X-t-[JL-l

Mais en remarquaut que d'après (6)

nous pouvons écrire les dernières expressions de F {s, x), F{t, x) plus succinctement ainsi:

jF' (s, a;) — , -

2 MA-+-(i— 1 (3 a m2)

^-♦-(1-1 t ^ 12 y 3 -H 1 « -f- 3 — a -t- «2"! r2>/'3"Zri„^B a-+-„2T

2 ^ M>^-Hfx-i (3 a -f- 1*2)

En multipliant ces quantités

F (s, rr), F {t, x), dx et en divisant leur produit par les quantités

{l-^r-xf, {\~xf,

nous trouvons après la réduction des facteurs communs du numérateur et du dénominateur que la différentielle

F{s,x).F(t,x) (l-t-a;)^(l— xf

s'exprime ainsi:

dx

nX-H-fX / ,x 2 /n2 H- 2 y 3 -H 1 ^ -»- fi — Q^\ / M2 t,2y3 — lM-t-3— g^ ^

\it2 H-2yaH-l7( — 3-+-a/ \— 7*2 2 y a — 1 tt -f- 3 — a/ "'

Mais, en décomposant le numérateur et le dénominateur des fractions

lt2-t-2y3-4-llt-4-3 — g i<2 t- 2 y 3 — 1 M -4- 3 — (X

«2 -4- 2 y a H- 1 îi — 3 -<- a ' — ît2 2ya — 1-^-3 — a

en facteurs linéaires, nous remarquons que la première, après la réduction par

u -t- y^-*- 1 -i- Va-i-l, se ramène à

»-f-y3-«-i — ygn-i^ M — y 3-f-i -H y a -t- 1 '

et la seconde, après la réduction par

w-i-y§— iH-Va— 1, se ramène à

U-t-V ?> — l — VlX.— 1^

eu vertu de quoi l'expression de la différentielle

F{s,x).Fit,x) ,

(1-HX)>^(1— xf ""^

se ramène à la suivante qui est la plus simple:

X+lx-l

^ ' \î« — y p -H 1 -+- ■/ a H- 1/ V/fi — 1 — /a — 1 — u/ «*

Pour trouver les limites de la quantité u, correspondant aux limites

de l'intégrale

nous remarquons que d'après (1), (4) et (6) la quantité u s'exprime par x ainsi:

u = V ^ — X — Va — x;

d'où, en prenant x = — 1 etrc = H-l, nous trouvons que la valeur de u correspondant h x = — 1 , est

et celle qui correspond h x = -t-l est

ît = yp— 1— Va— 1. D'après cela, l'intégrale

dx

F(s,x).Fit,x) {l -*- x)^' {l — xf

s'exprime ainsi:

y ii — 1 — y a — 1

2 fu-i-V ?>-¥-l — y aTl\ /m -4- y !i — 1 — V OL—IY' du

ï— yôm

Cette intégrale, comme il n'est pas difficile de remarquer, se simplifie

considérablement par l'introduction de la variable v = - ^*

ypH-i — y a-+-r

En faisant cette substitution et en remarquant qu'aux valeurs

M = l/|3-i-l— Va-*-!, w = yp l-]/a — 1 correspondent

' yi5-+-i — ya-+- 1'

nous trouvons que cette intégrale se ramène à la forme suivante

— quantité qui d'après (8) s'exprime au moyen de s et de ^ par la formule

__ V^t VTs {\ — t)V^s — [\ — s)VYt

LtJ i:^ ~ (1 -+- <) / 2^ — (1 -♦- s) y 2Ï *

En réduisant la dernière fraction par

nous trouvons

^ i-*-VTt

^^~ i-Vlt'

On voit ainsi que l'intégrale (9), à laquelle se réduit l'intégrale (1), est une fonction du produit st. Pour obtenir cette intégrale sous une forme plus simple, nous posons

ce qui donne

2V stdz

~ {l-^VTt z) (l - VÏfz) ~l-stz^^

-1 1 ^ V-\-'( 1 — stz

En portant ces valeurs dans l'expression de l'intégrale (9) et en remarquant que d'après (10) aux valeurs de v

, Vç,— 1 — -/g — 1

correspondent

nous trouvons que l'intégrale considérée se ramène à l'intégrale suivante:

zk (1 zf. (1 atz'i) ^^'

ce qu'il fallait montrer.