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Sur les polynômes représentant le mieux les valeurs des fonctions fractionnaires élémentaires pour les valeurs de la variable contenues entre deux limités données.
§ 1. Dans plusieurs cas les calculs approchés se simplifient considérablement, en remplaçant les expressions fractionnaires par des fonctions entières qui en représentent avec une exactitude suffisante toutes les valeurs dont dépend le résultat cherché. Les expressions approchées de cette sorte pour les fonctions fractionnaires se déterminent au moyen des théorèmes que nous avons démontrés dans notre Mémoire Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). Nous allons montrer à présent, comment au moyen de ces théorèmes on trouve les polynômes de difî'érents degrés qui représentent le mieux les valeurs de la fraction élémentaire
pour les valeurs de la variable x, ne dépassant pas les limites
Nous supposons les quantités H, h positives et pour que la fraction reste finie entre
x = — h, x = -t-1i, nous prenons
En désignant par
Po -+-P, ic -f- . . . H- p^^ a;"-'-i-^„^ x""-'
*) T. I, pag. 273-378.
le polynôme cherché, nous observons que l'erreur absolue qu'on commet en représentant par ce polynôme les valeurs de la fraction
est égale à la différence
shc—î'o—Pi a; - . . .— 2?n 2 ^"~'— 2>„, ^"~'.
Puisque le quotient de la division de cette différence par
se réduit à l'expression
l-i-{x~H) {p^^ a;"-'-+-i?„, a;"~'-+-. . .-*-p, oc-t-p^), l'erreur relative de la représentation approchée de la fraction
par le polynôme
Po ~^Pi a; -+- . . . -^Pn-2 ^""'-^-i^n-i ^"~'
sera d'autant plus petite que l'expression
différera moins de zéro. Par conséquent, pour abaisser autant que possible la limite supérieure de cette erreur entre
x^= — h, x = -i-hj
il faut donner aux coefficients
Po, Px,"'Pn-z, Pn-x
les valeurs pour lesquelles l'expression
s'éloigne le moins possible de zéro entre
x = — h, x = -\-Ji Les quantités
Po, P,,"'Pn-,, Pn-i,
qui satisfont à cette condition s'obtiennent aisément au moyen des théorèmes démontrés dans le Mémoire cité plus haut, comme on le voit dans notre Mémoire Sur les fonctions s'éloignant peu de zéro pour certaines
valeurs de la variable *), où, au moyen de ces formules, sont déterminés les coefficients
avec lesquels la fonction
s'éloigne le moins de zéro, x étant contenu entre a; = — ^, x = -^h. La quantité M est supposée ici connue et pouvant recevoir une valeur quelconque.
En posant
ilf=l,
nous obtenons d'après les formules de ce Mémoire que l'expression
s'éloigne le moins de zéro entre
x = — hj x^-^-h si les coefficients
Vn — 1> Pn—2f • 'Pi} Pof
sont déterminés par l'égalité
l-+-(x — H) {p^^ a="-^-*-i?n-2 ^"~'-*-- • '-*-Pi x-*-Po)
^^ ^ (x -+- Vx^ — h^T -+-(x- Vx^ — ft2)"
{H-t-Vm — ^2)» H {R — VRi A2)«'
et que l'expression
formée avec ces coefficients
atteint dans l'intervalle x = — ^, x = -*-h, les limites
2hn 2/t»
(JÏ-+- yiif» - h^y -+■ (if— Vif 2 h^y ' (ja--+- yna /i2)» ^ (^f vw^zj^if^
sans les dépasser.
Il s'ensuit que toutes les valeurs de la fraction
*) T. II, pag. 335-356.
de x = — h à x = ~\-h ne peuvent être représentées par aucun polynôme du degré n — 1 avec une telle approximation que l'erreur relative n'atteigne ni la limite
ni la limite
{H-i-vm — h^f-^{H— vm-h^y'
et qu'elle ne dépasse pas ces limites seulement dans le cas où les coefficients iJ„i,p„2,. . -Pi-) Pq satisfont à l'égalité (1), ce qui détermine le polynôme
Pn-x ^''~'-*-Pn-2 ^"~'-^- . '-^Pi ^-*-Po
du degré {n — 1) qui représente le mieux la valeur de la fraction
dans l'intervalle
§ 2. En déterminant le polynôme cherché au moyen de l'égalité (1), nous voyons qu'il est représenté par la fraction
{H-i- vm — h^T -<- (h - vw^^j^T — (x -f- Vx'^ — h^T — (x— yj^^^i»)"
1{H H- VH^ — hP-T -\-{R—Vm — /j2)"J [H — x)
Pour obtenir le polynôme auquel se réduit cette fraction, observons que, la somme
{e -^Ve^ — h^'T -t- {h—Vip — h^r,
étant une fonction homogène du degré n — 1 des quantités E, h, en ouvrant les parenthèses, elle prendra la forme
(2) {E-^ylP^^''AE-YW-R'T=Ajr^A^Ji^E''-'-^^^ les coefficients
ne dépendant pas de ZT, h.
En remplaçant dans cette égalité E par x, on trouve
{x -^.y^:^la)% {^ y^ri^3)"== a^ ^"-*- A-^ ^' ^"~'-*- A-4^* ^""'-^ • •
ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne
{u-v-Vip—'h^T-^ {h—Vw—iv'T— {x-^-y^^^^Y— {x—'V¥^^\
en divisant par H — a;, on a
(g -4- yga — ft2)** -^ (g— T/Hâ^Tftâ)" - (a; -t- y^â^Tp)^ — (a; - Vx"^ - h^)" H—x
icore
Pfn
^{H-VH
(x-Vx'
{H-*- vm -
-{x-^Vx-^
^h^ir'-
JÎ'H''-
En comparant les expressions qui multiplient ici x^^ X, a;^, . . . j avec le développement (2) de la fonction
nous observons qu'elles représentent les parties entières des quotients de la division de cette fonction par
