nous concluons que, les facteurs
étant convenablement choisis, la formule (13) fera connaître les fonctions
qui ont leurs égales dans la série des dénominateurs
lorsque aucune des équations
(15) H=H„ H = H„. . .H=H^^, H=H„ n'est satisfaite.
Puisque les degrés de ces dénominateurs forment une série croissante et que les fonctions
d'après la formule (13), sont des degrés
1, 2,. . .m — 1, w, les deux séries de fonctions ne peuvent coïncider que si l'on a
(16) ^,{x)=^Q„ 'r,(^) = «„...^„,(^) = <?„ rp^(x) = Q„; ces égalités nous serviront à déterminer les facteurs constants
qui entrent dans les expressions des fonctions
"ï-,(^), <*•,(*),•••"*■„.(*), ^Jx).
§ 5. Passant à la détermination de ces facteurs, nous observons que, d'après (14), les égalités (16) ne peuvent avoir lieu que dans le cas, où les quotients incomplets
contiennent x au premier degré et où, par conséquent, g^ est représenté par la formule
p^, 0-^ étant des constantes. En portant cette expression de q^ dans l'équation
à laquelle d'après (14) doivent satisfaire les dénominateurs Q^^^ Qn—x") ^n' nous trouvons pour n<.m, la relation
Qn = ^„-i (P„ ^ -*- O — ^n-2'
qui donne d'après (16)
'F» W = V„, W (P„ ^ -^ %) - <*•„, (X). Pour en déduire les équations qui déterminent les quantités
9l, 92^' • '9m-iy 9m^
introduisons-y les expressions des fonctions
que nous tirerons de (13), en y remplaçant
par leurs expressions que nous obtiendrons de (10), en y posant m = n^ n — 1, n — 2. Cela nous fournira l'équation
/ \V\ r\ W—i(—h)']fn—2{-h)\n-l{x)-K—\{-h)^n—2{xn
= 9n.^, {?n ^ -^ ^n) [^n-, C'^^) -^ W^kz, x-Jh ' ^ -^^^^^ j
n i .!; ^'T^ -^ V-2(-^) '}>n-3 (- ^0 ^n-2 (^) - 4^«-2 (- ^) 4^n-3 (a-ri .
— ^n-2 L^'î-2^^^-^i/-^„__2 ~ ^oZli ~ J'
d'où, en multipliant par x-+-h, nous déduisons
l9n ^n (^) - 9n-,(9n « "^ ^n) l-i (^) -^- ^n 2 +n-2 Wl (^ -^- '^) -^^n-. ^^-^^. [k-3(~^0 k-2(^)-+«-^2(-^) k-3(^)l = 0.
Dans cette formule les fonctions
étant les dénominateurs des réduites
de l'expression
a, a; -4- Pa — • . ^^
sont liées par l'équation
(17) 4,„W = (a„:ï-HpJ |„,(^) -<!/„, W.
Par suite, le facteur qui multiplie x-i-h devient par l'élimination de ^^ {x)
En observant que le produit du premier terme de cette expression par x-i-h est du degré w h- 1 et que les degrés de tous les autres termes de l'égalité que nous considérons sont inférieurs à w -+- 1 , nous concluons que cette égalité ne peut avoir lieu que si ce terme disparait et que par conséquent on doit avoir
Cela posé, l'égalité dont ils'agit se réduit à celle-ci:
[p„^„ - ^„i/„--^"^''-Vi'H„'!!"-''~*'] 4„^. w
Pour en chasser les produits
nous trouvons d'après (17)
aA) (x) — '^^ ^"^^ ~ ^" '^"-^ ^^^ "^ '*'"-» ^^^ , et, en remplaçant n par n — 1 ,
En portant ces valeurs des produits
dans l'égalité en question nous obtenons
l?nfJn—<^ndn-i H-H^-, J ^ ~~
. F/; rr-i n rr /7 ^ fi[nJ^i!?Lt±) <^n 9n-x ^n-lJziMn^ïill^l ,1, C2;^
-+- Y ^ ^^ •^" ^n ^„-i^ U- H^ H - //„! J rn-i i^^
Le premier membre de cette égalité est la somme algébrique des fonctions
multipliées par des constantes qui doivent se réduire à zéro pour que cette somme formée des fonctions
^n(^\ i^n-iW, +n-2(^). 4^n,(^)>
de degrés
w, n — 1, n — 2, n — 3, s'annule identiquement.
D'après cela, en rassemblant les termes en
et en égalant leurs coefficients à zéro, nous obtenons ces deux équations
K9n-'^n9n-\ Pn 9n-\ K-\ (" ^0 ^n—2 (~ ^ . 9n^n(-^) K-iJ—^') n
9n—2 - 9n . 9n 9n~i '\>\~i (— ^) ffn— 2 '1^'n— 2 (- ^0 A
En y mettant, d'après (18),
à la place de p„, nous avons deux équations qui nous donnent
rorn ^n H—Hn^i H - Hn--.^ — a»— i 'l^'^n— 2 (- fe).
