AB

OÙ A, B sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées ^, ^ entre x = — 1 eta; = -t-l. Quant au signe du reste, il sera certainement le même que celui du produit ^ • — ,si les dérivées ^^ -^^^ changent pas de signes entre x = — letaî = -Hl.

Remarquons en terminant, que ce que nous avons montré par rapport au reste du développement de l'intégrale

J uvMx

peut servir à la détermination du degré d'exactitude, avec laquelle le développement cité de la fonction F{x), arrêté à un terme quelconque, donne la valeur de la fonction.

Sur la rectification des courbes.

Association française pour l'avancement des sciences. 11 Session, La Rochelle. Séance du 25 août 1882.

M. Tchebichef montre dans cette communication le parti que l'on peut tirer, pour la rectification des courbes, de l'emploi des points dont les ordonnées servent à trouver l'aire d'après la méthode de quadrature qu'il a communiquée au Congrès de Lyon, méthode qui vient d'être enrichie par les recherches très intéressantes de M. Radau. En traitant de cette façon le cas le plus simple, on parvient à reconnaître que l'arc d'une courbe peut être représenté, avec une approximation notable par la somme des deux côtés égaux du triangle isocèle construit sur la corde de l'arc comme base,

et ayant pour hauteur les (|/-|-y^°^^^ de la flèche élevée perpendiculairement au milieu de la corde jusqu'à sa rencontre avec l'arc.

Une machine arithmétique à mouvement continu.

La JRevue Scientifique de la France et de l'étranger. Troisième Série, Tome IV (XXX de la collection). Numéro 13 du 23 septembre 1882.

Quelque simple que soit la règle de l'addition, il n'est pas facile de l'effectuer par des moyens mécaniques. La difficulté que la mécanique y rencontre vient du changement brusque des chiffres de la somme, qui ne peut être réalisé qu'à l'aide des organes compliqués et délicats. Les nombreuses tentatives, faites avant le docteur Roth pour construire une machine pouvant produire le changement brusque de plusieurs chiffres dans la somme, et la machine du docteur Roth elle-même qui a pu le faire, ont montré clairement combien il est important, pour la simplification des additionneurs, de les délivrer de la nécessité de changer brusquement leurs indications. Il n'y a aucun doute que ces machines, aussi bien que toutes les autres machines arithmétiques qui ne font que répéter l'addition ou la soustraction, deviendraient bien plus faciles à exécuter, si l'on se contentait des changements continuels dans leurs indications. Mais la lecture des chiffres devenant alors plus difficile, il se présente la question suivante: N'est-il pas possible d'affaiblir l'inconvénient provenant de la continuité des changements des indications dans l'additionneur au point où il peut être admis sans risques, en raison des avantages que cette continuité offre pour la construction?

Dans la machine à additionner que j'ai eu l'honneur de présenter au congrès de Clermont-Ferrand, et qui est maintenant complétée par un mécanisme pour opérer la multiplication et la division, cet inconvénient est presque écarté. Dans les lucarnes de cette machine on voit les bandes

blanches, parmi lesquelles on distingue aisément la principale qui paraît dans toutes les lucarnes. Comme dans la première lucarne à droite il n'y a que le commencement de cette bande, il est facile de la suivre en allant de droite à gauche. C'est cette bande qui contient tous lescliififres de la somme.

Passons maintenant aux conditions qui doivent être remplies par le mouvement des tambours qui portent les chiffres de la somme. Nous nommerons réceptrices les roues dentées que l'on tourne pour ajouter des nombres et dont chacune correspond à l'unité d'un certain ordre. Conformément à la règle de l'addition, le mouvement de chaque tambour doit être composé de deux autres: du mouvement déterminé par le chiffre du rang correspondant du nombre ajouté et de celui déterminé par le report des chiffres des rangs inférieurs. La vitesse du premier mouvement doit être en rapport constant avec celle de la réceptrice correspondante; ce rapport sera égal à celui du nombre de dents de la réceptrice et du nombre total des chiffres gravés sur le tambour. Eu vertu du second mouvement ce tambour tournera d'un angle égal à la distance de deux chiffres, quand le tambour qui le précède tourne d'un angle dix fois plus grand. Donc, dans le cas du mouvement continu et uniforme, ce mouvement d'un tambour quelconque doit être dix foix plus lent que celui du tambour qui le précède. Par conséquent, la vitesse de chaque tambour doit être composée de la vitesse de la réceptrice correspondante, multipliée par un coefficient constant, et de la dixième partie de celle du tambour précédent Or, le mouvement des tambours composé de cette manière est facile à réaliser au moyen des trains épicycloïdaux, si toutes les roues réceptrices et tous les tambours sont montés sur le même axe et si chaque roue réceptrice se trouve entre le tambour qui lui correspond et celui qui la précède. Pour y parvenir on n'a qu'à faire porter à chaque roue réceptrice un train épicycloïdal dont les roues engrènent avec les roues solidaires aux tambours entre lesquelles elle est placée.

