M<T-\-SM
De cette formule pour
il vient
(31) ^<îés'
ce qui, d'après la signification de M, détermine la limite supérieure des valeurs absolues des inconnues
Quant à l'inégalité
dont, comme on l'a vu, nous avons supposé l'existence en déterminant la limite supérieure M, et où S est la limite supérieure des quantités
cette inégalité aura lieu si les quantités
ne dépassent pas les limites pour lesquelles
Quant à ces dernières limites, elles peuvent être trouvées dans chaque cas particulier, puisque les sommes
s'annulent évidemment pour
En supposant que les quantités e^, e^, e^,. . . ne dépassent pas ces limites nous aurons
d'où l'on trouve d'après (30)
Comme d'après nos notations U^ désigne la valeur absolue de la somme
cette somme sera contenue entre
et par suite, d'après (32), entre
Sn T Sn T
Cela montre que l'équation
(33) r„ = (- ir 2 2 (». i.') <=i^i„ -K-r' -h2 2 (»' '") %+c ^v
que l'on obtient de (28), donne
près. En posant successivement
w = m — 1, m — 2,...l, 0, nous trouverons ainsi, pourvu que
satisfassent à l'inégalité
les valeurs approchées des inconnues
et les limites de leurs erreurs. Nous concluons de là que sous cette condition l'on pourra satisfaire aux équations (28) par des valeurs finies de
et que par suite, d'après le § 2, on pourra déterminer le polynôme
du degré m tel que la fraction
£i^ étant convenablement choisi, représente la fonction
jusqu'au terme en ^^ inclusivement.
Cela montre que
sera une des réduites de cette expression; par suite, si
il doit se trouver dans la série de ces réduites une fraction dont le dénominateur sera du degré m.
§ 10. Nous allons nous occuper maintenant de l'application des formules obtenues au cas où les quantités
sont renfermées entre les limites
' -ffo
H, h étant positifs. Nous admettrons que la condition
soit satisfaite, ce qui exige, comme nous le verrons, que la quantité H^ ne soit pas inférieure à une certaine limite qui sera indiquée plus loin. Comme, d'après le § 8, les quantités
ne sont pas plus petites queO, le maximum de la valeur absolue de la somme
lorsque
^0 5 ^1) ^2»* • •^2TO— l'
ne dépassent pas les limites
1^ h^ 7i^ h^fn—i
Hq i/o i/o -^0
Hq Hq JtJq JJq
s'obtiendra pour
^o~^' ^i~âô' ^2— i^g'---' ^2m-i— /7o î
nous aurons donc d'après le § 9 ce qui donne
Pour trouver la somme
observons que de l'équation (25) oh obtient pour n = m, a;= — h
d'où il vient
2 xrA'=(-ir +«(-'')•
Pour trouver la somme
posons z = — Il dans l'équation (7) et portons dans l'égalité résultante
les expressions (25) des fonctions
Nous trouvons ainsi (35) 0„(rr, A) = (-1)"— [Lïl. x'-'-'-iL-i, ^"-^-^ilria ^"-"— .], où l'on a posé pour abréger
ii:i.=(-ir-' [«™k-(-'o /e-.''-«„,'^„,(-^) ^r-f ], (36) |iï2.,=(-ir-' K*„,(-'o ^e-a"- «„,+„, (-A) iiTir-i"'
En observant que cette expression de la fonction ^^ {x, — li) doit être identique à
ri>„(a;, -A) =2 2 (-1)''"'" (i> »•") (-''/■' ^''',
que l'on obtient de (26) pour z=^ — A, et que x^ entre dans ces expressions avec les coefficients
(-i)"i„"">, (-ir^o». '")/''",
nous obtenons l'égalité
En portant dans l'inégalité (34) les expressions qu'on vient de trouver pour les sommes
nous obtenons
(38) T^^C-ir^^C-A)?;^';
d'où nous déduisons à fortiori
(38)"' 2"„<(-ir4'».(-*)^''