Les quantités
qui y entrent s'obtiendront par la formule (11) pour m = n, n — 1, n — 2. En portant dans cette formule l'expression (7) de la fonction
et en y posant m = n, nous trouvons que H^ est déterminé par la formule
En remplaçant ici n par n — 1, n — 2 et en comparant les expressions de H^, H^i, Ii^^ obtenues de ces formules, nous observons qu'elles satisfont aux équations
Hn = ^„-, -*- «„f „-, (-'0, i^-, = -Ef„.-H a„, f „,(- h), qui donnent
par conséquent l'expression du rapport
On— 2^
se réduit après l'élimination des quantités à celle qui suit:
On {H-H^,f
gn-2 — {H~Hn^(H-H„)
En y posant successivement
n = m, m — 2, m — 4,...w — 2jp-i-4
et en multipliant entre elles les égalités résultantes, nous obtenons, les réductions faites,
Om—2p-^2 {H — H^) {ii — H^n—if (^ — ^wi— 4)^ ...{H— Hjn—zp-i-2)
En posant ici
m = 2^?, m = 2^ — 1 , nous trouvons
g,p __ {H-H^p,f (g- H,p 3)'» ' -JS-H,)^
g^ —iH-H^p^,){H-H^p,fiH-H,p^,)\..{H-H0'
§ 6. Les quantités g^, g^, qui entrent dans ces formules sont déterminées, d'après (16), par les égalités
qui donnent d'après (13)
En observant que, d'après (7), les degrés des fonctions
0^{x, — h), 0^{x, —h) sont inférieurs à ceux de
nous concluons de ces égalités
g, = lim. [^^^ ; g, = lim. rT%l
Cela montre que les quantités g^ , g^ sont égales aux rapports des coefficients des plus hautes puissances de x dans les fonctions
que nous obtenons, d'après le § 4, eu développant les fonctions
en fractions continues.
Comme on a ici
co'
C0C2 — Cl*
Co H~ 1 (co H- 1)2 {CpH-lf ,
H{CqH~ 1) (C2 Jî— /l2) - H (Cl IZ-+- 7l)2 '
nous avons dans ce cas d'après nos notations
J. CqS
Hx H{CiH-*-h)^ ^ (coH-l)2a;g
■ Co if — 1 (Co if— 1)* ' ^a jï [(Co cj — Ci2) H— cq h'^ — 'ÀCi h — c^]'
D'où il vieut, d'après ce que uous avons dit sur la détermination de
n — __^Q^. n — (cog-l)McoC2-gi')
i'i ~ Co H— V 92— c^2 ir^ico C2 - c,2) H-Coh^-2cih — CaJ '
et d'après (21)
2 1 TO V / 2 Tl V ^ Cq Cq{CqC2 — Ci*)
En tirant de ces dernières égalités et en portant ces expressions dans celles de </i, ^a, nous aurons
Oi — H—H\ ' 9^~~ H(H— H2)
après quoi les formules obtenues au § précèdent pour les rapports
donnent
[ 1 p/- Il2p~i) (tf- H,p^,). . .{H-H,)Y
J ^2p H (H - H,p) \{H - iZ,p__2) (H - H,p,) ...{H- hJ '
I !£ (JH- H2P-2) i^I- IÏ2p~4)' ' -(g- g2)f
( ^2p-. ~'H- B,p, \{H- H,p^) (H- H,p^,). . .{H-hJ '
Ces formules déterminent les facteurs constants
qui entrent dans les expressions (13) des fonctions lorsque les réduites
Qj W ^2M Qm(^)
de l'expression
fo.. ^. j^. 1
se déduisent de son développement eu fraction continue ^ i__
Quant à la détermination des quotients incomplets de cette fraction, nous tirons de (18) pour w = 2p, m = 2p — 1
P2p — ^tp ^2p , ' Pîp— 1 ~~ *2P-1 Qip — i
et il vient de (22)
P2p — ^2p m [H- H^p) \{H - gjp-,). . .{H-H^) (H- hJ
— IPjS-H^p-^)' /(H- g,p-4)- • -(g- gJ (g- g2)Y
P2p, — %-, H- H,p^, \{H- H,p 3). .{H -H,) (H-hJ •
Ayant ainsi déterminé le coefficient p^ dans le quotient incomplet nous trouverons o-^ par la formule qui s'obtient de l'égalité (19), en y portant d'après (18) ^ à la place de -^^
et en remplaçant n par m.
