IP
et
^1, q2, — > Qo^ ftî —
ont le même sens que dans les paragraphes précédents.
Cette série arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse pas X, donnera le polynôme cherché L. Supposant que ce terme soit
et désignant pour abréger une expression de la forme
Eg,.^, QiV — qi^, YjQ.v par
nous aurons d'après ce qui précède
L = % ^0 — "i ft-*-. . . .-♦-(- If "^^^.
Quant à la fonction W, la formule de la lettre mentionnée qui détermine le polynôme y, donnera d'après nos notations, pour l'expression de W la formule suivante:
17=Et;-f-o,Po — o, P,-f-....H-(— If o^P^.
Pour déterminer le polynôme M mettons dans l'équation (10) les expressions trouvées des polynômes L et W, ainsi que le développement de
la fonction
en série procédant suivant les valeurs qui donne
On en tire, en multipliant par cp {x) et réduisant, l'expression suivante du polynôme M:
Or, remarquant que d'après (7)
nous trouvons que l'expression du polynôme M se réduit à celle-ci :
C'est ainsi qu'on détermine les polynômes L et M conduisant aux équations les plus simples de la forme
auxquelles peut satisfaire une fonction u qui prend les valeurs
pour
(Dédié à l'Ecole Impériale teclmique.) (TIRADUXT PAK G. X. SOUSLOr.)
napajiACAOzpajiijiiaX'o .
apajiACAOzpi
Tpy;[,ii BToparo ct'ÉBAa pyccKHxi, ecTecTBOHcnuTaTdeH b-b Mockb-ê. nponcxo^nBinaro
CB 20-ro no 30- e aBrycia 1869 ro^a. 1870 r. Oi^ii.TB TexHOJioriii ii UpaRTiiiecKoii
MexaHHKH. CTp. 9 — 30.
Sur les parallélogrammes.
(Dédié à l'Ecole Impériale teclinique).
§ 1. Jusqu'à présent on n'emploie en pratique que trois parallélogrammes différents: les deux parallélogrammes de Watt, réduit et complet, et le parallélogramme connu sous le nom du mécanisme d'Evans. Mais il est possible de composer beaucoup de mécanismes semblables qui fournissent le mouvement plus ou moins approchant du mouvement rectiligne. Dans les séances de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg (18 oct. 1861, 8 oct. 1868) et de la Société mathématique de Moscou (18 nov. 1867) nous avons parlé de la construction des parallélogrammes qui par leur précision surpassent tous ceux qu'on emploie aujourd'hui. Maintenant nous montrerons, comment on peut construire différents parallélogrammes qui produisent le mouvement rectiligne avec l'approximation aussi grande que l'on voudra. Nous allons voir qu'avec le même nombre d'organes que celui du parallélogramme complet de ^Yatt il est possible de construire un parallélogramme qui fournit le mouvement rectiligne exact jusqu'au 13-e degré, tandis que les parallélogrammes de Watt et le mécanisme d'Evans ne produisent ce mouvement qu'avec l'exactitude qui ne va que jusqu'au 5-e degré; quant aux parallélogrammes, proposés par nous, leur degré d'exactitude balance entre 6 et 8. Un tel parallélogramme, comme on va voir, présente d'ailleurs cet avantage que, tout en conservant dans son jeu la précision encore suffisante pour la pratique, il peut remplacer par ses organes la bielle et la manivelle pour exécuter la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mouvement rotatoire continu. En parlant de différents parallélogrammes nous ne considérerons que les mouvements infiniment petits, pour lesquels le degré de précision des parallélogrammes peut être défini avec une facilité particulière; pour passer des mouvements infiniment petits aux mouvements finis 11 faudra faire quelques changements
dans les diracnsious des organes. Ces cliaugemeuts seront en général peu sensibles, si les limites pour le mouvement du parallélogramme sont assez rapprochées; alors ou peut évaluer ces changements à l'aide de séries par la méthode que nous avons exposée dans le mémoire: Théorie des mécanismes connus sous lenom de parallélogrammes'^''). Mais pour le dernier des cas mentionnés, quand le parallélogramme remplace par ses organes la bielle et la manivelle, on aura besoin d'un procédé tout à fait particulier parce que dans ce cas qui s'écarte trop de celui des mouvements infiniment petits l'emploi de séries n'est pas efficace. Nous examinerons ce cas particulièrement et nous donnerons tgutes les formules qui s'y rapportent.