D'après la propriété de ce rouage on trouve que pour donner aux tambours une vitesse, composée conformément à ce que nous venons de voir, il est nécessaire et suffisant de remplir ces deux conditions:

1) Le nombre de dents sur les roues réceptrices et celui des chiffres des tambours doivent être dans le rapport 9 à 10.

2) Le rapport des nombres de dents des roues qui composent chacun des trains épicycloïdaux doit être dix fois plus grand que celui de dents des roues avec lesquelles elles engrènent.

Ces conditions sont très faciles à remplir. Dans la machine que j'ai fait construire, la première condition est remplie, en donnant aux roues réceptrices 27 dents et en gravant trois fois les dix chiffres 0, 1, 2,. . ., 9

sur les tambours. Conformément à la seconde condition, les roues composantes des trains épicycloïdaux ont 48 et 12 dents, et les roues avec lesquelles elles engrènent portent 24 et 60 dents. De cette façon les échappements qui produisent les changements brusques des chiffres de la somme provenant du report sont remplacés par les trains épicycloïdaux qui produisent le même effet graduellement.

La différence entre la vraie valeur du report et celle que donnent les trains épicycloïdaux étant toujours au-dessous de 1, les écarts angulaires entre la position des tambours dans cette machine et celle qu'ils occuperaient dans une machine à mouvements brusques restent plus petits que la distance de deux chiffres. Par conséquent, en faisant les lucarnes assez grandes pour qu'on puisse y voir à la fois deux chiffres du tambour, il est certain que les vrais chiffres de la somme ne peuvent manquer d'y paraître. Quant à l'ambiguïté qui se présente toutes les fois qu'on voit dans la même lucarne deux chiffres, elle est aisément écartée, comme nous l'avons dit, au moyen des bandes qui sont tracées sur chaque tambour, en ayant égard aux écarts angulaires dans la position des chiffres du tambour suivant.

Telle est la partie essentielle de la machine à additionner. Les organes accessoires sont les suivants:

1) Des arrêts avec des ressorts qui obligent les roues réceptrices de revenir toujours dans leurs positions normales et d'y rester jusqu'à ce qu'on les fasse tourner, ce qui est important pour la justesse du jeu de la machine.

2) Une barre munie de griffes qui arrêtent successivement tous les tambours sur 0, en commençant par le premier à droite, et qu'on fait agir en ramenant vers soi le bouton que l'on voit au côté gauche de la machine. On s'en sert pour réduire à zéro le nombre que l'on lit sur les tambours, après quoi on doit pousser le bouton en arrière pour rendre mobiles tous les tambours et toutes les roues réceptrices.

En considérant le mouvement des tambours nous n'avons parlé que de l'additton; mais il est clair que pour opérer la soustraction on n'a qu'à tourner les roues réceptrices en sens inverse.

En complétant cette machine par un mécanisme qui ferait ajouter ou soustraire le nombre donné autant de fois que l'on veut, ou pourra s'en servir pour opérer la multiplication ou la division. Un tel mécanisme est facile à composer à l'aide des roues dentées qui peuvent engrener avec les roues réceptrices^ en montant sur les prolongements de leurs axes des pignons qui peuvent glisser le long de ces axes et qui, à leur tour, suivant la place qu'ils occupent, engrènent avec les roues munies de 9, 8, 7, 6, 5, 4, 8, 2, 1, 0 dents et collées ensemble, de manière à présenter un cylindre denté. Il est clair qu'en faisant tourner ce cylindre une fois dans l'un ou

l'autre sens, ou ajoutera ou on soustraira le nombre dont les chiffres de différents rangs sont égaux aux nombres de dents qui pousseront les pignons correspondants.

