L ACE

Pour commencer l'évaluation des différentes parties de la tige nous choisissons, d'après ce qu'on a dit au § 7, la longueur de la première partie de la tige et traçons la droite EG (fig. 6) ayant cette longueur. En prenant

Fig. 6.

^(7 pour unité, menons par le point G sous l'angle EGm^ ayant 198°, la droite Gm égale à 0,5. Au bout de ce segment au point m érigeons la perpendiculaire mO et faisons la égale à 0,6; d'après ce qu'on a dit au § 8, le point 0 sera le centre du cercle dont l'arc représente la partie recourbée du fil central de la tige. D'ailleurs, si du point G on mène la droite AG

inclinée sur la droite GE sous l'angle 117°12' et si l'on fait^(7=r=l,8057, on trouvera le point A^ position du centre de la sphère oscillante; la tangente An du cercle 0, menée du point A^ détermine le point w, bout de la partie recourbée du fil et commencement de la dernière partie droite ixA. Ainsi se déterminera le fil central de la tige tout entière.

Pour passer à la construction des fils extérieurs, menons (fig. 7) les normales au fil central EGmnA par les points E, C, m, w, A et par le point S, milieu de l'arc mn. Sur ces normales, de l'un et de l'autre côté du fil central, prenons des segments égaux à la moitié de la largeur de la tige dans l'endroit considéré (§ 7), en faisant

mm^ = mm^ = Y X = 0,08, SS, = SS, =^-^\ = 0,10, nn, = nn^=ir X = 0,08, AA^ = AA^ = -^ X = 0,08.

Si l'on mène par les points

Cl, m^,

les droites et par les points

les arcs des cercles, on obtient le contour des fils extérieurs de la tige.

Remarquons ici que, si l'on élargit la tige près du point G, ce qui est nécessaire pour l'attacher à l'axe du régulateur, cette circonstance n'influencera pas considérablement nos équations, car dans le voisinage du point G les coordonnées de tous les points (fig. 3) ont une grandeur peu sensible. Par conséquent, on peut élargir la tige au point G autant qu'il est nécessaire pour sa solidité. Mais, quand on augmente la masse au bout E de la tige pour y former une charnière, il ne faut pas perdre de vue que le volume de toute la charnière aux bouts de la tige et du bras doit être égal à

0,13Xii.,

ce qui pour X = 0,16; ii. = 0,12 donne

Quant à l'autre bout de la tige, sur lequel est fixée la sphère oscillante, on trouvera l'endroit de la tige oii celui-ci ' touche la surface de la sphère, si l'on mène par le point ^4, lieu du centre de la sphère, dans la direction nA la droite AL, égale à 0,4, c'est-à-dife au rayon de la sphère.

Pour passer aux bras remarquons que leur longueur d'après le § 5 reste toujours égale à m= 1,31271. De l'expression

pour

Fig. 8.

on trouve qu'au cas considéré la surface des sections des bras doit être égale à 0,01. Nous avons supposé que les sections restent les mêmes sur toute l'étendue des bras, mais, comme on a remarqué dxins le § 8, il est permis de modifier la distribution des masses sur l'étendue des bras à condition que le centre de gravité conserve sa première position. Donc au lieu du bras avec les sections identiques sur toute son étendue on peut en prendre un qui consiste en deux barres parallèles, liées au milieu par une troisième petite barre transversale (fig. 8): le centre de gravité du bras ainsi construit se trouvera aussi au milieu de sa longueur. Si le poids du bras devient plus grand que celui qui correspond aux sections uniformes ayant la surface égale à 0,01, il faut, comme on l'a déjà vu, enlever une moitié du poids surabondant de celui de la douille et l'autre moitié de celui de la charnière qui joint le bras à la tige. En agissant ainsi avec les deux bras, on ne devra ôter à chacune des deux charnières que la moitié de l'excès du poids d'un seul bras, mais au poids du manchon P= 4,4283 il faudra enlever tout ce poids surabondant.

L'épaisseur de la tige, comme on l'a vu, est égale par hypothèse, à ix= 0,12 sur toute son étendue.

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Revue Universelle des Mines. T. 38, 1875, p. 523—546.

Sur les engrenages*).

§ 1. Dans les recherches théoriques sur le tracé des engrenages on suppose ordinairement donnée la forme du profil de la dent de l'une des roues et on en déduit celle du profil de la dent de l'autre. On peut trouver ainsi une infinité de différentes formes des engrenages, mais il n'y en a que très peu, qui sont employées dans la pratique. Pour que la pratique puisse, sans se borner à ces formes particulières, se servir de telle forme qui est la plus avantageuse dans le cas donné, il faut avoir une méthode générale pouvant donner un moyen facile pour tracer les profils des dents d'un couple des roues qui satisfont le mieux aux exigences de la pratique. Si l'on veut tracer les profils des dents mathématiquement exacts, on rencontre des obstacles insurmontables, mais la pratique n'exige pas cette rigueur; pour lui suffisent les procédés approximatifs, qui consistent en ce, qu'on donne aux faces et aux flancs des dents la forme des arcs de cercle convenablement choisis. Quand on n'a en vue que les profils des dents en arcs de cercle (ces profils peuvent en général remplacer tous les autres avec une approximation suffisante pour la pratique), la question de la détermination de la forme des dents le mieux satisfaisant aux exigences de la pratique devient considérablement simplifiée, parce qu'il ne s'agit alors que de déterminer les centres et les rayons des quelques cercles. Eu étudiant le mouvement des engrenages profilés en arcs de cercle, on voit qu'ils ne peuvent jamais donner lieu à l'invariabilité du rapport des vitesses angulaires, qui présente une condition nécessaire pour que le mouvement de l'engrenage soit régulier; par suite eu déterminant le profil de ces engrenages il faut se proposer pour but de diminuer autant qu'il est possible les irrégularités du mouvement

*) Ce mémoire a paru eu français sous le titre: «Mémoire sur les engrenages par M. Tchebycheff. Traduction de MM. Dwelshauvers-Dery et Couharevitch.» dans la «Eevue universelle des mines» 1875, pp. 523—546; la traduction de M. Mescherskiy se distingue de la précédente en ce qu'elle reproduit de plus près le texte original.

de l'engrenage, qui proviennent de la variabilité plus ou moins considérable du rapport des vitesses angulaires.

Tel est notre objet; nous allons montrer, comment on trouve, en satisfaisant aux exigences de la pratique, la forme des faces et des flancs des dents de l'engrenage profilé en arcs de cercle, pour laquelle les irrégularités du mouvement de l'engrenage sont les moindres possibles.

§ 2. Soient: (7, G^ (fig. 1) les centres des roues dentées (que nous appel-

Fig. 1.

lerons en abrégé: la roue G et la roue (7^), et de leurs circonférences primitives; B = GD, R^ = G^D les rayons de ces dernières; ç=:AD, ç^ = BD les rayons des arcs de cercle DE et DF, dont le premier est le profil de la face de la dent de la roue G et le second celui du flanc de la dent de la roue (7j ', A et B les positions respectives des centres de ces arcs au moment, où leur point de contact est sur la ligne des centres GG^ au point D; A^ et B^ les positions de ces centres à un autre moment, lorsque les arcs sont en contact au point quelconque G. Les angles AGA^ = 'k et BG^B^ = jx sont ceux, dont les roues G et G^ tournent en même temps que le point de contact des dents se déplace de D en G. L'angle \l est une fonction de X que nous désignerons par F(k); la dérivée de cette fonction F' (k) représentera alors le rapport des vitesses angulaires des roues G et G\ correspondant aux diff'érentes valeurs de X =: AGA^ .

Pour À = 0 on a [j. = 0, donc la fonction F(k) devient nulle quand X = 0; d'autre part il est facile de voir que pour cette valeur X = 0 la dérivée F'(k) doit être égale à^. En efî"et, quand X = 0, le point de contact

des dents est sur la ligne des centres au point D; donc le rapport des vitesses angulaires des roues G et G^ pour cette valeur de X, comme il suit d'une propriété générale des engrenages, est égal à §^^=§-] mais nous avons vu que ce rapport est égal à la dérivée -F'(X), par conséquent i/(X)= |-pourX = 0.

Avant d'examiner les irrégularités du mouvement des roues G et C^, — inévitables, quand les dents sont profilées en arcs de cercle, — remarquons que dans le cas considéré, oii les rayons des circonférences primitives sont B et E^ , le rapport des vitesses angulaires devrait être constant et égal à -^ de manière qu'à un déplacement 1 = AGA^ de la roue G devrait correspondre un déplacement angulaire ^X de la roue C^, mais le déplacement réel de cette roue, comme nous avons posé plus haut, est égal à [x = iP(X); par suite la différence

représente l'erreur dans le déplacement de la roue G^ correspondant au déplacement angulaire X de la roue G^.

Or, nous venons de voir que F(k) s'annule pour X — 0, donc pour cette valeur de X la différence

devient nulle également. Pour les autres valeurs de X cette différence n'est pas nulle en général, mais elle s'écarte plus ou moins de zéro pendant que X croît de zéro jusqu'à sa limite l qu'elle atteint, lorsque les extrémités E et F des arcs DE et BF, profils des dents, sont en contact.

Donc pour diminuer autant que possible les irrégularités du mouvement de l'engrenage considéré il faut choisir les arcs de cercle DE et DF de manière que la différence

s'écarte le moins possible de zéro, tandis que X varie entre les limites X = 0 et X :== ?.

La détermination exacte des arcs de cercle DE et DF, qui rempliraient cette condition est excessivement difficile à cause de la complication de la forme de la fonction F(X); mais, si l'on se borne à une approximation

suffisante pour la pratique, on pourra bien se débarrasser des difficultés, provenant de la complication de la fonction F(X), en substituant à l'expression

son déveloi3pement suivant les puissances ascendantes de X; puisque entre les limites 0 et l l'angle 1 est toujours fort petit, on n'a pas besoin de prendre un nombre considérable de termes de ce développement; pour la résolution des questions, qui se présentent dans la pratique, il suffit, comme on verra, s'arrêter à la troisième ou à la quatrième puissance de \ de manière que l'expression de la différence

prendra la forme de l'un des deux polynômes suivants: ou

§ 3. D'après ce qui précède, la détermination des arcs DE et DF, qui forment le profil de l'engrenage le plus régulier, se réduit à la recherche des coefficients des polynômes

pour qu'ils se rapprochent le plus possible de zéro entre des limites données de A. Ces polynômes ressemblent à ceux qui se présentent, quand on cherche la meilleure forme du parallélogramme de Watt: ceux-là ne diffèrent de ceux-ci que par quelques particularités, résultant de ce que nous avons remarqué plus haut par rapport aux valeurs de la fonction F(k) et de sa dérivée F'(k) pour X = 0. La fonction F Ça) s'annule pour X = 0, donc dans le développement de la différence

n'existe pas le terme, qui ne contient pas X; la dérivée F'Çk) pour X = 0 devient égale à -^, par conséqueiit le coefficient de X dans ce développe-

ment est égal à zéro. Il s'en suit que nos polynômes prennent l'une des deux formes:

Dans ces derniers polynômes comme dans ceux qui se rapportent à la théorie du parallélogramme de Watt, le premier coefficient étant supposé connu, les autres doivent être choisis de manière que les valeurs des polynômes s'écartent le moins possible de zéro entre les limites X = 0 et X=:/. D'après ce qui a été démontré dans notre mémoire intitulé: TJiéorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *), la détermination de tels polynômes dans le cas général n'est possible qu'à l'aide des fonctions elliptiques, mais dans le cas des polynômes du troisième et du quatrième degré elle est très facile. En s'arrêtant aux millièmes dans les valeurs des coefficients, on trouve que les polynômes prennent les formes suivantes:

Ces polynômes entre les limites 1=0 et 1^=1 s'écartent de zéro moins que tous les autres de la même espèce, cependant il n'est pas difficile de voir que leur écart de zéro devient le plus grand, lorsque X atteint sa valeur limite l, par conséquent dans les engrenages, où les variations du rapport des vitesses angulaires s'expriment par les polynômes ci-dessus, la poussée est la plus défectueuse au moment, où une dent échappe et où la suivante va se remettre en prise à la ligne des centres. Cette circonstance est très desavantageuse dans la pratique, qui exige, qu'à la fin comme au commencement de la prise le rapport des vitesses soit le même; c'est pourquoi il faut remplacer les polynômes, trouvés plus haut, par les autres, qui.

