H, EP, E
On a donc, en désignant par le symbole E ces parties entières des quotients,
(g-t- Vm - h^Y -t- (H- Vm - h^T -(x-*- Vi^^^P)" -{x- ■j/^â^rp)'»
ce qui, divisé par
(H-i-yiP — ¥T -*- {u—VlP^-f^T, donne
(g -4- ve^ — h^f -4- (g— vm — h^T —{oc-^- Vx^-h^f —{x— y^«^rp)»
[(g -*- Vm — h^T -t- (g — /g 2 - 7i2)n] (g — a;)
E [(g-t- >/g2 - A2)" -t- (g - yg2 - A2)"] ^
(g-t-yg2 — ft2)'*H(i/-
-Vm — h-^f
-Vm-K^r\ i,
(H^yH2;,2f-+-(g-
-Vm-u'^r ^ '
E l(H-^Vm-h^r-^{H-
-vg-/.^rji.
{H-t-VE» — h^)"-+-{H-
-Vm-h^y " ■
Par conséquent, d'après ce qui a été démontré sur le polynôme représentant le mieux la fraction
Po-^Pi^-+-"'-*-Pn-2^*' '-+-JP„i^" '
dans l'intervalle
a; = — h, x=^ -\-li,
ce polynôme sera représenté par la formule
E [(g-t-ygâ=p)V (g yg2=:p)"] -1 E \iR-*-VW^=¥-T-^ (g-yg2=^2)**] ^
(g -4- yg23^^)" -+- (g - /g2 - /»2)"~ (g -♦- yg2"=^)'' -4- (g — T/g2 — /ia)"~
E [(g-*-vg^=^r-H(g-yg2^ip)"] ^
(g-+- /gî — hP-T -*- (g — yg2 — /i2)« Si nous comparons cette expression approchée de la fraction
sous la forme d'un polynôme du degré n — 1 avec l'expression
1 X ie"~~2 a-n i
que l'on obtient en développant cette fraction en série suivant les puissances croissantes de ic, nous voyons que cette dernière est la limite vers laquelle tend la première expression lorsque h converge vers zéro. Comme la formule
diffère de la fraction
par la quantité
Jî« {H— X,
l'erreur relative que l'on
commet en représentant
par
cette formule
la
fraction
entre
X=: Tl^ X-
peut atteindre les limites
tandis que pour la formule que nous venons d'obtenir cette erreur ne dépasse pas les limites
(H H- ^/m — Wf -t- {R— VH^ — h^f ' (if -+- VH» — h^f -+- (H— VE^ - /»2)" '
§ 3. L'expression approchée de la fraction
que nous avons obtenue peut être utilement employée dans plusieurs cas.
Pour donner un exemple, nous allons en montrer l'application à l'évaluation approchée de l'intégrale
Nous supposerons que la fonction f{x)^ de même que B. — x^ ne devient pas négative entre a; = — h^ x^-*-h.
En désignant par F l'erreur relative de notre expression approchée pour les différentes valeurs de la fraction
nous trouvons que son erreur absolue sera donnée par la formule
par suite, nous obtenons, d'après la formule du§ 2, pour la valeur exacte de
l'expression
E [(£r-f- Vm - h^T -i-{H- vm - h-^f] ^
(H H- VW^^^T -f- (fl- — Vm — /i2)" E [(g-4-yg2-fe2f -4-(g-yg2-7^')"] ^ 2 F
(fi--*- /Ifï — h^f -+-{h- vh^^^^T " " s — x'
En multipliant les deux membres de cette égalité par f{x) dx et en intégrant dea; = — h h x^= -+-h, nous avons
— ft
Is^A^)^^,
ce qui peut s'écrire plus succinctement ainsi
En observant que cette égalité donne
^~H—x H^{H—xy
où le terme
H'^iH-x)
est du degré inférieur à — n par rapport à H, nous trouvons £ [(H-i-VlP — h'T-^ {H—VlP — h^r'] S =
par conséquent, l'expression précédente de l'intégrale -*-h
se réduit à celle-ci:
En observant que, F étant l'erreur relative de l'expression approchée
de la fraction
cette quantité, d'après le § 2, ne peut pas dépasser les limites
(H-t- VM^ — h^f H- {R— Vif 2 — /i2)" {R-^ VR^ — h^f -*- {R~ VR^ — h^r '
et que les fonctions
d'après nos suppositions, restent positives entre x = — h, x = -t-hj nous trouvons que le dernier terme
j^F(x)dx
de l'égalité précédente ne pourra pas sortir des limites
(R-i- VR^ — h^T -i-{R— vr2 — h^y
(f(x)dx ]r-x^
[f(x)dx
{R-\- VR^ — hPf' -+- {R~VW
Il s'en suit que la fraction
+* V [iR^VW^:rh2f -^{R-VRz^=T^r] \fM^
(R-i- Vm:^^f -i- {R~ vW—hPp '
dont le dénominateur est le polynôme
{H-^VlP — h'T-+-(H—VlP — h^)", donne l'expression approchée de l'intégrale
(fix)dx —h
avec une erreur relative ne dépassant pas les limites
2hn
(if-*- VH^ — hP-T -+- (H— VE^ — h^T
" {H -H vm — h^T -+- (-H"— Vm — h^T
SOR LES SOMMES QUI DEPENDENT DES VALEURS POSITIVES D'UNE FONCTION QUELCONQUE.
