Si l'ou suppose pour a;<«, et

fix) = l

fix)=:0

pour ic > a, nous trouvons que la somme

log 2 f{2) -I- log 3 /"(S) -*- log 4 /■(4) -i- . . .

se réduit à la somme des logarithmes des nombres 2, 3, 4,. . . . E{ay, et alors notre formule (D) donne la décomposition de aette somme en plusieurs sommes composées des se.uls nombres premiers, décomposition qui était la base des recherches faites sur les nombres premiers par A. de Polignac et moi.

5. En donnant d'autres valeurs à la fonction /"(rr), on obtient de nouvelles formules, qui peuvent avoir d'utiles applications. On trouve, par exemple, que la somme

croît indéfiniment, quand c tend vers zéro.

Comme les termes de la série, pour c = 0, se réduisent à ±1, selon que les facteurs correspondants ont la forme 4»^ -*- 3 ou la forme 4w h- 1 , on est conduit à cette conclusion: Il y a une différence notable dans la répartition des nombres premiers des deux formes 4n-t-3, An-*- 1: la première forme en contient beaucoup plus que la seconde.

Sur la coupe des vêtements.

(Association française pour l'avancement des sciences. 7 session. Paris. Séance du 28 août 1878).

Après avoir indiqué que l'idée de cette étude lui est venue lors de la communication faite, il y a deux ans, au Congrès de Clermont-Ferrand, par M. Edouard Lucas, sur la géométrie du tissage des étoffes à fils rectilignes, M. Tchébichef pose les principes généraux pour déterminer les courbes suivant lesquelles on doit couper les différents morceaux d'une étoffe, pour en faire une gaine bien ajustée, servant à envelopper un corps de forme quelconque.

En prenant pour point de départ ce principe d'observation que dans la déformation d'un tissu on ne doit considérer d'abord, dans une première approximation, que l'altération des angles respectifs formés par les fils de chaîne et les fils de trame, sans tenir compte de l'allongement des fils, il donne les formules qui permettent de déterminer les contours imposés à deux, trois ou quatre morceaux d'étoffe pour recouvrir la surface d'une sphère, avec la meilleure approximation désirable. M. Tchébichef présente à la section une balle de caoutchouc recouverte d'une étoffe dont les deux morceaux ont été coupés suivant ses indications; il fait observer que le problème différerait essentiellement si l'on remplaçait l'étoffe par une peau. D'ailleurs les formules proposées par M. Tchébichef donnent aussi la méthode à suivre pour la juxtaposition des pièces par la couture.

Conformément à la volonté de Tchebychef, l'étude «Sur la coupe des habits» trouvée dans ses papiers ne doit pas être imprimée, car le manuscrit ne porte pas l'inscription: (dmpritner».

Sur les parallélogrammes les plus simples symétriques autour d'un axe.

(Association française pour l'avancement des sciences. Congrès de Paris. Séance du 29 août 1878 IIlKOJia MaTenaTHKH hhctoh h npHKJiaAHoft 1885).

§ 1. A l'Exposition universelle on peut voir actuellement les différentes applications d'un parallélogramme articulé, que j'ai trouvé d'après un théorème sur les fonctions qui s'approchent le plus de zéro. Ce parallélogramme, ne contenant que trois tiges droites, donne le mouvement rectiligne avec une approximation très-notable, qui surpasse celle qu'on obtient par les parallélogrammes composés des mêmes éléments, c'est-à-dire par le parallélogramme simple de Watt et le mécanisme d'Evans.

§ 2. Ce parallélogramme est composé de deux tiges AG, A^C\j d'égale longueur, qui tournent autour de deux points « M ^

fixes (7, Cl et sont reliées à leurs bouts A, A^ '\ 7

par une troisième tige AA^ (fig. 1). C'est le mi- \z

lieu M de cette dernière tige qui décrit une ./\

ligne droite avec une précision considérable, tou- / \

tes les fois que les longueurs des tiges AG, A^G^ / \

et la distance GG^ des points fixes (7, G^ remplis- / \

sent les conditions suivantes: ^ ~ ^i

1. La distance GG^ doit être rigoureusement égale au tiers de la somme de lignes AG, AA^, ^i^i-

J9. La longueur de la tige AA^ doit surpasser le quart de celle des tiges AGy Afi^ , mais ne doit pas différer notablement de cette limite.

