PARMI CELLES QUI CONTIENNENT UNE RACINE CUBIQUE
(TÏ^ADUXT PAR A. V. VASSILXE]?.)
6'(5s îiwmczpupcêamiL npoc'mmûiaiix'6 diichchepcuKiiajioê'&
codcpolcavu^iicciû âtfStizccfiiû Âopcwb.
(MaTeMaTH^ecKÏH CdopHiiK-B. T. II. 1867 r., cip. 71—78.)
Sur l'intégration des difïérentielles les plus
simples parmi celles qui contiennent une
racine cubique.
Dans le mémoire: Sur V intégration des différentielles qui contiennent une racine cubique *) il a été montré par quelles fonctions le plus simples s'exprime l'intégrale \ ~= dx sous forme finie lorsque cela est possible; on y a supposé que le radical VR n'a pas de diviseur rationnel et que le
terme algébrique de l'expression de l'intégrale ! ~= dx a été chassé.
Le calcul de ces fonctions qui conduisent à la détermination de l'intégrale {-— dx correspond, comme il est facile de voir, au développement du
radical Vlî en fraction continue; c'est ce qui a conduit Abel dans son mémoire connu sur ce sujet à l'expression de l'intégrale f-^ dx par les fonctions de la forme A log ^"^^ ,— .
^ p — qVB
En appliquant ce procédé aux exemples, Abel trouve quelques cas particuliers de l'intégrabilité de la différentielle
^^-"^ -.dx,
Vx* -+- ax~ -i- bx-
sous forme finie.
On peut, d'après le mémoire cité plus haut, procéder de la même manière par rapport aux différentielles qui contiennent une racine cubique. Ainsi, en appliquant notre méthode à la différentielle
= dx,
*) Tome I, pag 563—608.
nous trouvons que, outre le cas où la fonction a?^ -♦- aa; h- 6 a un facteur multiple, cette différentielle s'intègre sous forme finie dans les suppositions suivantes
Dans tous ces cas l'expression de l'intégrale [3 P -dx
est donnée par la formule générale
K log [9 a^B) . 9" (a fË) . 9»' U' fE}] ,
où K est un facteur constant, a une des racines imaginaires de l'équation a^ — 1 = 0; la fonction 9 [y^BJ se ramenant au produit
dont les facteurs
déterminés successivement l'un au moyen de l'autre, ont, comme il est facile de voir, dans le cas
B = x^-^ax-\- bj les valeurs suivantes:
^^{^B)=x — fB;
Le nombre ^, qui exprime combien des facteurs
entrent dans l'expression de la fonction 9 {^^b) peut avoir toutes les grandeurs de zéro à l'infini.
La supposition
b = 0 s'obtieut dans le cas
et dans ce cas nos formules donnent
f i7=- dx = K log [9 {fïî) . <p« (a fB) . (p«^ U' fm ,
•' > x^ -H ax L ' J '
Oll
9 (i^B) = x — l^x"^ -+- ax.
La supposition
a lieu quand
et dans ce cas la fonction 9 (l^i?) qui entre dans l'expression de l'intégrale
[3 ' dx au moyen de la formule
K log [9 ( fB) . 9°^ (a fB) . 9^^^ (a^ fBJ'j
a la forme suivante
Dans le cas
on a la même valeur de jjl et, par conséquent, la même forme de la fonction 9 ifB).
Dans tous ces cas p reste une quantité constante et a les valeurs suivantes:
1) — 2Zpour h = 0, 2) —QK, pour^ = — |-, et os ç)±yzrs yi 1 . >^^3
Mais l'application du procédé qui a été donné par nous pour l'intégration de la différentielle
■^dx
sous forme finie, n'est pas bornée à ces résultats particuliers et à d'autres semblables; ce procédé de l'intégration mérite toute l'attention d'autant plus qu'il donne la condition nécessaire pour que l'intégrale
\^dx
puisse être exprimée sous forme finie. En effet, pour qu'il soit possible d'' exprimer Vintégrale
J y x'-'' -i~ ax -\- h
SOUS forme finie, il est nécessaire qu'au moins l'une des équations
3(„^3jX'-He^4(X^-H2Z)=l
puisse être satisfaite par une quantité X qui est rationnelle en -3. En appliquant cette condition aux cas mentionnés de l'intégrale
J y' x^ -^ ax -i- h '
nous trouvons que la quantité
a les valeurs suivantes:
Pour les deux premières valeurs de —, l'équation
en se réduisant à
a évidemment une solution rationnelle en -3. Pour la dernière valeur de -5, l'équation
se ramené a
A. — — -^ :zi — 5 ,
qui ne peut être satisfaite par une valeur rationnelle en ^ = — — ± - . Mais dans ce cas l'équation
3(f^yx*-.-6^{2^H-2X)=l se réduit à l'équation
et cette équation, comme il n'est pas difficile de s'en assurer, est satisfaite par
ce qui s'exprime rationnellement en ^^ — y=t-^; à savoir Dans le cas où la quantité
fc2
est rationnelle, pour qu'il soit possible d'obtenir l'intégrale
; dx
y x"^ -t- ax -i- b
SOUS forme finie il est nécessaire, d'après ce qui précède, qu'au moins une des équations
ait une racine rationnelle.