(TKADUIT PAR ï. PTASXYGXÏ.)
(Lu le 16 février 1894.)
0 cujiAiaoo'i)^ 3aSucjiiiiU0Qis om^ noAo:JcumcA'bmioo'ô suazeniu fiaâoû Atiâb (^unâtiiii.
(SanHCKH IlMnepaTopcKou AKa^eMin HayKi., VIII cepia, T. I, Aa 7^ 1896 t.)
Sur les sommes qui dépendent des valeurs positives d'une fonction quelconque.
§ 1 . De notre Mémoire Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive '^) on voit quel intérêt se rattache aux valeurs réelles des inconnues
^05 ^IJ ^2> • ' -^p— 11
propres à fournir des valeurs données aux sommes
La recherche des inconnues
sous de telles conditions se ramène à la résolution des équations
où
sont des quantités données.
En faisant
*) T. II, pag. 561—610.
nous pouvons remplacer ces équations par les suivantes
plus simples, en ayant toutefois en vue que les valeurs réelles des inconnues
ne s'obtiennent que pour
positifs.
En écrivant les valeurs des inconnues
dans une solution quelconque des équations (1), nous les supposerons toujours rangées de sorte que les quantités
présentent une série croissante. Après avoir fixé ainsi l'ordre de disposition des quantités
^05 ^15 ^25' • '^p—iy
pour toutes les solutions des équations, remarquons que, d'après le § 3 du Mémoire précité, pour p = k^ quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des équations, celles-ci ne peuvent avoir qu'une seule solution que l'on obtient à l'aide du développement de l'expression
xik
en fraction continue; nous en concluons que, dans ce cas particulier, les quantités
se déterminent complètement par leurs indices et peuvent être trouvées sans difficulté. Pour distinguer ces quantités de toutes les autres qui satisfont aux équations (1) pour^> k^ nous conviendrons de les désigner
Les quantités z^^ u? fournissant la solution des équations (1), pour p=z]c on. aura
où, d'après ce qu'on a posé concernant ^^j, z^, z^^. . .z ^^, on doit avoir
Nous allons maintenant montrer que de ces inégalités et des équations (2) on peut déduire les inégalités auxquelles satisfont toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues
C'est de là qu'on tire les valeurs limites des intégrales et des sommes qui ont fait le sujet de nos Mémoires intitulés: 1) Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux *), 2) Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales **), ainsi que de notre Mémoire précité Sur les sommes.
Quant aux quantités
qui se déterminent par les équations (2), elles s'obtiennent, comme nous l'avons dit, à l'aide de la fraction continue résultant du développement de l'expression
En présentant cette fraction sous la forme
nous trouvons que, d'après le § 2 du Mémoire précité, on doit y avoir
g^ = a^a; H- S^, q^ = cl^x-^%, • . -î* = «^^j-h (3^, a,>0, a2>0,...a^>0,
*) T. II, pag. 421—440.
*♦) T. II, pag. 443-478.
si les équations (1) peuvent être satisfaites par les valeurs réelles
pour un certain p.