A mesure que la différence AA^ — -j AG tend vers zéro, la longueur de la portion sensiblement rectiligne de la courbe décrite par le point M diminue, mais en même temps la rigueur avec laquelle elle représente une ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur.

§ 3. Je vais montrer maintenant les résultats auxquels je suis parvenu ^ K , en examinant un mécanisme un peu plus compli-

Z\ 1 7 <l"é que le précédent. Ce mécanisme est com- X M /

2 \/ posé des mêmes éléments, cependant le point

/\ qui décrit sensiblement une ligne droite ne se

^ \ trouve plus sur la ligne AA^, mais sur une per-

\ pendiculaire NM^ menée de son milieu (fig. 2). \^ D'après la méthode que nous venons de

^ ^1 mentionner, on reconnaît que pour la précision du

jeu de ce mécanisme, il est indispensable que c=il/iV ait la valeur suivante:

Dans cette formule r et a désignent les longueurs des lignes AG=Afi^ et AA^, et ç la valeur commune des angles AGC^, Afi^C, A^AG, AAfi^ dans la position moyenne du mécanisme.

§ 4. Toutes les fois que le lieu du point 31 est choisi conformément à la formule (1) et que la différence

(2) ^2.coscp-a^g.

^ p^ r cos cp — a ~

ne s'éloigne pas trop de zéro, ce mécanisme donne le mouvement rectiligne avec une précision notable. Cette précision croit à mesure que la différence (2) s'approche de zéro, mais en même temps la longueur de l'arc qui jouit de cette précision diminue.

Dans le cas oii l'on a rigoureusement

(3) ^2rco3cp-a . Q

^^ r r cos 9 — a i '

cette longueur se réduit à zéro, et alors la courbe décrite par le point M a un contact du 5™^ ordre avec une ligue droite.

Nous allons nous arrêter sur ce cas-limite, vers lequel converge notre mécanisme à mesure que la précision de son jeu va en augmentant, et dont il diffère peu, si cette précision est suffisante.

§ 5. Pour ce cas-limite, d'après les équations (1), (3), nous trouvons:

2 cos'^ 9 C03 29 . cos2 9 cos 29 tang 89

cos 39 ' cos 39

En partant de ces valeurs de AA^ = a, MN= c et remarquant que l'on a AG=Afii = r, on trouve au moyen des triangles GDG^ et ADA^ la formule suivante pour la détermination de GG^ = h, k savoir

^ cos 39 **•

Ces expressions des quantités a, h, c ne changent de signe que pour les valeurs de l'angle 9 qui annulent

et qui seront

sin 2cp, cos 2cp, sin 89, cos 3© 0°, 30°, 45°, 60°, 90°,

d'oii il suit que notre mécanisme ne peut changer d'aspect entre les limites indiquées, c. à d.

de 9 = 0° jusqu'à cp = 30°; de op = 45° jusqu'à 9 = 60°; » 9 = 30°, » 9 = 45°; » 9 = 60° » 9 = 90°.

Pour rendre bien compte de toutes les modifications que ce mécanisme peut subir, nous avons calculé, d'après les formules précédentes, les éléments pour quatre valeurs de 9, prises à égales distances de ces limites, savoir:

Les figures (3), (4), (5), (6) représentent notre mécanisme avec les éléments qu'on trouve comme nous le venons de dire, et eu prenant r égal à 0.05 mètre.

Toutes ces modifications donnent le mouvement rectiligne avec le même degré de précision; notamment la courbe décrite par le point M a toujours un contact du 5° ordre avec une ligne droite. Sous ce rapport, toutes ces modifications sont également bonnes; mais on remarque une grande différence entre elles, quand on passe au cas oii l'on cherche à obtenir le mouvement rectiligne pour une course plus ou moins grande.