D'après cela on reconnaît facilement l'impossibilité d'obtenir sous forme finie plusieurs intégrales de la formule
r ^ P dx.
J y x^ -t- ax-i-b
SÏÏR ÏÏH MÉGIHÏSMI.
(TTIADUXT PAH X. W. 3YC3SSTSGK3S3RSKY.) CXw le 8 (20) octobre 1868.)
©6l3 odHOM'6 MQ^00aHU3Mn>,
(3anHCKH HMnepaTopcKOH AKa^eMin HayKt, t. XIV, 1868 r., cip. 38—46.)
Sur un mécanisme.
Dans le mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *), nous avons montré, de quelle manière par les approximations successives on peut trouver avec un degré désiré d'exactitude les dimensions les plus avantageuses des éléments du parallélogramme de Watt ainsi que d'autres mécanismes du même genre, qui réalisent le mouvement peu différent du mouvement rcctiligne.
Nous avons réduit cette question par le développement en séries à la détermination des fonctions entières^ qui s'approchent le plus de zéro, et nous avons traité dans un mémoire spécial sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions **) la détermination des fonctions entières et fractionnaires , remplissant cette condition.
Cela suffit pour trouver les solutions approximatives; mais pour la résolution exacte il faut appliquer la même analyse aux fonctions irrationnelles, qui se présentent dans ce cas.
L'application aux fonctions irrationnelles du théorème général que nous avons démontré dans le second des mémoires cités à l'égard des expressions, qui se rapprochent le plus de zéro, est intéressante sous plusieurs rapports, et comme un des résultats de telle application nous allons montrer la construction d'un mécanisme remarquable tant par sa simplicité que par la précision, avec laquelle il réalise le mouvement rectiligne.
Ce mécanisme est composé des mêmes éléments articulés de la même façon que le parallélogramme réduit de Watt; il ne diffère de celui-ci que par les directions des leviers, qui tournent autour des axes fixes: ils sont dirigés du même côté et se croisent.
On prend les leviers de la même longueur et le point, qui exécute le mouvement désiré, se trouve au milieu de la bielle, c'est-à-dire, de l'élément relié aux extrémités des leviers par les charnières.
En appliquant le théorème mentionné plus haut à la fonction, qui détermine le mouvement de ce point, nous trouvons, que son mouvement s'approche le plus possible du mouvement rectiligne dans l'étendue plus ou moins considérable sous les conditions suivantes:
1) La distance des axes de rotation des leviers doit être égale au tiers de la longueur de tous les trois éléments du mécanisme^ c'est-à-dire, de deux leviers et de la hielle.
2) La lo72gueur de la hielle doit dépasser le quart de celle des leviers. A mesure que diminue l'étendue, où l'on désire réaliser le mouvement
approché du mouvement rectiligne, la longueur de la bielle doit de plus en plus s'approcher du quart de celle des leviers et en même temps avec une plus grande précision on obtient le mouvement rectiligne. La longueur de la bielle est déterminée par l'équation:
OÙ l'on désigne par a la longueur de la bielle et par / celle de la corde de l'arc, qu'on cherche de rendre s'écartant le moins possible d'une ligue droite. (On prend pour l'unité la longueur des leviers).
Il est facile de se convaincre que cet arc sera compris tout entier entre deux parallèles dont la distance aux axes de rotation des leviers est égale respectivement à
Soit en efiPet CAAfi^ (fig. 1) le mécanisme considéré, où AG= 1,
^j(7j=l sont deux leviers, qui' tournent autour des axes Cet C^, AA^=a la bielle, dont le point milieu M exécute le mouvement désiré.
D'après ce que nous avons dit, la distance CG^ des axes de rotation des leviers AG et Afi^ doit être égale à
En élevant du milieu de GG^ la perpendiculaire OH et prolongeant les droites GG^ et AA^ jusqu'à leur rencontre au point F, et considérant le triangle MXV^ le rectangle MXOY et les triangles AGV et Afi^V, nous obtiendrons pour la détermination des distances du point ilf aux droites CV et OH les équations suivantes:
MX=MVsmOVM', MY=OX = OV— MV cos OVM;
AG'={MV—AMf-^{0V-+~0Gf—2 {MV—AM) (OV-i-OG) cos OVM] A^G,'={MV-^A,Mf-\-{0V—0G,f—2 {MV~i-A,M) {OV—OG,) cos OVM.