En supposant ces conditions remplies, et en désignant par
les réduites résultant du développement de l'expression
Gq Oi Go ^2 a 1
en fraction continue
nous concluons, en vertu de ce qu'on a démontré dans le Mémoire précité, que les inconnues
Xq, X^, X^, . . . Xj^^
dans les équations (2) sont égales aux racines de l'équation
et que, d'après ces racines, les inconnues
2/0, 2/i, 2/2, '-.^/a-i se déterminent par la formule générale que voici
§ 2. En posant
3^0 = <^ Vx = <> 2/2 = K^ ' • • yk-i = ^\-i '
de la solution des équations (2) nous déduisons celle des équations (1) pour le cas p = A;, quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des équations. En passant au cas du nombre plus grand des inconnues, quand les équations (1) deviennent indéterminées, nous remarquons que, pour toutes les solutions réelles de ces équations, la somme
où q désigne l'un des nombres
ne dépassera pas une certaine limite qui peut être obtenue en s'appuyant sur le résultat du § 8 du Mémoire précité concernant la détermination du maximum de la somme
Ce maximum, dans l'hypothèse s'obtient pour z^^ s^^ -sfa,...^ i, satisfaisant à l'équation
OÙ ^j;^^^ (s) désigne le dénominateur de la fraction ordinaire n-*-i (^)
à laquelle se réduit la fraction continue —1— 1
quand on y met à la place de a^^^ la plus grande des deux quantités
a-vl ^ft(a) ^k{v) J' b-vl i>k{b) 4'aW J'
et l'on pose
En faisant ici
où Xf désigne, d'après notre notation, une racine de l'équation ^^(x) = 0, nous trouvons
en vertu de quoi, et d'après ce que nous venons de dire sur le coefficient «A-f-u 00 obtient
et par conséquent la fraction continue J 1
qui détermine la fraction ordinaire
se réduit à la fraction
égale, d'après le § 1, à
Comme cette fraction est composée des mêmes fonctions que la fraction
£LË),
qui détermine, d'après le § 1, la solution des équations (2), nous en concluons que, dans le cas considéré, quand
les quantités
Uq , ^t^ , Wg , . , . ,
qui donnent le maximum de la somme
%^ H- Mi^ -f- Wg" -*-••• -^ Wg^
seront trouvées d'après les formules
pour 2 = i.
On voit par là que la somme
est la limite supérieure que ne peut dépasser la somme
qui s'obtient pour la solution réelle quelconque des équations (1), quand Or, d'après ce qui a été dit (§ 1) sur la série
on voit qu'en général 0 ne peut être inférieur à z que pour y)<g, et comme dans ce cas la somme
est évidemment moindre que celle-ci
Uq^ -^u^ -\-u^ -^ , . . -t- uj^^
dont la limite supérieure est
2/0 -+- 2/1-*- 2/2-*-- •.-*-«/,•, nous en concluons que pour
on doit avoir
En répétant les mêmes raisonnements par rapport au maximum de la somme
le maximum qui s'obtient d'après le § 1 6 du Mémoire précité, nous trouvons que pour
on aura l'inégalité
(5) u\ -t- u\^^ -f- . . . -^- u\^ < 2/, -♦- Vi^^ -*-... -4- 2/;i, .
Or, en remarquant d'après (1), (2) que
2/0 -*- 2/1 -+-2/2 -+-••• -+-2/fc i = <%î nous déduisons
^,^2 ^ ,,. H- w,« -f- . . . -^ t.^2 = q, - u\^^ - n\^^ - ... - u'^^ , 2/0 -»- 2/1 -^- 2/2 -»-...-»- 2/, = Ci — 2/,-, — 2/,--4-2 — ... — 2/a i ; en vertu de quoi l'inégalité (4) donne
^^\-^i -*- <-.^ H- . . . -^ t.^^^ > 2/,^, -H 2/,^^ -H . . . -t- 1/^^ . D'où l'on voit que pour
outre l'inégalité (4), on aura encore
et à plus forte raison
Ce résultat, joint à l'inégalité (5), nous donne le moyen de déterminer les limites entre lesquelles doit rester la somme
pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues.