en désignant par L^^^ la limite supérieure des quantités
Jim) T(m) T (m) j (m)
En passant à la recherche du maximum de la somme
dans le cas oii
ne sortent pas des limites
et oii tous les termes de la somme sont pris avec les signes qui rendent leurs valeurs positives, remarquons que ce maximum s'obtient pour
^0— Hq' ^1 ~ i/o' ^2 — H^5 • • • ^2m-i — Ho
tous les signes étant -*-. Il s'ensuit que la quantité que nous avons désignée par S ne dépassera pas la somme
et que par conséquent Comme on a
et que d'après (37) cette inégalité donne
d'où, pour
n = m — 1, m — 2,...l, 0, on obtient
Ces formules montrent que S, la plus grande des quantités
ne surpassera pas
Hq h—l '
puisque d'après nos notations L'-^^ est la limite supérieure des quantités On a doue
On voit d'après cette formule que la condition
dont il a été question plus haut, sera satisfaite si l'on a
Dans la discussion du cas qui nous occupe nous nous bornerons aux valeurs de H^ qui satisfont à cette inégalité; nous aurons donc
§ 11. D'après le § 9, si l'on a
la limite supérieure des valeurs absolues des inconnues Y Y Y Y
que nous avons désignée par ilf, satisfait à l'inégalité
En observant que cette inégalité n'est pas altérée lorsqu'on y remplace
T, S par les quantités
qui, d'après (38)bi3, (40), ne peuvent pas être inférieures à T, S^ nous en obtenons par cette substitution
de là nous trouvons par (39)
et d'après (30)
OÙ U^ est, d'après nos notations (§ 9), la valeur absolue de la somme
En vertu de cette relation et de l'inégalité (38), d'après laquelle T^, valeur absolue de la somme
ne dépasse pas
nous concluons de l'équation (33) que la valeur absolue de Y^ ne dépasse pas la somme
qui est égale à
11 s'ensuit que Y^ est contenue entre les limites suivantes
En posant dans ces formules
nous trouverons les limites entre lesquelles sont contenues les valeurs de toutes les m inconnues
qui entrent dans les équations (28);- d'où nous concluons que, la condition
étant supposée satisfaite, les équations (28) auront dans le cas que nous traitons des solutions finies, et que par conséquent on pourra trouver le polynôme
=?» ['kW-i- ir (i-»-, ^•"-'- r„, ^"-^-+-. . .)]
du degré w, pour lequel la fraction
^mW étant convenablement choisi, donne l'expression de
W—Wo exacte jusqu'aux termes en ^^ inclusivement. En observant que pour que cela soit ainsi, la fraction
doit avoir son égale dans la série des fractions réduites
Çi ' «2 ' <?3 ' " * de l'expression W — Wq^ obtenues par son développement en fraction continue, nous concluons que si Hq satisfait à l'inégalité (42), il doit se trouver dans cette série une fraction dont le dénominateur est du degré m.
En répétant les mêmes raisonnements, après avoir remplacé m par les nombres
nous arrivons à la conclusion que dans la série
A A A Qi' Qz' <?3 " * *
des réduites de l'expression W — Wq se trouvent nécessairement des fractions dont les dénominateurs sont des degrés
si Hq satisfait aux inégalités
(44) if.>i<-)^, ff„>i<»-')'i9;pi,...,F„>X«5^,
où, d'après notre notation,
sont les limites supérieures des quantités
que nous obtenons des équations (3 6), en les laissant d'abord sous leur forme actuelle et en remplaçant ensuite le nombre m par m — 1, m — 2 .... 1.