§ 7. Dans le cas que nous considérons les quantités
sont positives, d'après le § 1 ; donc les formules que nous venons d'obtenir donnent, comme on le voit aisément,
Pi>0, P3>0,...p„>0,
si ^ a une valeur quelconque, négative ou positive, supérieure à
fi.- S„..H„.
En nous bornant à ces valeurs de H^ nous concluons de ce qui a été dit au § 1 sur les fractions continues dont les quotients ne contiennent que la première puissance de x avec des coefficients positifs, que toutes les racines des équations
sont réelles et qu'entre deux racines voisines de l'une quelconque d'entre elles
se trouve une racine de l'équation
On voit de là qu'aucune de ces équations n'aura de racines négatives si dans la dernière équation
qui, d'après (13) et (10), se réduit à
/0q^ ,. (^x , K (- h) K~i (- ft) ^m (^) - 4^m (- ft) ^m-i (^) a
toutes les racines sont plus grandes que zéro.
Pour trouver les conditions sous lesquelles cela a lieu, nous observons que, d'après le § 1 , entre deux racines voisines de l'équation
se trouve toujours une racine de l'équation
et que par conséquent la fonction '\'^^ (x) doit changer de signe dans cet intervalle; mais comme la fonction ^^(a;) s'annule aux extrémités de l'intervalle et que ']>„j j (x) change de signe, le premier membre de l'équation (23) change évidemment de signe dans cet intervalle. Il en suit que dans chaque intervalle entre deux racines voisines de l'équation
se trouvera au moins une racine de l'équation (23). Cela posé et eu égard à ce que l'équation
a m racines qui sont toutes positives d'après le § 1 , nous concluons que l'équation (23) a au moins m — 1 racines positives; donc, étant du degré m, elle ne peut avoir qu'une racine négative. Mais l'équation (23) ne peut pas avoir une seule racine négative, si son premier membre a pour ic = — oo le même signe que l'expression
xjP)
qui représente sa valeur pour a; = 0.
En observant d'après sa composition que pour x= — oo il a le même signe que son terme le plus élevé '\>^ (x) et que, d'après (2), ^^ ( — oo) et
t}^^(0) ont le même signe, nous concluons que l'équation (23) n'a pas de racine négative, si le rapport des quantités
est positif et si, par conséquent, a lieu l'inégalité
Comme on a, d'après (2),
et que, d'après (7), (10), la fraction
^,n~-x (- fe) ^m (0) - ^m (- ft) 'l^m-. W /t
est égale à la somme
«i'lo(-/0 +o(O)-*-a,^>,(-/0 4^,(0)-^, . .-^-a^'k-.(-^0 4^.-,(0), dont tous les termes son positifs d'après (1), (2), on peut diviser cette inégalité par le produit
iml-'O ^rn-i (- fe) ^m (Q) " ^m (- ^*) ^m-x (») .
après quoi elle donne, en transportant le premier terme au second membre, (<1A.\ 1 -^ ^m(O) ^
y^^^f H-Hm^ ^m (- h) ^m~x H ^) ^m (0) - ^m (- '0 ^m-i (0)
En observant que, lorsque cette inégalité est satisfaite, l'équation
,!, (rr'\ i- ^m (— ^0 ^m—y (— ^) "^wz (^) — 'l^w
. ^m (— ^0 4^m— 1 (— ^) "^wz (^) — ^m (— ^0 ^m-i (a^) q
n'aura pas de racines négatives, nous concluons que pas une seule variation de signes dans l'équation
ne sera perdue par l'addition au premier membre des termes qui forment le polynôme
rmK fi) x-i-h '
multiplié par
si cette dernière quantité est plus grande que
^mJO) JL
§ 8. En revenant au cas général, lorsque les coefficients ^o> ^u ^2? • • •
de la série
W — io, lï . ^
sont complètemeut indépendants entre eux, nous désignerons par
les valeurs absolues des coefficients qui multiplient
x\ x\ x\...x'' dans la fonction
pour n quelconque.
Comme, d'après le § 1, dans les polynômes
les termes ont alternativement les signes -h et — et que les termes le plus élevés ont le signe h-, la fonction ^„(ic) sera représentée pour une valeur quelconque de n par la formule
(2 5) ^„ (x) = /i: j") x"" - Kl:L, x""-' -f- K^% a;"-^ — . . . =t K^'"'^
En calculant d'après cette formule les produits
oîî, d'après (1), on a
nous observons qu'ils se réduisent à des sommes algébriques de ternies qui contiennent x à des puissances inférieures à m et que le signe du terme en
est défini par le signe de
(— 1)"-*' (— If-i" = (— 1)».+*,,.