*) T. I, pag. 111—143.

*) Les expressions exactes de ces polynômes sont:

OÙ a est déterminée par l'équation: a3-t-— (a — 1) = 0,

-.yi

1— p2 -t- Vp^ -♦- 2p V\—p^

s'écartant le moins de zéro entre les limites X ^ 0 et X = ^, s'annuleraient non seulement pour X = 0, mais aussi pour A = l. D'après le § 9 du mémoire précité on trouvera les polynômes cherchés, si l'on remplace l par

dans l'expression écrite plus haut du polynôme du troisième degré et

par ô"^ dans celle du polynôme du quatrième degré. On obtient ainsi

polynômes, qui serviront à déterminer les profils des dents remplissant la condition que le rapport des vitesses angulaires aie la même valeur normale à la fin ainsi qu'au commencement de la prise et qui pendant la durée de la prise s'écarte les moins possible de cette valeur.

4. Nous commencerons par le cas, où dans le choix des profils des dents, les exigences de la pratique étant satisfaites, il ne reste qu'une quantité disponible, qu'on peut déterminer de manière, que les irrégularités du mouvement de l'engrenage soient les moindres possibles. Dans ce cas, en nous arrêtant à la troisième puissance dans le développement de la différence

nous devons poser

Or, en vertu de la nature de la fonction F(X), le premier membre de l'équation (1) peut être réduit toujours à la forme suivante exacte jusqu'à X^

comme nous l'avons vu au § 3; donc l'équation (1) nous donne une relation entre les coefficients K^ et K^ et, par conséquent, aussi entre les quantités, qui déterminent le profil cherché.

Pour obtenir cette relation nous pourrions trouver l'expression de la fonction F(k) et puis comparer les coefficients de X^ et de X^ dans les deux membres de l'équation (1), mais on peut procéder plus simplement, en remarquant, que l'équation (1) différenciée donne

^'W-^ = ^3(3'^'-2rA)

ce qui suppose avec une approximation jusqu'à X^, que la dififérence

devient nulle pour X = 0 et X = |- ^.

La première valeur X=: 0, annule toujours la différence

comme nous l'avons vu au § 2; l'annulation de cette différence pour \ = — l nous servira à trouver la relation entre les quantités, lesquelles contient la fonction jP(X).

Dans ce but rappelons que, d'après le § 2, la dérivée F' (k) représente le rapport réel des vitesses angulaires des roues considérées et la fraction p la valeur normale de ce rapport; si donc la différence

s'annule pour X = y?, c'est qu'à ce moment le rapport des vitesses angulaires a sa valeur normale et par conséquent la normale commune aux deux profils en prise passe par le point de contact D des circonférences primitives sur la ligne des centres CC\. Or, il est facile de trouver l'inclinaison de la normale commune sur la ligne des centres dans la position, où X = y ^, ce qui servira à établir la relation entre les quantités qui déterminent le profil cherché.

§ 5. Conservant les mêmes notations que dans la figure 1, nous aurons (fig. 2): CjD = jR, C^D=B^ les rayons des circonférences primitives, AD = p, BD^=p^, les rayons des arcs de cercle DE et DF-, A et B les positions des centres des arcs DF et DF au moment, où leur point de contact est sur la ligne des centres GG^ au point D; A^ et B^ les positions respectives de ces centres après une rotation de l'angle X = AGA^ := y Me la roue C, quand la normale commune AJ^^ aux profils D^E^ et D„F^, comme il est dit au paragraphe précédent, passera par la point de contact primitif D; soient: r = ^6'= A fi et les angles

L = AGD, N= ADG, v == ADA^ .

Le triangle A^DC donne la relation

tang {ADG- ADA,) = en - a,c . co\ a,cd'^

Fig. 2.

en employant les notations adoptées on a donc

tang {N — v) -

iî — r cos i — -^ 0

tangiV— tangr?