Puisque ces équations, eu y remplaçaut 7n par [;l, [a — 1 , donnent
i„<'" = (-lf-' [%%-A-h) K„^~'^-«^, 4.^,(-A) £•„»"-" -H...],
il en vient
Mais en observant, d'après (1), (2), que
a^>0, (-lf-',^^,(A)>0, nous déduisons de cette égalité
Il en suit que L^^\ limite supérieure des quantités
ne peut pas être plus petite que L''^~^\ limite supérieure des quantités
T(\>—1) T(l>—1) T (fi— 1)
et que par conséquent on aura
De là et considérant que
/jH-i /tt^— i-i , ji i hi^—i - 1 /i-i~ /i-i "*"^ -^ A-i ' nous trouvons
D'après cela les seconds membres des inégalités (44) forment une série décroissante; donc toutes ces inégalités seront satisfaites lorsque Z^o satisfait à la première d'entre elles
et par conséquent, d'après ce qui précède, il doit se trouver pour cette valeur de Hfi des fractions aux dénominateurs des degrés
dans la série des réduites de l'expression
tirées du développement
En remarquant que cela n'est possible que si
sont du premier degré, nous en concluons que dans le cas que nous considérons, Hq satisfaisant à l'inégalité (42), la fraction continue provenant du développement de l'expression
sera de la forme
P2 a; -»- (Jg
Comme elle doit conserver cette forme pour toutes les variations de l'expression W — Wq qui laissent subsister l'inégalité (41), les coefficients
Pu p2>* • M Pm
ne peuvent ni s'annuler ni devenir infinies, tant que l'inégalité (41) reste satisfaite; par suite, étant des fonctions rationnelles des coefficients de l'expression W — Wq, ils ne peuvent pas changer de signe tant que H^ ne dépasse pas la limite assignée par l'inégalité (41). En remarquant que pour
^0 = 00 on obtient, d'après le § 10,
et que par conséquent la fraction
Pi a;-+-ffi-
se transforme en
où, d'après (1), l'on a
on voit de ce qui précède que, dans les suppositions que nous avons faites, les coefficients
Pu p2J' • «J Pm
auront des valeurs positives.
§ 12. Nous avons ainsi établi que lorsque
ne dépassent pas les limites
Ho' Ho'"'
Ji2m—i
Ho
him-x
et qu'on admet
' Ho
la série
rr rr 0 — ^ ^^ x^
se laisse développer en la fraction continue
■^1 ' P2 X -H (Jg — • . -^
Où * Pm«^-^Om--..,
Px>0, P2>0,...,p^>0; donc en désignant par
les réduites, nous voyons, d'après ce qui a été dit au § 1 sur les fractions continues de cette forme, que toutes les racines des équations
ont des valeurs réelles et que ces valeurs sont toutes positives si l'équation
n'a pas de racine négative. Pour trouver la condition sous laquelle cette dernière circonstance a lieu, observons que l'équation
se réduit en vertu de (4) et (27) à celle-ci
le coefficient
étant, d'après (43), pour y)=w contenu entre les limites
De là et considérant que d'après (35), (10) on a 0^(x, *) = (-])"*-' [i«,a:"— -i«.^"'-^H-...-H(-ir-i.W],
nous arrivons à la conclusion que dans la somme
les coefficients des différentes puissances de x sont contenus entre les coefficients des puissances correspondantes de x dans les fonctions
En comparant ces fonctions avec la fonction
H— Ujn x-t-h '
qui figure dans l'équation (23), et en observant que l'inégalité (24) dont le second membre est < 0 est satisfaite, si
ne sort pas des limites
.AûM l
+m (- ^*) ^m-x (- ^) 4',» (0) - ^,n (- /^) 'l^wî-i (0)'
nous concluons, d'après le § 7, que si
ne dépassent pas les limites
<]>?» (- ?») 4>m-i (- '0 i'm (0) - 4^m (- h) i>ni-i (0)' ^OT (0) ^
r équation
ne contiendra que des variations des signes et par suite ne pourra pas avoir de racines négatives.
Comme les quantités
ne dépassent pas les limites indiquées ci-dessus pour et que d'après (10), (35) on a
nous concluons que si H^ est plus grand que la somme
ni 7('») . K(— ^) 7- (m) -1 ^^ -*- 4-^(0) ^0 »
l'équation
n'aura pas de racines négatives et qu'alors, comme nous l'avons vu, le équations
n'auront pas non plus de racines négatives.
De là, ainsi que des résultats des paragraphes précédents, en posant
^0 — ^0 "= ^0 > Cj -t- gj = C/i , . . . , c^j nous obtenons le théorème suivant.
Théorème.
Si la série
Cq ____ £i - £2
est développaUe en fraction continue
oit Von a
et si toutes les racines des égtiations
formées avec les dénominateurs des m de ses réduites
çijx) 92 (x) 9ffl— 1 (a;) Tm W
ont des valeurs positives, la même propriété avec le même nombre m a lieu pour la fraction continue provenant du développement de la série
Cn Cl Co
et pour ses m premières réduites, lorsque les coefficients
ne dépassent pas les limites
o?i Ji est une quantité positive quelconque et Hq une quantité positive plus grande que la somme
dans laquelle L^^^ est la limite supérieure des valeurs absolues des coefficients du polynôme
et Lq^ en est le terme constant.
§ 13. En passant à l'étude des racines de l'équation
lorsque dans la série
les quantités
sont complètement indépendantes entre elles, nous observons que d'après le § 12 cette équation se réduit à l'équation
(46) ^^(^)^-2(-l)T,=t'' = 0, dont les coefficients
sont déterminés par les équations (28). En posant dans ces équations
eo = 0, 6^ = 0, ^2 = 0,..., e^^__^ = 0, nous trouvons
après quoi l'équation (46) se chauge en l'équation
Il en suit que les racines de l'équation (46) sont des fonctions des quantités
qui pour
eo = 0, ej = 0, ^2 = 0,..., e^,„i = 0
sont égales aux racines de l'équation
En désignant par
les racines de cette dernière équation disposées dans l'ordre croissant, et par
les racines de l'équation (46) disposées de manière qu'on ait
x,^''^ <x^^'^ < . . . <a;/°) < . . . <xj^ pour
nous aurons pour ces valeurs de Cq, e,, e^. . . e^, d'après ce que nous avons vu plus haut,
D'après (3) et (28) tous les coefficients des fonctions
s'annullent pour
et l'on a
dei 2*-*-i
Par conséquent, eu différentiant l'équation (9) suivant e^ et en posant ^0 = 0,61 = 0,62 = 0,..., nous obtenons dans le voisinage de ces valeurs de e^, e^, e^. . .
à±mM — ( 1 ^«■ n [^miP^jAhlM]
En portant ici les expressions (27), (10) des fonctions
et en divisant par g^^ nous trouvons
ce qui pour
x^ étant une racine de l'équation
donne
de,- ~~^ '^ L (a:^ — ^) ^t'-^l Js'
d'où, en observant que Y^ s'annule pour ^o = 0, e^ = 0, e, = 0 . . . , nous obtenons
Puisque les racines de l'équation
ont, d'après le § 1 , des valeurs réelles et positives, les termes du polynôme
(72 ^2 — x,f. ,.(z — x). . .(z — xj\ auquel se réduit la fraction
Z — Xi Z — Xl
ont alternativement les signes -\~ et — . Si nous observons que le premier terme (7^ /'"~^ a un coefficient positif, nous trouverons que le coefficient de / sera représenté par la formule
-(-ir/f,
où
Par conséquent il vient
\-{z—xj)z
et l'équation (47) donne
Cette égalité aura lieu pour
qui sont racines de l'équation
taudis que pour les racines de l'équation (46) que nous avons désignées par
nous aurons
d'où nous obtenons, en différentiant par rapport à e.
En appliquant cette équation au cas, où et en observant qu'on a ici, d'après ce qu'on a vu plus haut,
K-, = o, i'„-,= o,-.-- 1^1 = 0, ro = o, xl'^^x,,
nous trouvons que dans le voisinage de
aura lieu l'égalité
d'où il suit
ce qui, d'après (48), donne
Cette relation détermine la valeur de la dérivée
dans le voisinage de
^0 == 0, Cj = Oj ^2 == 0 . . . ,
et il est aisé de montrer que dans le cas cou sidéré on en obtient
En effet, de ce que nous avons montré au § 1 relativement aux équations
on voit qu'entre deux racines voisines de l'équation
se trouve une racine de l'équation
en même temps qu'une racine de l'équation donc la fraction
change de signe deux fois dans chacune de ces intervalles, en reprenant le même signe pour
x = x^, iCg,..., aîp. . ., x^
En observant que, pour la même raison, les équations
n'ont pas de racines entre x=^x^^ a; = -»-cxD, nous en concluons que les fractions
ont le même signe que la fraction
Il en suit
puisque, d'après § 1 , on doit avoir
+;n i(-*-^)>0, f„(-*-oo)>0.
