UB — N

pour n valeurs différentes de la variable

constitue la condition nécessaire et suffisante pour la divisibilité de cette différence par

d'où il suit l'égalité suivante:

(2) UD — N=^{x)W,

W étant une fonction entière.

Cette équation sera satisfaite par un nombre infini de systèmes des fonctions D, N, W et chacun de ces systèmes donne une fraction

D ' qui pour

X X. j Xij j • . . . ^ X

se réduit à

w,, Wg, , u^.

Si l'on restreint le choix des fonctions N et D, comme le fait Cauchy, par la condition que le degré de D ne soit pas supérieur à X, et celui de N ne surpasse pas n — X — 1, nous remarquons que dans ce cas le degré de N sera plus petit que celui de ^^ et de ^-^, (^ (x) étant, d'après (1), du degré n. L'équation (2), étant divisée par (^(x) D, donne: u w N

OÙ, d'après ce qu'on a remarqué à l'égard du degré de N, le degré du second membre sera plus petit que celui de ^ et de — y Donc, la fraction

donnera l'expression approchée de

aux termes près d'ordre de et de

Dx^-*-^'

La première de ces approximations n'est possible, comme on le sait, que dans le cas où la fraction

est une des réduites de l'expression

qu'on obtient en la développant en fraction continue. La seconde exige que

w dans la série des réduites successives la fraction ^ soit suivie par une

fraction dont le dénominateur est de degré plus grand que X, par ce que

l'approximation fournie par une réduite quelconque se détermine par l'unité

divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la suivante.

On voit d'après cela que la fraction

où, d'après la condition, le degré de D n'est pas supérieur à X, sera la dernière des réduites de l'expression

avant un dénominateur dont le degré ne surpasse pas X. Représentant par

la fraction continue, obtenue par le développement de l'expression

et par

iV Qi' Q2' '

la série des réduites successives, où (3) {

et supposant que

Qij.

est la dernière dans la série

Po Pi I2

Ço' ^1' Q2'

ayant un dénominateur Q de degré non supérieur à X, nous aurons, d'après ce qui précède,

(4) D=e,, ir=p,.

C'est ainsi qu'on trouve le dénominateur D de la fraction cherchée

et la fonction W qui, D étant connu, détermine, à l'aide de l'équation (2), le numérateur N de la même fraction.

§ 3. Il est facile de même de montrer que le numérateur N peut être déterminé immédiatement par le développement en fraction continue de l'expression

En effet, d'après nos notations, la fraction continue provenant du développement de cette expression est

?lH

Qi^ Q21 Qs^' • ' ' ét^^t les quotients obtenus dans les divisions successives de 9 (x) par U, de U par le premier reste, du premier reste par le second etc. Or, en désignant par

les restes dans ces divisions, nous remarquons qu'ils seront liés entre eux et aux fonctions cp (x), V, q^, Çç^, q^,. . . . par les équations

^{x) = Uq,-^B„ U=B,q,-*-B,, B, = B,q,-v-B.,,

Mettant dans la première de ces équations la valeur de U tirée de la seconde, nous aurons

^{x) = {B,q,-^B^)q,^B, = B,{q^q^-^\)-^B^q^, et remplaçant d'après (3)

par

nous trouvons

Or, d'après (3), on a

A = ^2, Px=h

nous pouvons donc écrire la seconde des équations (5) ainsi:

Les égalités

où l'on remplace, d'après (3), Q^ et P^ par

ft— ft?3 et P. — P^q, et, d'après (5), B^ par

B^-\-B^q^, donnent

9 (x) = (i?3 -I- B, q,) ft -I- B, (ft — Q, q,),

U= {B,-^B,q,) P, -H B, {P, - P,q,\ ce qui se réduit à

U=B,P,-^B,P,, Remplaçant ici, d'après (3) et (5), les fonctions

ft, P., ^2

par

et réduisant, on obtient

U=B,P,-i-B,P,. En procédant ainsi nous trouverons en général

L'élimination de R.^^ entre ces équations donne

UQ,-^ {X) P. = R. {Q. P.^^ Q.^^ p.). et comme, en vertu des propriétés des réduites, on a

on réduira l'égalité précédente à celle qui suit:

(7) UQ, — ^{x)P. = {—iyR..