Pour l'exactitude du jeu de ce mécanisme il est important que les pignons s'arrêtent aussitôt que les dents du cylindre cessent de les pousser. En cherchant à rendre absolument impossibles les fautes qui naissent de ce que les pignons ne s'arrêtent pas toujours assez vite, même sous l'action des ressorts, nous avons donné aux dents des pignons et du cylindre une forme telle que les pignons ne restent jamais libres et, par conséquent, cessent de tourner au moment où les dents du cylindre ne les poussent plus.

Sur les fractions algébriques qui représentent approximativement la racine carrée d'une variable, comprise entre les limites données.

Bulletin de la société mathématique de France. T. XII, 1884, p. 167—168.

Quand on cherche parmi toutes les fractions de la forme

f{x), F{x) n'étant pas d'un degré supérieur à m, celle dont le logarithme, depuis it; = — < 1 jusqu'à a; = a > 1, s'écarte le moins du logarithme de Vx, on trouve une fraction qui peut être présentée de la manière suivante:

F{x) ^ (Yi^ax) <? i—Vl—ax)

OÙ. ç (x) est une fonction d'un degré m, qui, à un facteur constant près (tout à fait arbitraire), peut être déterminée à l'aide de cette équation

9 {Vl — ax) 9 {—Vl—ax)

Ainsi, en prenant m = 1, on trouve, pour l'expression aproximative de Vx entre a; = — , a; = a, la fraction

x-^Jc^

où k est une constante dont la valeur est donnée par l'équation

^* 6A;2 — 4 (a-+- -^) ^ — 3 = 0, et d'où, en posant

on tire, pour l'expression approximative de VZ entre Z=A, Z= B, cette formule

fis "^-y^.

Z-hkVAB

Sur la transformation du mouvement rotatolre

en mouvement sur certaines lig'nes, à l'aide de

systèmes articulés.

Bulletin de la société mathématique de France. T. II, 1884. p. 179—187. IllKOJia MaxeiiaTiiKH HHCTon H npiiK-ia^Hofi. 1885.

1. Soient (fig. 1) ABC, ABM deux triangles isocèles, ayant un côté commun AB, égal aux côtés AG, AM. Si l'on fait mouvoir les sommets A, B du triangle ABM sur les cercles décrits du sommet G du triangle ABG et d'un point quelconque C, pris sur son côté BG, le sommet M du triangle ABM décrit, comme il n'est pas difficile de s'en assurer, une courbe symétrique autour de l'axe passant par les points M, G. Si la ligne BG^ n'est pas trop longue, elle peut faire un tour complet autour du centre Q, et alors le point M décrit une courbe fermée, symétrique autour d'un axe, comme nous venons de le dire. Ceci nous présente une transformation très

simple du mouvement rotatoire en mouvement sur les lignes fermées, de formes très variées et symétriques autour de certains axes. Une telle transformation du mouvement rotatoire pourra être avantageusement employée dans la pratique, si l'on trouve les conditions sous lesquelles la courbe décrite par le point ilf s'approche suffisamment près de celles qui donnent la solution de quelques problèmes cinématiques. C'est ce que nous allons faire maintenant pour les cas les plus simples et les plus fréquents dans la pratique: à savoir, quand on cherche à avoir le mouvement sur un cercle ou sur une ligne droite.

2. Arrêtons-nous d'abord au cas où le point M doit décrire approximativement le cercle complet, quand la ligne BG^^ tourne une fois autour du centre G^. Nous supposerons données les longueurs ^46' = ^5, BGi et la distance GG^ des centres (7, G^, et nous chercherons le cercle duquel, par un choix convenable de l'angle BAM, s'approche le plus la courbe décrite par le point M. D'après l'expression de la limite des écarts que présentera cette courbe avec le cercle duquel elle s'approche le plus possible, il sera aisé de voir les conditions que doivent remplir la longueur des lignes AG=AB, BG^ et la distance des centres G, C^, pour que ces écarts soient admissibles dans la pratique.

Pour y parvenir, nous calculons d'abord les inclinaisons de la ligne AG sur GG^ (ligue des centres G, G^ pour deux positions qui correspondent aux moments où le point B se trouve sur la ligne (76\ ou son prolongement.

En désignant par ç^, 9 les angles de ces inclinaisons, on les trouvera à l'aide des formules