Ayant ainsi établi que
nous obtenons de (49), où l'on a, comme on l'a vu, ff > 0,
ce qu'il fallait démontrer.
L'inégalité que nous venons de démontrer fournit la limite inférieure de la dérivée
dcf
dans le voisinage de
Pour déduire de l'équation (49) la limite supérieure de cette dérivée, déterminons '\'^^{x) par (25), en y posant
n = m — 1, x = Xj^ ce qui donne
De cette même formule, en y posant n = m et eu observant que les racines de l'équation
sont égales à
nous avons
Par conséquent il vient de l'équation (49)
â^ K^(— l)ffl— «-1 Kj^^n— 1)1^x1)*
dei ^^("») {XI — oîi) . . . (XI - a;/i) (a;^ — xi^{) ...(«/ — a;^) *
En observant que d'après (25) ^^^'"^ est différent de zéro, lorsque ^m W ^^^ ^^ degré w^, et que d'après § 1 les quantités
racines de l'équation
sont toutes différentes entre elles, nous concluons de cette égalité, où
K, X-/"— ', x„ sont des quantités finies, que la dérivée
dans le cas considéré ne surpasse pas une certaine limite finie qui peut être trouvée d'après les coefficients des fonctions
^„,(a;), +«(^) et les racines de l'équation
On voit de là que lorsque les quantités
subissent une variation continue dans le voisinage de
eo = 0, «1 = 0, ^2 = 0,
toutes les racines de l'équation (46) subiront aussi des variations continues et que d'après (50) ces racines croîtront avec e^, e^, e^, , . § 14. Pour étendre ces résultats au cas, où
^OJ ^1) ^2> • • •
diffèrent plus ou moins de zéro, nous remarquons que les propriétés des fonctions
qui ont servi de fondement à tous nos raisonnements, subsistent, d'après le théorème que nous avons démontré, si au lieu de la série
on prend la série
OÙ les quantités
ue dépassent pas les limites
''O^Bo* 1 -»o' ^2-^flo'---'
2m— i • JT y
h, Hq satisfaisant aux conditions indiquées dans ce théorème. Il en suit que pour ces valeurs de
Co, Cj, C'a,. . .
on peut répéter pour la série
tout ce qui a été démontré pour la série
X xi x^^^' ' '>
et que par suite, en remplaçant la séri(3
par la série
dans la formation de l'équation
par la méthode du§ 9, nous n'altérerons pas les propriétés de cette équation déduites au paragraphe précédent et d'après lesquelles toutes ses racines croissent d'une manière continuée, lorsque les quantités
dans le voisinage de
^o = Oj 6^ = 0, ^2 = 0...
croissent également d'une manière continue. Par conséquent, en observant que pour
J5Ji = Cj — Cj -H Cj ,
l'on obtient
Cq — gp ^ Ci^ei ^ G 2—^2 j go--go ^ Cj-^-^i j Cz — -^2 ^
ôEq = deo , ôEi = de^ , dE^ = de^,. . , et qu'aux valeurs de
voisines de
^0=0, ei==0, 62 = 0,.. .