§ 2. Les mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes peuvent être considérés généralement comme des systèmes de droites qui se meuvent dans un plan et qui sont liées entre elles à l'aide des charnières; ces dernières empêchent aux points d'intersection des droites de glisser sur celles-ci, mais elles permettent aux angles faits par ces droites de varier. D'ailleurs quelques unes des charnières sont invariablement liées à certains points du plan de manière que les droites correspondantes ne peuvent que pivoter sur ces points fixes. En désignant par m le nombre des droites dont le parallélogramme est composé, par n le nombre des joints liant deux droites entre elles et jjar v celui des pivots fixes, on aperçoit que la position sur le plan de chacune des m droites du système considéré est défini par trois grandeurs (par exemple, on peut prendre pour ces grandeurs les deux coordonnées d'un bout de la droite avec son inclinaison sur l'axe des abscisses). De l'autre côté chacune des n charnières, unissant les deux droites, et chacun des v pivots fixés au plan fournissent deux équations entre les grandeurs qui définissent la position du système considéré (savoir: l'accouplement de deux droites par une charnière suppose l'égalité des coordonnées de deux points appartenants à ces deux droites; le pivotement d'une droite sur un point fixe du plan suppose que les coordonnées de ce point sont connues). On voit ainsi que la position de tous les points du système se définira par ?)m grandeurs, liées entre elles par 2 {n-\-v) équations et par conséquent le nombre des variables indépendantes s'exprimera par la différence
Mais ce nombre doit être égal à l'unité pour que les points du système considéré ne puissent se mouvoir que sur les trajectoires déterminées, comme cela doit avoir lieu pour les parallélogrammes; donc
*)T. I, pag. 111 — 143.
De l'autre côté on aperçoit: 1) que le système considéré ne doit pas se mouvoir librement dans un plan et 2) que toutes les droites qui appartiennent au système doivent être liées entre elles.
Le premier point suppose nécessairement l'existence des pivots fixes; par conséquent, ?; > 0.
Le second point suppose que l^, le nombre des charnières, est plus grand que m — 2, parce que m — 2 joints ne suffisent pas évidemment pour lier une à une toutes les droites du système. Mais de l'équation (1), pour w > m — 2, on trouve
^ wi -f-3
On voit ainsi que v, le nombre des charnières, doit satisfaire aux inégalités suivantes:
§ 3. En prenant dans l'équation 3m — 2 {n-^v)=^\ les nombres m et w H- V pour des inconnus et eu la résolvant, on trouve pour w et n-\-v les valeurs suivantes:
m = l,w-H«; = l; m = 3, %-+-î^ = 4;w = 5, »^-^-^;=7, ht. a. En considérant les premières valeurs de m et de »î -4- î; : m= 1, »^-^-î; = l, on aperçoit que d'après (2) pour m = 1 il faut avoir z;>0,z;<i^ = 2,
ce qui suppose que v=l. Donc en ce cas le parallélogramme dégénère en une droite pivotant sur un de ses points. — Ainsi on trouve le mouvement circulaire qui ne peut remplacer le mouvement rectiligne qu'avec l'approximation du second degré. En passant aux valeurs suivantes de m et de
w -H ^;, on a
D'après (2) pour w = 3 on trouve cela suppose que v a une des valeurs suivantes:
Mais d'après l'équation:
à ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de w: n = d, n=2.
Donc pour m = 3 on aura
v= 1, n= 3, ou v = 2, n^2.
Dans le premier cas le système considéré consiste en une droite qui pivote autour d'un de ses points et qui est articulée avec deux autres droites à l'aide de trois joints ou, ce qui revient au même, le système n'est qu'un triangle qui tourne autour d'un point fixe, situé sur un de ses côtés. Ainsi tous les points ne peuvent se mouvoir que sur les cercles et par conséquent ne peuvent fournir le mouvement rectiligne qu'avec l'approximation du 2-e degré.
Dans le second cas, quand
le système considéré consiste en deux droites qui pivotent sur deux points fixes et qui sont articulées avec la troisième par deux joints. C'est le plus simple système des parallélogrammes qui peuvent produire le mouvement rectiligne avec l'exactitude plus grande que celle du 2-e degré; savoir: le parallélogramme réduit de Watt, le mécanisme d' Evans et le parallélogramme que nous avons proposé l'année passée. Les deux premiers parallélogrammes fournissent le mouvement rectiligne exact jusqu'au 5-e degré; le derniet* jusqu'au 6-e degré.