§ 6. Dans le cas oii la différence

fi

■ sin 2cp,

ne se réduit pas à zéro, mais en diffère peu, le mécanisme articulé, pour lequel c a la valeur (1), donne le mouvement rectiligne avec une grande précision, et cette précision aura lieu le long d'une courbe d'une certaine longueur. La détermination de la longueur de cette courbe se fera de la manière suivante. En posant

et en désignant par t celle des racines de l'équation

2 sin 9 (1 -^f)-t-t id-*-t^) — {l — t^) T=0, qui se rapproche le plus de 0, on cherche l'angle a^ d'après la formule

COSa^— 1 J2(2 — T^') L\i— 2rsmç-«-r2/ -^j*

Cet angle, pris avec les signes -i- et — , donne les inclinaisons-limites de la ligne AA^ sur la ligne CG^ pour le commencement et pour la fin de la course en question. Ayant trouvé l'angle a^, nous aurons la longueur de la course cherchée par la formule

(A\ 7— 2(2-r') rr-siny 2 {1 -^ 2t sin <? ^ t^) fl .

Le long de toute cette course, les écarts dé la courbe tracées par le point M d'une droite restent comprises entre -*- jB/ et — jEJ, la valeur E étant déterminée par la relation

^^f (2 sin ç -*- 3i -»- 2<* sin 9 -♦- t^f

§ 7. Dans le cas oii l'on se propose d'obtenir une précision et une course préalablement données, on prendra pour «, r, cp, c des valeurs qui satisfont aux équations (1), (4), (5), et dans lesquelles i, E doivent avoir

des valeurs données. Comme l'on doit vérifier seulement trois équations, on pourra choisir l'angle cp à volonté. Dans ce cas, en donnant à l'angle op les valeurs que nous avons indiquées ci-dessus, on aura les quatre formes différentes du mécanisme que nous avons déjà vues. Toutes ces formes jouiront de la même précision le long de la même course\ mais elles différeront notablement entre elles par la longueur de leurs éléments et par leur disposition.

§ 8. Pour comparer entre elles ces quatre modifications, nous allons chercher les expressions approximatives de leurs éléments, en supposant

Cl ^d

que le rapport y a une valeur très-petite, ce qui a lieu toujours dans les mécanismes à grande précision.

En cherchant, dans cette hypothèse, le développement de r, a, &, c en série, on trouve que ces développements, arrêtés aux premiers termes, donnent :

f2 coa 39 l ^ C03 ç . cosS 2<p !Ë '

' 8 sin 29

l CO32 q

' 4 tang 29 — Zsin

2 coa 39 l^ coa 9 . coa' 29 E '

2 coa 39 l coa 9 . coa' 29 E '

. Z coa' 9 . tang 89 -^Z 8 tang 29 Y c<

2 coa 89 l a 9 . coa3 29 E'

Les figures (7), (8), (9), (10) représentent les quatre formes du mécanisme en question avec leurs éléments déduits des formules précédentes en y faisant

ç=15°; 37° 30'; 52^ 30'; 75° et en posant

Théorème relatif a la courbe de W^att.

(Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, II série, T. V, 1881, p. 216).

Si deux sommets A, A^ du triangle AA^M glissent respectivement sur deux circonférences de centres G, C\ , la courbe décrite par le sommet M ne peut avoir avec sa tangente un contact d'ordre 5 (limite qui ne pourra ja-

mais être dépassée) que dans le cas où les angles GAA^, G^A^A ont les valeurs

GAÂ, = ^^^^f^, G,A,A=^^^^f^^^, où n, Wj sont des nombres entiers quelconques.

Avec ces valeurs des angles GAA^, G^A^A le contact est toujours de l'ordre 5 lorsque les rayons AG^ Afi^ des deux cercles ont les valeurs suivantes

COS -j-

AG= AM — ? , <^^4Pi^,

COS -7-

' \os (2^,^—1) cosMC.4,4-ï)

où Y est l'angle sous lequel se coupent la ligne AAi et la tangente en M.

Sur les expressions approximatives des intégrales définies par les autres prises entre les mêmes limites.

Cooôuxemn a npoTOKOJM sacÉ^aHiS MaTCMaTHMecKaro oômecTBa npii HunepaTopcKOMt Xaptkobckomtj yiiHBepcHTeTii 1882 r., II, crp. 93—98.

(Traduit par M. A. Ticliomandritsky).

Lorsqu'on connait les valeurs de la fonction F(x) pour toutes les valeurs de la variable x de x = a jusqu'à a; = 6, la dernière des formules que nous avons déduites dans le Mémoire Sur les fractions continues *), après le changement des sommes en intégrales, donne le développement de la fonction F{x):

^(^) = JvmT "*'«-*- Jv^ '^'^JÎJ^ -1',-^ • ■ • M

où d est une fonction quelconque, continue ou discontinue, qui conserve le signe -+- entre les limites x = a, x=:h, entre lesquelles sont prises toutes les intégrales, et («pg, 4^^, ^g, . . . . sont les dénominateurs des réduites qu'on obtient, en développant l'intégrale

en fraction continue.