correspondent les valeurs de
Eo, JE^i, ^25' • • voisines de
■^0 = ^0 — ^0 -^1 = Q — ^n ^2 =.^2 — Gj, . . . , nous en concluons qu'en remplaçant la série
Cq — gp , Ci-^-gj , Cg — g^ , a; a;* a;' • • •
par la série
dans la formation de l'équation
d'après les méthodes du § 9, nous obtiendrons une équation dont toutes les racines croissent d'une manière continue en même temps que Eqj E^j E^,,.. dans le voisinage de
E, = c,— Go, E, = G,~c,, E,= c,— C,
Quant à ces quantités
les 2m premières entre elles ne peuvent pas dépasser les limites
Jtîm—i
So »
^Ho'---'
hint—i
puisque d'après les conditions du théorème du § 12 les coefficients
^0> ^IJ ^2>« • •> ^2m— l
sont supposés ne pas dépasser les limites
^2 ^2-flô'--
hîtn—i
§ 15. Dans le cas particulier lorsque l'on a
777 J p ^ 77T ft^
^0— Ho' -^1 — iV -^2— iTo'"*'
la série
Cq — ^0 ^ C|-*-JEi ^ Cj — Ej ^
est égale à
a? œ* a;' * * * HQ[x-^-h)
Par conséquent, d'après le § 9, l'équation
se réduit pour ces valeurs de ^(,, ^j, JEg. . . à l'équation
(51) 'h ix) \ ^^ ^~ ^^ ^^~^ ^~^^^ ^^ ^^^ ~ '^^ ^~^^ "^^—^ ^^^ = 0
\ / Tm\ / Hq—Hjji x-t-h
En observant que ces valeurs de
pour /î > 0, i?o > 0, croissent en même temps que -^j nous voyons d'après
le paragraphe précédent que les racines de cette équation croissent avec ^.
De même, en posant
nous nous convainquons que les racines de l'équation
décroissent lorsque -^ croît.
D'après cela il n'est pas difficile d'obtenir les limites des racines des équations (51), (52), racines que nous désignerons par
iCj , iTg , . . . , iCp . . . , a; ^ , eu les supposant disposées de manière que l'on ait pour 4- = 0
En observant que ces équations se réduisent pourZro=oo à l'équation dont les racines disposées dans l'ordre croissant forment la série
nous concluons que pour
l'on aura généralement
Puisque ainsi la racine x^ de l'équation (51) se réduit à la racine a;^ de l'équation
pour
et qu'elle croit avec cette dernière quantité, qui, d'après le § 10, ne peut pas être inférieure à 0, il en suit que la limite inférieure de la racine x^ est Xj. Quant à la limite supérieure de a;/, cette racine, en augmentant avec ■g^, n'atteint jamais la valeur x^^^ de la racine de l'équation
qui suit Xj dans la série
parce que, comme il est aisé de le montrer, l'équation (51) n'est pas satisfaite pour x = Xj^^, tant que H^^ n'est pas infini. En effet, en posant
dans le premier membre de cette équation et en observant que
')'„(^,-.,) = 0, nous trouvons qu'il se réduit à la fraction
qui ne peut pas s'annuler pour une valeur finie de Z/^ puisque, d'après le § 1, l'équation
ne peut pas être satisfaite par la valeur négative ic = — h, et sa racine x^^^ ne peut pas donner
On voit de là que la racine x^ de l'équation (51) sera contenue entre les racines x^, x^^^ de l'équation
et que par conséquent
(54) Xi<x'i<0Ci^y'
En répétant le même raisonnement pour la racine
de l'équation (52), qui, comme on l'a vu, se réduit à x^ pour ^ = 0 et diminue lorsque ■g- croit, nous trouvons
(55) x^^<xl'<Xi.
Ainsi s'obtiennent les limites des racines des équations (51), (52) et au moyen de ces racines l'on pourra trouver, comme nous le verrons, les limites des racines de l'équation
que l'on obtient d'après le § 9, en remplaçant dans la série
Cq — Cq ^ C| -«- g[ , Cj — ej ^
X iC* x^ ' ' '
les quantités
par les quantités
ne dépassant pas les limites
1 ft h^ h'^ni—i
"*"ifo' ■*"i/o' "*"l/o'*"' "*" i/o »
OÙ ^ est une quantité positive quelconque et Z/q une quantité positive qui n'est pas inférieure à la limite trouvée au § 12. Dans le cas particulier, où l'on a
ces limites se réduisent à zéro et nous avons
E, = 0, JB, = 0, E,= 0 -E,„, = 0;
l'équation
devient donc ici
et nous avons d'après § 1 3
En passant au cas, où -g- dififère de zéro, et se rappelant, comme nous Vavons montré, que les racines de l'équation
croissent avec les quantités