§ 3. D'après ce que nous venons d'établir, les limites de la somme
pour chaque nombre des inconnues dans les équations (1) peuvent être trouvées à l'aide de leur solution correspondant au nombre le plus petit possible des inconnues. Dans le dernier cas, comme nous l'avons déjà dit, les équations (1) se ramènent aux équations (2) qu'on résout aisément à l'aide du développement de l'expression
en fraction continue. Nous allons maintenant examiner ce que devient cette fraction et les quantités qui en dépendent, lorsqu'on varie, plus ou moins considérablement, les coefficients
Nous profiterons ici du théorème démontré dans notre Mémoire intitulé: Sur le développement en fractions continues des séries procédant suivant les puissances décroissantes de la variable*); et à cet effet nous supposons que toutes les hypothèses de ce théorème sont remplies dans le cas présent, savoir, les suivantes:
1) pour
Co = Co, G, = c^, C\ = c^,.
l'expression
^0 i ^1 * ^2 . . pik—i
se développe eu fraction continue
«A a; -+- pjfe -
*) T. II, pag. 613-666.
où
2) Les équations
+0 W = 0, ^,{x) = 0, +, {X) = 0, . . .vp,(a;) = 0, formées par les dénominateurs des réduites de cette fraction
9o(j?) <Pi(a;) 92(x) TitCx)
n'ont pas de racines négatives.
3) Les quantités
restent comprises entre les limites
1 Ti h^ 7t2^-i
et
où /î est une quantité positive quelconque et Hq une quantité supérieure à la somme
dans laquelle Z^^'^ désigne la limite supérieure de la valeur absolue des coefficients du polynôme
et i^^ ' son terme constant.
Dans ces hypothèses, comme nous l'avons vu, les équations
formées par les dénominateurs des réduites
9i(a:) 92 W uM
de 1 expression
ont toutes leurs racines réelles et positives. En désignant par
les racines de l'équation par
les quantités
et posant
nous obtenons, d'après ce qui a été dit au § 1, les équations suivantes:
Or, d'après les limites entre lesquelles doivent être comprises les quantités
et en vertu des équations (6), on voit que les limites supérieures des quantités
sont égales à
Fo' I/o' IZ^j'** * i/o '
et les limites inférieures sont égales à
Hq Bq Hq Hq
En désignant par
Xq, ^1 ) X^,. . .X j^^ , // ^/ ff tl
^0 ) ^1 > iZ^a 5 • • • ^ k—\ les valeurs des inconnues
rr (o) ^ (o) ^ (o) ^(0^
dans les équations (7) correspondant aux valeurs limites Cq , Cj , Cj ,.. . e^^__^ , et par 2/o', «//, 2/a'5- • -/it-ii
les valeurs respectives des inconnues y^^\ y^^\ y<^^\. . 'y^^\^^i nous obtenons d'après (7)
(8) %:=c.-è-^ i<2/;=«:-^|,' %^ifyi=c-w,'-- ■
i & Jl
• ' • ^ V^,- J 2/,- — SA-1 iTo
Ces équations jointes aux équations (7) vont nous servir à déterminer le maximum et le minimum de la somme
pour la solution des équations (7) auxquelles se réduisent les équations (2). Et, cette somme-là, comme nous l'avons vu, pour (A=i, (jt, = i-Hl, va nous fournir les limites entre lesquelles reste comprise la somme
pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues.
§ 4. Pour trouver le maximum et le minimum de la somme
composée des quantités 2/^*^^^? 2/%h i)- • «y^^A—i données par les équations (7) pour Sq, e^, e^,. . .e^f^^ qui restent entre les limites
1 ^ h^ ^ ft2A-i
Hq i/o Sq Hq
et
-Hq Hq Hq Hq
cherchons la différentielle de la somme
par rapport aux quantités Cq, gj, e^^. . .e^j^__^.