En posant
. OVM cr
sin —j- = b
et observant que, d'après ce qui a été dit plus haut, AG=l, Afi, = l, AM==A,M==^ = ~,
OG = OG, = nous trouvons des équations ci-dessus:
1) MX=a
CCi 2-t-fl
et
2) MY= a
En déterminant d'après la formule (1) les valeurs des différences ilfX^ — |(l-a)(2-t-a)
MX'-^{l-a){2-*-a) — ^^^^,,
on trouve, qu'elles se représentent respectivement sous la forme:
a^ls^-
Aa — \\ (2-1- a) a/
par suite le produit
est égal à
'2/92 liZli\/ç2 (4«-l)(l-v-2a)\ , " i"^ - -3^)1'^ - 6(2-4-a)a )'
Puisque le carré
3 (2 -I- aj a
pour toutes les valeurs réelles de *S' est positif et le facteur
pour S'^ < ~ — ^ est négatif, le produit
yÀ — i— (Xj Cl
reste négatif lorsque S^ varie depuis 0 jusqu'à ^^^^^; d'où il résulte que les facteurs
doivent être de signes contraires; par conséquent la valeur de
doit être comprise entre les quantités:
On voit de là que la distance du point M à la droite CC^ depuis S^ = 0 jusqu'à S^ = ^2^^a)a ^^^^ comprise entre les limites
par suite le point M ne sortira pas de l'espace limité par les droites parallèles à C(7i , dont les distances à CG^ sont égales à
D'ailleurs d'après la forme du mécanisme considéré le mouvement du point M est le même de part et d'autre de la droite OH; c'est pourquoi l'arc de la courbe décrite par ce point, lorsque S^ croît depuis 0 jusqu'à Vo .~N , sera disposé de la même manière de part et d'autre de la droite OH et la corde soutendaut cet arc est égale à la double distance de ses extrémités à OH.
Cette distance d'après la formule (2), où l'on pose
peut être représentée sous la forme
3ÎI
4 (2 -+- af
par suite
d'où, élevant au carré, ou obtient
Ainsi nous nous assurons que pour la valeur de /, satisfaisant à cette équation, l'arc soutendu par la corde ?, dont le milieu se trouve sur la droite OH^ est réellement compris tout entier entre deux droites parallèles indiquées plus haut.
Toutes les fois lorsque la quantité a diffère peu de -j, la distance de ces parallèles est petite et par conséquent l'arc que nous considérons s'écarte peu d'une ligne droite.
Mais à mesure que a s'éloigne de y, la distance des parallèles augmente et la courbure de l'arc devient de plus en plus grande.
Pour une valeur de a plus grande que 0,546*) (ce qui correspond à ^ > 1,222) ces écarts sont si considérables que l'arc se courbe à ses extrémités vers la droite OH^ en vertu de quoi les points de cet arc les plus éloignés de la droite OH ne se trouvent plus à ses extrémités, mais à certaine distance d'elles.
Pour faire voir avec quel degré de précision le mécanisme traité réalise le mouvement approché du mouvement rectiligne dans l'étendue assez considérable, nous appliquons les formules obtenues au cas
ce qui a lieu dans le parallélogramme de Watt, dont le fonctionnement a été examiné parP rony, qui l'a trouvé bien satisfaisant. (Annales des mines. Tome XII).
En résolvant l'équation
(2-Ha)2
oii l'on fait ^ = 0,64, on trouve
Substituons cette valeur de a dans les expressions, qui déterminent les distances des parallèles aux axes de rotation des leviers:
y|(l-a)(2-Ha),
*) C'est une racine de l'équation (a^ — 6a -+- 2) (2a — 5) (2a -*- 1) — — (4a — 1) = 0,
qu'on obtient, en égalant à zéro la dérivée de MY^ par rapport à <S et posant S2 = — — .
on trouve alors que ces distauces sont égales respectivemeut à
0,83428, et à
Donc la distance des parallèles est égale à
D'après les calculs de Prouy le parallélogramme de Watt dans la machine à vapeur, où le bras du balancier était de 2,515'° de longueur, donnait les déviations, qui atteignaient 0,002"" ou 0,00079, si l'on prend pour l'unité la longueur du bras du balancier.
Tandis que lorsqu'on se sert du mécanisme que nous avons examiné les écarts ne surpasseront pas, comme nous venons de trouver, 0,00029, ce qui fait moins que la moitié du nombre 0,00079.
Notons en dernier lieu que la construction connue, qui sert à passer du parallélogramme réduit de Watt au parallélogramme complet, s'applique sans aucun changement au mécanisme que nous avons considéré ; de cette manière on obtient le parallélogramme complet de Watt ayant un tigeguide, qui est dirigé en sens contraire et coupe le balancier.
Le parallélogramme de cette espèce est représenté sur la figure 2, où le point i^ décrira la courbe, qui, comme on voit de ce qui précède, s'écar-
tera moins de la droite verticale, que celle qu'on obtient dans le cas de la disposition ordinaire du tige-guide A,, G,, .
Mais quand la forme du parallélogramme de Watt est modifiée de la manière indiquée, la courbe décrite par le point M, comme on voit de la figure, fait avec le balancier ÂG un angle trop aigu, ce qui présente un inconvénient très important.