En y posant i = ji et remarquant que, d'après (4),

on trouve

UD — o(x) W=i—lfR^,

ce qui donne, étant comparé avec (2),

(8) N^i-lfPy

On voit de là qu'un des restes

Aj -^25 ^35 :

pris avec le signe h- ou — sera égal au numérateur iV" de la fraction cliercliée

Comme le signe avec lequel R est égal à iV se détermine par le signe de ( — 1)'^ il sera -*- ou — selon que ji est pair ou impair.

§ 4. Dans la série des restes

qu'on obtient dans les divisions successives de 9 {x) par U de U par le premier reste, du premier reste par le second etc., il est facile d'indiquer le reste R qui, d'après (8), donne la valeur du numérateur i\^ de la fraction cherchée

Remarquons pour cela que, d'après nos notations (§ 3), le reste R correspond au quotient g auquel correspond à son tour dans la fraction continue

la réduite

dont le dénominateur fournit, d'après (4), la valeur du dénominateur D de la fraction cherchée. Ou voit d'après cela que B, est le reste dans la dernière division nécessaire pour obtenir la réduite

et par conséquent, d'après (4), la valeur de D.

D'ailleurs, il est aisé de montrer que dans la série

le reste B est le premier dont le degré est inférieur à n — X.

En effet, comme le degré de B. est plus grand que celui de B.^^ et le degré de Q.^^ plus grand que celui de Ç,., le degré du produit

est supérieur au degré de

En vertu de cela, d'après l'équation (6), le produit B. Q.^^ sera de degré égal à celui de 9 (x) ou ic", donc le degré de B. sera égal à celui du quotient

marqu mière fonction dans la série

En posant é = [i et remarquant que, d'après le § 2, 0 ^^ est la pre-

■«[ji-f-i 5 • • • •

dont le degré est supérieur à \ nous concluons que B est le premier dans la série des restes

dont le degré est moindre que le degré de ^, c'est à dire moindre que w —X.

Ou voit d'après cela que pour déterminer le numérateur et le dénominateur de la fraction cherchée

il faut prolonger les divisions successives de 9 (x) par U, de U par le premier reste, du premier reste par le second etc. jusqu'à ce qu'on arrive à un reste de degré inférieur h n — X. Le dernier reste avec le signe -*- ou — sera le numérateur iV; quant au dénominateur D = Q , on l'obtiendra à l'aide des quotients Q'i, ^2' • • • • Qu. ^^^^ donnent ces divisions, au moyen des formules (3); le signe avec lequel le dernier reste est égal au numérateur N sera -*- ou — , selon que \l, le nombre de toutes les divisions, sera pair ou impair.

§ 5. Passons maintenant au cas où la fonction u représente la racine de l'équation

îi^-^Lu — M=0.

Pour que la fonction u ayant les valeurs

pour

X =: X^, ^2 ' • • • • 5 '^rj )

satisfasse à l'équation

il faut et il suffit que pour les mêmes valeurs de x on ait

U étant (§ 2) une fonction entière de degré n — 1 et ayant les mêmes valeurs que u pour x = x^, x^, x^. Cela se réduit à l'égalité

(9) œ-t-LU—M=<^ix)W,

où

cp (x) = {x — x^) {x — x^) {x — x^),

et W une fonction entière inconnue. Tout système de fonctions ZetiW pour lequel cette égalité peut être satisfaite par une fonction entière W conduit à une équation

u~-t-Lu — M==0

à laquelle satisfait une fonction u prenant les valeurs «^ u^, \ P^ur

x = x^,x^, x^, et le nombre de ces équations est infini. Ayant en vue

— soles équations les plus simples, nous allons chercher celle dans laquelle le degré de L ne surpasse pas une limite donnée >., M étant en même temps du degré le plus petit possible.

L'équation (9) se réduit aisément à la forme

-TF=

cp(x)

qui fait voir que la difiPérence

représente la valeur de

aux termes près d'ordre de la fraction

et, par conséquent, pour que M soit, conformément à ce qui précède, de degré le plus petit possible, il faut que la différence

cp [x)

représente le plus près possible la valeur de

Or, la détermination des polynômes L et W sous cette condition est justement l'objet de cette application spéciale des fractions continues dont il s'agissait dans la lettre mentionnée ci-dessus. En appliquant au cas actuel la formule y établie pour la détermination du polynôme X, nous trouvons que le polynôme L se détermine par la série suivante

OÙ