Dans le troisième groupe des valeurs pour m et n -t- v on a.
et d'après (2) pour m = 5 on trouve
D'où il est clair que v, le nombre des pivots fixes, ne peut avoir que les valeurs suivantes:
Mais d'après l'équation
on trouve qu'à ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de la quantité n:
Les premières valeurs de v et de w
correspondent au cas, lorsque les 5 droites sont liées par 6 charnières et tournent autour d'un point fixe, situé sur l'une d'elles. Ainsi ces droites représentent un système invariable et tous leurs points ne peuvent décrire que des cercles.
Pour
on trouve des parallélogrammes qui consistent en deux droites, qui pivotent sur des points fixes et sont articulées avec les trois autres droites à l'aide de 5 joints; ainsi sont construits le parallélogramme de Watt et le parallélogramme que nous avons proposé sous le nom du parallélogramme modifié de Watt*). Le premier de ces parallélogrammes fournit le mouvement rectiligne exact jusqu'au 5-e degré, le second — jusqu'au 7-e degré.
En conservant la même combinaison des pièces comme celle du parallélogramme de Watt, mais en leur donnant une autre direction on trouve le parallélogramme que nous avons mentionné à la fin de notre mémoire portant le titre «Sur un mécanisme» **). Si l'on donne aux organes du dit parallélogramme des dimensions convenables, il fournira le mouvement rectiligne exact jusqu'au 6-e degré. Si l'on combine les organes de la même manière comme dans le parallélogramme modifié de Watt, mais en changeant leur direction, on trouve le parallélogramme représenté sur la fig. 1. Ce parallélogramme, comme il n'est pas difficile de le montrer, peut produire le mouvement rectiligne exact jusqu'au 6-e degré; pour cela les dimensions de ses organes doivent être évaluées de la manière suivante.
Si l'on prend pour unité des longueurs celle de la droite BG pivotant
Fig. 1.
*) T. I, pag. 533 — 538.
**)T. II, pag. 51 — 57.
sur le point Cet si l'on pose GF=f, BF^=h (la longueur de ces droites est arbitraire), on trouve pour toutes les autres parties du parallélogramme et pour le point A, situé sur la droite AF et exécutant le mouvement désiré, les formules suivantes :
^-''' ■ ■■• '■ • ■ ■ jpp'{^-fVii-*-f) T. .'■:.^ :;. .
On choisit la position du point (7', pivot de la droite G'E, de telle manière que dans ,1a position moyenne du parallélogramme la droite DE se confonde avec la droite CD et le pentagone EDBFG dégénère en un rectangle.
§ 4. Passons maintenant aux dernières valeurs de v et de w, possibles pour
wï = 5.
Ces valeurs sont
elles donnent, comme on va voir, des parallélogrammes particulièrement remarquables par la précision de leur jeu. Comme v = ^, il y a dans ces parallélogrammes trois droites pivotant sur des points fixes; toutes ces droites doivent être liées entre elles à l'aide de deux autres droites; donc ce n'est possible que dans le cas où du moins l'une des deux droites qui unissent les autres est immédiatement articulée avec deux droites pivotant sur les points fixes; ces deux droites qui pivotent sur les points fixes et la droite qui les unit nous désignerons pour plus de brièveté par l'expression: la première partie du parallélogramme; quant aux autres droites, celle qui tourne autour d'un point fixe et celle qui unit cette dernière avec la première partie, elles seront désignées par l'expression: la seconde partie du parallélogramme.
Le parallélogramme dont nous avons parlé dans la séance de la société mathématique de Moscou le 18 novembre 1867 appartient à la catégorie des parallélogrammes mentionnés. Sa première partie est le parallélogramme réduit de Watt; sa seconde partie est ainsi construite que dans la position moyenne du parallélogramme les trois droites qui pivotent sur les points fixes deviennent parallèles entre elles, tandis que les deux droites qui les unis-
Fig. 2
sent se confondent en une seule, perpendiculaire aux premières. Ce parallélogramme (fig. 2), comme on peut le montrer par des calculs, fournit le mouvement rectiligne exact jusqu'au 8-e degré, si dans les dimensions de ses organes sont remplies les conditions suivantes :
1 ) Toutes les trois droites BC\ C'D, G"Eqm pivétent sur les points fixes C, C^V G" doivent être égales.
2) Les (Jistances du point À, exécutant le mouvement désiré aux bouts F, E du segment FE doivent avoir des grandeurs suivantes:
