SUR LES FONCTIONS ANALOGUES
(TRADUIT PAR A. V. VASSILXEr.)
6 chyufit^isioo'ii
nodoSHUxiè cjounâiAiijvMis c/lc:^aHdpa.
(SanHCKH HMnepaTopcKOH AKaTi,eMiH HayKi., t. XVI, 1870 r., cip. 131—140.)
Sur les fonctions analogues à celles de Leg-endre.
La propriété remarquable des fonctions de Le gendre qui conduit facilement au développement en série de la forme
se déduit, comme on sait, d'une manière très simple de l'expression de l'intégrale
- 2sa; -H s2 y 1 — 2tx -4- «2
dx"^).
En eifet on a, d'après la définition de ces fonctions,
yi-2SXH-s2 0 1 2
yi 2te-H<2 ° ^ 2 '
donc l'intégrale
J y 1 — 2sa
-2sa;-4-s2 y 1 2te h- «2
est égale à l'intégrale
I (Xo-i-Z.s-f-XaS^-H. . . .) iX,-^X,t-i-X,t'-t-. . . .) dx,
*) Legendre, Exercices de calcul intégral, T. II, p. 250.
la quelle se ramène, si l'on ouvre les parenthèses, à la somme suivante du nombre infini des termes:
ÏJ(^"'"'/Ï^^«<^-)-
Mais en déterminant la valeur de cette intégrale sous forme finie, nous trouvons qu'elle s'exprime par la formule
1 , 1 -f- VTt
qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st; par conséquent, dans le développement de cette intégrale il n'existe pas des termes de la forme
où n est inégal à m.
En comparant entre elles ces deux expressions de la même intégrale
dXs
nous remarquons que leur identité suppose l'égalité
pour toutes les valeurs de w et de m inégales entre elles. De la même manière l'intégrale plus générale
y^} J(l Ha;)A(i a;)l^^*'^'
OÙ
■j^ , . (l-«-s-4-y 1 — 2sa;-4-s'r (l — s-4-y 1 —2sx-\-siY'
^ , . (l H- ^ -t- y 1 — 2te -♦- i'^f (l - < -f- / 1 — 2<a; H- f^T ^ ' ' y 1 — 2te -*- t2 '
se ramenant à l'intégrale
qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st, montre que les fonctions entières de la variable x
qui s'obtiennent par le développement des expressions
(l + g H- y 1 — 2ga; -f- s-^f {\—s-i-Vl — 28X-*- g-^T V \—2sx-^ s2 '
{\-i-t-^-V \ — 2tx-+- t^ (l — ^ -^- y 1 — 2te -«- ^2)!^ y 1 — 2te -+- «2
en séries
T,-\-T,t-^T^f-^...., vérifient l'équation
j (1 -t-a;/^ (1 —xy^
pour toutes les valeurs de n et de m inégales entre elles.
Quant à la réduction de l'intégrale (1) à la forme (2), elle s'effectue facilement si l'on fait disparaître de la façon usitée les radicaux contenus dans les fonctions F{s,x), F{t,x).
En effet, en posant
(4) y 1 — 2sx -\- s^ = VYs y, nous trouvons que
et
En faisant le dernier radical égal à l'expression
VYt {y -+- u), et en posant
rr\ 1 -1- s- 1 -+- ^2 Q
nous obtenous
3 — a — ît2 ^ = 2il '
et
(7) ]/ l — 2tx-i-t' = yjt {y-t-u} = y 2t^^=^^^.
En portant la valeur de y dans les expressions (4), (5) du radical
Vl — 2 sa; -f- s ^ et de la variable x^ nous avons
Cette dernière égalité, d'après (6), peut être écrite plus succinctement
D'après ces valeurs de la variable x et des radicaux
V 1 — 2sa; -f- s2, V 1 — 2tx -+- f nous trouvons que
(2>^a-HlMM-3 — g— M^y^ (2 -/Tn M — 3 -H g -4- U^)^^
[(3 — g — u2)2 — 4 (g 1) ^gjM.
, 2 r2i^„4 3,„2rr2kzi„^3 g„2T
