IJ

nous en concluons que lorsque

■^0, ^ly

ne sortent pas des limites

Ho^ i/o'

ft2m-i

-*-2fo' "^i/o'

le maximum de la racine

correspondra à

Mais puisque, comme ou l'a vu, pour ces valeurs de

l'équation

se réduit à l'équation (51) dont les racines sont

il en suit qu'une de ces quantités fournira le maximum de la racine x^^^K

Il est aisé de reconnaître celle d'entre ces quantités qui donne le maximum de la racine Xi^\ si -^ est infiniment petit. Dans ce cas on voit, d'après les formules qui déterminent les limites des quantités

Eq, E^, ^2»- • •» -^îm-i'

que ces quantités restent voisines de zéro et par suite toutes les valeurs de la racine ic/°) restent voisines de x^^ à laquelle elles se réduisent pour ^=0. Par conséquent le maximum de la racine ic/°^ pour ^ infiniment petit ne peut être égal qu'à celle des quantités

qui se réduit à ic^ pour -^ et cette quantité est, comme, on l'a vu, x[.

D'après cela et observant que dans le cas que nous discutons le maximum de la racine x^^^ augmente d'une manière continue avec la croissance continue de -^, nous concluons que pour toutes les valeurs de ^ qui satisfont aux conditions du théorème du § 1 2 ce maximum sera représenté par la même racine x^ de l'équation (51), puisque autrement pour une certaine valeur de -^, à laquelle s'appliquent toutes les formules obtenues, ce maximum passerait brusquement de la valeur a;/ à une autre valeur prise dans la série

^1 ) ^2 ) • • • 5 ^/ j • • • > ^ m ' ce qui est impossible.

On voit de là que lorsque

ne dépassent pas les limites

Ho'

Ho '

/i2m— 1 ' ' Ho '

la racine x^^^ de l'équation

ne peut pas être plus grande que x^ et que par conséquent

Xi^'^<x;.

En déterminant de même la plus petite valeur de la racine

lorsque

■^05 ^n -^2J-"» -^2m-i' ne dépassent pas les limites

JL A ^ ^^'''"~^

~*"ZZo' "^-H-o' ~*"lZo'""' "*~ So »

nous trouvons que ce minimum est égal à la racine x^' de l'équation (52) et que par conséquent l'on a

Comme on a par (54)

et que par (55)

les inégalités que nous venons d'obtenir donnent

D'après cela, conuaissant les racines de l'équation

nous pouvons trouver les limites des racines de l'équation

lorsque

ne dépassent pas les limites indiquées ci-dessus.

SUR LES POLYNOMES REPRESENTANT LE MÏEUX LES VALEURS DES FONCTIONS FRACTIONNAIRES ÉLÉMENTAIRES POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE CONTENUES ENTRE DEUX LIMITES DONNÉES.

XKADUXX PAK B. C. KLODXBJEVSKY.

(Lu le 2 décembre 1892.)

Q noAunoMaoo'&^ uauAuziac npadcfnaêAJiiomux'6 snazcuÎM

fipocmr&ûiuuxis dpoSuuxis chunâniû npii écAuzuuaccô nc^

pcMT&HHOÛf saÂAiox^aicmuoccji Mc:Jcdu dêuMsv dauuuMU

npcdf&Aajnu.

(IIpHjioaceHie k-b LXXII TOMy SanecoK-B HMnepaTopcKoô AKa^eMin HayKi., JV» 7.)