En désignant par o- un des nombres 0, 1, 2,, . .2k — 1, nous voyons que les équations (7), différentiées par rapport à e^, nous donnent les égalités suivantes
En multipliant ces équations par les constantes arbitraires
et les additionnant, nous trouvons
ce qu'on peut présenter, plus succinctement, comme il suit
2^'^(^,'»')-H22//»'tf'(^..<")^=-(-i)°\,
à l'aide de la fonction entière 6 (x) définie par l'égalité Pour déduire de là l'expression de la dérivée
a[y(oV-t-y(oV^l-^-...H-y(o);^^] des
donnons aux constantes arbitraires
de telles valeurs que la fonction
0{x) = 'ko-^\x-i~\x^-i-.. .-^\k^x'^~' satisfasse aux 2lc conditions qui la déterminent complètement
(11) 6 ((tJ^)) = â (:r/«)) =.., = â (:r Vi) = ^'
(12) 6{x^^') = ^(^Vi) = • • • = ^(A-i) = 1-
Toutes ces conditions remplies à l'égard de la fonction â{x), l'équation obtenue ci-dessus se réduira à l'égalité
qui donne l'expression de la dérivée cherchée d'après un des coefficients de la fonction entière
6{x) = \-i-\x-i-...-ir- \^^ x'''-',
déterminée par les équations (10), (11), (12)*). Pour déterminer le signe de cette dérivée, défini à l'aide de celui du coefficient X^ de la fonction 6(x)j remarquons que d'après (10) on satisfait à l'équation
par les Je quantités
De plus, on y doit satisfaire par certaines autres quantités situées dans chacun des p, — 1 intervalles entre
et dans chacun des â; — (jl — 1 intervalles entre
/y.(0) ^(0) JO) «.(0)
car d'après (11), (12) on a
6 (^o^«)) = â (a;/«)) = ô (x,^') = .,.==6 ix\,), 6 {x\) = 6 {x^\^;) = ô (x^\^^) = . . . = ^ (^ Vi)-
En remarquant que le nombre de ces intervalles plus le nombre des quantités
j. (OJ ^ (0) ^ (0) ^(0)
donne la somme 2k — 2, égale au degré de l'équation
ô'{x)=^0, nous en concluons que
1) toutes les racines de l'équation
6'{x) = 0 ont de valeurs réelles;
2) toutes ces racines sont simples;
3) k de ces racines sont égales aux quantités
*} Ce polynôme 6 (x) peut être présenté par la formule
^ ' ^ {X — Xi^f [0' (a;,.(o))]3 ' O (x) = (a; — XoO)) (x — a;i(o)). . .(a; — x^%{).
et h — 2 autres sont situées séparément dans chacun des intervalles entre les quantités
D'où l'on voit que l'équation
n'aura pas de racines ni hors des limites
rr .v (0) rr /y(O)
ni dans l'intervalle entre a;^^^ j, ic^°^^ et, comme, d'après ce qui a été dit,
il s'en suit que toutes les racines de cette équation ont de valeurs positives.
En s'appuyant sur ce résultat, il n'est pas difficile de déterminer les
signes des coefficients
\^ \'> \,' • '\k—i dans le polynôme
Oix) = \-i-\
De ce
que l'équation
pas de
racines entre
il s'en suit que dans cet intervalle la dérivée o'{x) ne change pas de signe; de ce que d'après (11), (12)
le signe constant de ù'{x) dans cet intervalle doit être -h. D'où l'on voit que la fonction o\x), en s'annulant pour a; = ri;^^^ , va nous présenter la
variation de signes suivante: 1-.
Il en est de même, lorsque x franchit
X — Xq , X^ , X^ f...X ^^,
les racines simples de l'équation
car dans chacun des intervalles entre ces racines il se trouve une racine
simple de notre équation. On voit de là que, x franchissant x=:Xq^ la fonction 6' {x) passe de — à -i-, et comme l'équation
n'a pas de racines hors des limites x^=x^^\ x = x^^\^^ il en résulte que la dérivée (/ {x) reste négative pour toutes les valeurs de x inférieures à Xq^^\ D'oiî il suit que la dérivée 0'{x), pour a? = 0, a une valeur négative et que la fonction primitive ô{x) décroît entre x = 0^ x=x^^\ Et cela, en vertu des égalités (11) qui donnent
ne peut avoir lieu que pour 0{o) > 0.