D'où l'on voit qu'eu portant les expressions de ces produits dans la formule (7), on obtiendra une équation que l'on pourra écrire ainsi
en désignant par
(in h,)
la valeur absolue du coefficient de x^' x*» . Si nous portons cette expression de la fonction 0^ {x, z) dans l'équation (9) et si nous observons que l'on a ici
(«' = 0, 1, 2,. ..; « = 0, 1, 2,. . .»0, nous trouverons
0^ w = &„ 2222 (ir ^"*»-'-^' (,„ i„) ., xr é- 1'^-'-^
Mais en représentant les coefficients du polynôme cherché 0^{z) sous la forme
(- ir~' 9,, i;.-. (- 1)""^ 9m i'»-., ...,(- 1)» ?„ r„.
nous avons
(27) tf„(.;) = <,m2(-^'''^-i^''- (1 = 0, 1, 2,...m-l),
ce qui, porté dans l'équation précédente, donne
= [2222 (—1)*'*'""-'"-'"^'' (i,, j„) ei' ^/"' / /-^•"-•'-']^ -*- [2222 (-ir'"""""' (i, «.) «' i; ^•' ^""'"-''"l-
Pour trouver les valeurs des termes du second membre de cette égalité, nous observons que dans les sommes contenues sous les signes [ \ les termes en — qui en déterminent les valeurs s'obtiennent dans la première somme
2222 (~i )*>'""-'"-*■-"*' (i„ è„) Ci' kp x'' /-*"-^'-^
pour i =i~\- i„ et dans la seconde
2222 (- ir'"^-^' a, i.d ei' Y^ / ^^'■^'-'
pour i' = y) -t- i„ . Mais en écartant tous les termes pour lesquels ces relations n'ont pas lieu, nous trouvons que la formule que nous considérons se réduit à
Les deux membres de cette formule sont des polynômes en x du degré m — 1 qui doivent être identiques. En déterminant les termes en
dans les deux polynômes et en égalant entre eux les coefficients des puissances égales, nous obtenons les m équations suivantes
F =(i)"»yy(w-i,ue. . z/'")-+-yy(m-i,v)e . r,
F =(!)"» Vy(w 2,Ue. . s:/"')-Hyy(m-2,ê„)e . F,
ï;=(- ir 22 (1. ^") «.-.,„ ^r-22 d- ^") ^-.-v ^v r.=(- ir 22 (0' '") ^..-.■„ ^r-^22 («' *") ^*^„ ^.'
qui déterminent toutes les m inconnues
qui, d'après (27), figurent dans l'expression du polynôme cherché 0^{x). On voit d'après la composition de ces équations que si
sont infiniment petits, les quantités
auront également des valeurs infiniment petites dont l'ordre par rapport à
^0? ^n ^2) • • '^sm— 1 ne sera pas inférieur à un; donc pour ces valeurs de
les dimensions des derniers termes dans les équations précédentes ne seront pas inférieures à deux; par conséquent, en les écartant, nous obtiendrons de (28) ces expressions, exactes jusqu'aux termes du premier degré en
o> 1) • • • 2tn-~i
inclusivement:
y„, = (- ir 2 2 (» - ' ' ^") 'i*i.. ^■•""''
Eu portant ensuite ces valeurs approchées de
dans les derniers termes des équations (28), nous obtenons pour exprimer ces inconnues des formules exactes jusqu'aux termes du deuxième ordre.
En poursuivant ces substitutions, nous pouvons trouver les expressions de
exactes jusqu'à tel degré que nous voudrons.
§ 9. Mais au lieu de nous y arrêter, nous allons montrer à présent comment on pourra obtenir une limite supérieure des erreurs provenant de la suppression des derniers termes dans les équations (28), pourvu que les quantités
ne dépassent pas certaines limites, qui, comme nous le verrons, s'obtiennent aisément dans chaque cas particulier.
En désignant les valeurs absolues des sommes
pour n quelconque par
les valeurs absolues des inconnues
Y Y Y Y par
par M la limite supérieure de ces dernières quantités et par
celle des inconnues
dont la valeur absolue atteint la limite M, nous observons que Tégalité
que l'on obtient de (28), ne peut avoir lieu que si
Comme, d'après le § 8, l'on a
(n, e„)^0, la valeur absolue de la somme
ne diminuera pas, si nous y mettons à la place de e-r^-x-i,, sa valeur absolue et à la place de Y la quantité ilf, qui représente d'après nos notations la limite supérieure des valeurs absolues des inconnues
Par conséquent nous avons
(30) U^<S^M, en désignant par 8^ la somme
que l'on obtient lorsque des deux signes d= l'on garde celui pour lequel on
D'après cela, en désignant par
S, T les limites supérieures de
nous avons
L\<SM; T^<Tce qui donne d'après (29)