En développant d'après cette formule deux fonctions quelconques w, v, et en intégrant le produit iw^dx depuis x = a jusqu'à x = b, on trouve que l'intégrale

J uvbdx

se ramène à une série composée de termes de la forme:

OÙ les nombres m, n prennent toutes les valeurs depuis 0 jusqu'à o».

*) T. I, pag. 203—230.

En remarquant que par la propriété connue des fonctions ^q, ^^, 4^j,.... l'intégrale

s*évanouit pour des valeurs différentes de m, n, on déduit de cette série le développement suivant de l'intégrale juvèdx :

&rtiC = ^ j: ^ V- 7; H •^- 1^ ^^ • -

^^Ô^Mx ^^y^Mx J <};/ Mx

En arrêtant cette série sur le terme

et en désignant par R^ le terme complémentaire, nous aurons l'égalité:

^, f ««l'a ^«^^ • r »^0 ^^^ fw^iin— I ■^^^ • f'^'l'n— 1 ^«?a;

wî;ôc?rc = ■^- jr- — ^ — ^! ^ . . . . -i- ■- — ^-4 — h B .

^W^dx ^^\^yMx

En déterminant l'expression de B^ dans ce développement de l'intégrale ^uv^dx, nous avons trouvé qu'il possède les propriétés suivantes:

1) Sa valeur numérique ne surpasse pas

\ dx^ I

OÙ A, B^ sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées ^, |^^ entre les limites d'intégration.

2) Si entre les mêmes limites les dérivées ^, Ç^ '^le changent pas de signes, le reste B^ a le même signe que le produit |^ • |^.

Pour en faire une application, considérons le cas de )^ ^ 1 . Comme les premières réduites de l'intégrale

qu'on reçoit par son développement en fraction continue sont

0 ^^dx

1 ^Mx.x—^x^dx*

les fonctions '^g, ^^, qui entrent dans nos formules, seront

'];q = 1 ; '^1 = J ^dX . X J Xbdx.

En posant dans nos formules et en y portant ces valeurs des fonctions -^o? 'W^ i^ous obtenons l'égalité

f I uyidx . 1 tjdda;

et pour la limite supérieure de valeur numérique du terme complémentaire l'expression

J Mx . J x^ Mx - ( J xMxf

Jïctx ^^'

oii ^, B sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées ^, ~ entre les limites d'intégration. Dans le cas, où les dérivées ^, ^ ne changent pas de signes entre les limites d'intégration, le reste B^ aura, d'après ce que nous avons dit plus haut, le même signe que le produit ^ • ^. En posant ^ = 1 et en prenant 0 et 1 pour les limites des intégrations, nous aurons par la formule trouvée plus haut l'égalité

J uvdx =J udx. I vdx -+- B^^

où la limite supérieure de la valeur numérique du reste B^ sera

Pour une autre application considérons le cas, où

et les limites des intégrations sont — 1 et -i- 1 . Dans ce cas les fonctions ^0, t{>j, ^2, . . . . se réduisent, comme on le sait, aux fonctions X^, X^, Xj,.... de Legendre, en vertu de quoi on obtient d'après notre formule l'égalité:

J uXq dx . J v'Xq dx J wX„i dx . j «Z„i dx uvdx=-' ,. -' -H....-H=J :^^-^ H-i?„

d'où l'on tire, après y avoir porté les valeurs des intégrales

-Hl -Hl H-l

la formule

J iwdx = y f w^o ^^ • [ ^^0 dx-i-...-t- — ^ f wX^j dx . j* «^X„j dx-*-R^. —1 —1 —1 —1 —1

En rémarquant que dans le cas considéré on a f '\>\Mx=^\ X\ dx = ,r-^,

Jin J n 2n-\-\

nous trouvons, d'après l'expression ci-dessus de la limite supérieure de la valeur numérique du reste 22„, que dans le développement trouvé par nous de l'intégrale

^ uvdx

la valeur numérique du reste ne surpassera pas la quantité