Après avoir établi ainsi que d' {o) < 0, 0{o) > 0, nous en concluons que dans la fonction
le premier terme est positif et le deuxième est négatif. Quant à ses autres termes, leurs signes se déterminent aisément d'après celui de \^ en s'appyant sur ce fait que toutes les racines de l'équation
comme nous l'avons vu, ont de valeurs positives, et en conséquence la série
ne présente que des variations de signes. Nous trouvons ainsi que le coefficient Xg, quelque soit cr, doit avoir le même signe que ( — \f.
§ 5. D'après ce que nous venons d'établir à l'égard du signe de X , l'équation (13) donne pour toutes les valeurs de <j
a(y^(0)-^-y(oV^^-^.■.-H^/(o);^^)
D'où l'on voit que, lorsque les quantités e^,, e^, e^,. . ,e^j^^ croissent entre les limites considérées
la somme
1 h IC-
H'o' Ho' i/o'
■Ho
1 h 7*2 i/o Hq Eq
hit—i
diminue; on trouvera donc son minimum entre ces limites pour
'■ Ho' ^^~ H.^ e^ — jj^,*"(^2k-x— H^
ou maximum pour
"iTo' ''i" Ho' ^2— Ho'' ' -^2^
Comme, d'après notre notation (§ 3), donnent les quantités auxquelles se réduisent
^0 — Ho' ^i — ^o' ^2 — iTo'
et
•2/Vi
ses mêmes quantités pour
^0 — flô' ^^ "~ ITo' ^2 — ITo' * * * 2ft-ï ~ ITo '
nous en déduisons, en vertu de ce qu'on a établi à l'égard du maximum et du minimum de la somme
les inégalités
(14) 2/%-*- 2/%-^! -H ... -H 2/ Vi > 2/V -^-2/V, -«-...-*- 2/;„
(1 5) V'^-t- 2/ Vi -^ • • • -*- A-. < 2/;'-^2/ Vi-*- • • • -^ 2/ V. .
En passant aux solutions des équations (1) correspondant au nombre arbitrairement grand des inconnues, posons d'après (6)
où
sont des quantités comprises entre les limites indiquées dans le § 3. Comme, d'après notre notation, pour ces valeurs de
on a
nous eu concluons, d'après le § 2, que pour z^ < xf^ on doit avoir
et dans le cas z^ > xf^ on doit avoir
Or, en remarquant que pour (i. = î-t-l l'inégalité (14) donne et pour [A = i l'inégalité (15) donne
Mais, d'après ce qu'on a démontré à la fin du Mémoire mentionnée dans le § 3, on a dans nos hypothèses, pour chaque l,
xp^xP, xl'^>Xi^"\
donc l'inégalité (16) aura lieu nécessairement pour z^<,x!'\ ainsi que l'inégalité (17) pour z^ > x^.
Par conséquent nous aurons l'inégalité
toutes les fois que z^ < x!' et l'inégalité
V -*- ^^-i-i -*-...-*- ^'p-i < yï -*- /.--Hi -*-... -^ /a i ,
dans le cas z^ > a?/.
Ainsi, de la solution des équations (8), (9) aux 21c inconnues on peut déduire les limites supérieure et inférieure de la somme
yr-^y'
nous
en tirons
W^2|wS
le cas
et
pour
le cas
composée des carrés des valeurs des inconnues
pour toutes les solutions réelles des équations, quelque grand que soit le nombre des inconnues. Les quantités données Co, (7,, Cg,. . . G^j.^ peuvent plus ou moins différer ici des quantités Cq, Cj, Cg,. . »c^k i, pourvu que les différences
(7o — Co , G^~c^, C\ — Cg , . . . G^j,^ — c^j,^
restent comprises respectivement entre les limites
et
où h, Hq sont des quantités positives assujetties aux conditions énoncées dans le § 3. Quant aux quantités
Xq, Xj^j X^, . . .X f.__^ ,
2/o', Vi, 2//, "-y'k-i, Il II II II
elles s'obtiennent aisément, comme nous l'avons déjà dit dans le § 1, à l'aide du développement des expressions
1 h /i2 /t'fe — 1
So'
Bo
en fractions continues qui, à leur tour, en vertu de ce qu'on a montré dans le Mémoire cité dans le § 3, s'obtiennent bien facilement à l'aide de la fraction continue résultant du développement de l'expression
