H tang JV.tang v
B — r cosi i — Z|
En résolvant cette équation par rapport à tang v, on trouve
LR — rcos(i — — Zj tangiV— r sin (i —l\
tang V = ~
R — rcoslZ —Û-t-rBiulL —U tang N
ou
tang V =
B sïn N — r sin II -i-N —l\
B cos N— r cos I L -f- N — -^ 1 1
Développant ici
suivant les puissances ascendantes de /, ou exprime par les séries suivantes: le numérateur
R sin N— r%m{L-+-N)-\-~r cos {L-^N),l-^ |- r sin {L-^N).?-^ ,
et le dénominateur
RcosN— rcos{L-^N)— ^r sin {L-*-N).l-^^r cos (L-*-N).P-*-
Mais du triangle AGD on tire
CD . sin ADC = AG. sin CAD.
GB . cos AI)G-¥-AG. cos GAB = AB,
d'où, en remplaçant l'angle GAB par
Tz — {ABG-\-AGB\
avec les notations adoptées on reçoit
BsmN=r sm{L-^N),
R cos N — rcos{L-h-N) = p,
ce qui réduit les expressions trouvées du numérateur et du dénominateur dans la formule (2) aux formes suivantes plus simples:
j{RcosN—ç) l-^^RsinN.P-*-
p--~ R sin N.l -^ ^ (Rcos N— p)P -t-
En divisant la première de ces séries par la seconde on trouve
(y cosiV— l)^-f-i- ^ (^f cos N— I) sinN.P-^. . . .,
et par suite, d'après l'équation (2), la valeur de tang v exacte jusqu'à la deuxième puissance inclusivement sera
tmgv = ^(fcosN—l)l-*--l-f[fcosN—^)sinN.P.
— ISS- Mais l'approximation admise permet de remplacer la tangente par son arc, ce qui donne
(3) „ = |(|cosi^-l);-H||-(f cosi^-i)sinA'.P.
Telle doit être la variation de l'inclinaison de la normale commune aux profils en prise après une rotation de l'angle ACA^ = y ^ de la roue G, pour que cette normale passe par le point de contact des circonférences primitives lorsque AGA^ = Yh ce qui doit avoir lieu pour l'engrenage considéré.
Cela posé, il est facile de trouver une relation entre les quantités
qui déterminent les arcs DE et DF; à cet effet il faut connaître la valeur de V pour des valeurs quelconques de
C'est ce que nous allons chercher.
§ 6. Soient (fig. 3) A et B les positions des centres des arcs consi-
Fig. 3.
dérés, quand leur point de contact est sur la ligne des centres; AGD = L, ADG==:N, GD = E, G,D = B„
A^ et B^ les positions des centres des arcs après que la roue C a tourné de l'angle quelconque AGÂ^ = X,
AfiD = L — \ A,D,G=N—v',
soient aussi BG^D = Jf et pt. l'accroissement de cet angle correspondant à l'angle de la rotation JC4j = X de la roue G; alors
B,G,D = M-^lj,.
Pour obtenir l'équation qui détermine la valeur de v pour une valeur quelconque de X, projetons le polygone GA^Bfi^ sur la direction de la ligne des centres et sur une perpendiculaire à cette direction; nous aurons
^1 (7. cos J^i CD -»- ^1 1?i cos ^1 Do (7 -H ^1 C, cos ^, (7i D = (7(7i A^G sin A^GD — A^B^ ûnA^D^G-\-B^G, sin B^G.B = 0,
d'oii, en remarquant que
A^G=r, B,C\ = r^, A,B, = ç-i-ç,, GG, = B-i-E, A,GD = L — \ A,D,G=N—v, DG,B, = M-\-^, on trouve
r cos (L — X) -H (p -+- pi) cos {N— v) -+- i\ cos(ilf -*- fx) = i? -h i?j, r sin (L — X) — (p -♦- Pi) sin {N — v) h- r^ sin {3I-+- \l) = 0.
Éliminant (ilf h- ji.) entre ces équations, on a:
rj2 = [B-^B, — r cos (X — X) — (p -*- ?i) cos (iV— î;)]^ -+- [— r sin (Z — X) H- (p -»- p/) sin (lY— v)]\
ou en supprimant les parenthèses
r^i = (i^+-i2j2 j (p ^ ç)^)2-+-r2 H- 2r(p -4- p^) cos {L-^N—l — t;) — 2 (i? -f- B,) [r cos (D — X) -f- (p -*- p,) cos {N— v)] .
Pour les valeurs particulières X = 0, v = 0, cette égalité devient:
r^2 = (Jî -4- B^f -t-ip-i- PiY -*- ^2 ^ 2r (p -H p,) cos {L -+- N) — 2iR-i-B,) [rcos L -4- (p -h p^) cos iV] .
Soustrayant cette équation de la précédente, on obtient
C03 {L -i- N — "k — y) — cos {L h- N) cos {N — v) — cos JV cos {L — X) — cos J, ^
B-*-Bi r p-t-pj '
Pour en déduire la valeur de l'angle v développée suivant les puissances ascendantes de l'angle X posons
et déterminons les coefficients K^, K^,. . . .
En portant cette expression de v dans l'équation précédente et développant suivant les puissances de \ nous aurons
- JBi ^ 1 ^ r 1 p -t- Pi j
2 sin (L -i-N)E2 — cos {L ■+- N) {Ki + 1)2 \
2 sin N.K^ — co&N.Ei^ cos Z | ^ r "*'p-i-pi I
d'oiî pour la détermination des coefficients K^, K^ on tire les équations suivantes :
a'm {L -t- If) , j^ ,N sin N -rr sini ^
B-i-Bi ^ ^ ' r 1 p-*-Pi '
2 sin (X -f- JvQ gg — cos (X -h i^) (.gi -f- 1)2 2 sia i^. g^ — cos .ZV. .g^g cos-L __ q
jR-t-iîi »* P -*- Pi '
qui donnent
sinX sin (i -♦- iV) ___p-^Pi~ -R-^-i^i .
sin (X -t- iV") sin N '
B-t-Bi r~
/sin(X-t- JV^ 3iniV\
Afin de chasser de ces expressions les angles
L==AGDetL-t-N^AI)G-\-AGD remarquons, que le triangle ACD donne
sin^C/) = ^sin^iDC, sin {ADC-i- ACD) = sin CAD = ^ sin ADG;
cosAGD--
CD — AD. co% ABC AC '
ces {AI)G-\- AGD) = — cos G AD = — -^-P-^-P-cqs^JC^ ou, d'après la notation adoptée,
sinjL = |-sinJ\^; sin (Z -+- iV) = -^ sin JV;
^^g^^-^^. cos(Z~f-iVr)__P:z^^^.
En portant ces valeurs de
sinL, sin (L -f- i\0, cosi, cos(L-i-iV)
dans les expressions précédentes des coefficients Z^, Zg, on trouve, toutes les réductions faites,
T^ -RPl — if?! P .
^1— i?l(p-f-Pl)'
(p — B COS iV) (Zi -t- 1)2 -+- (E -f- El) fcos iVr.^ 2 ^. -R — pcosiSr-j
E^ L P -^- Pi J
2 2^1 sin N
Telles sont les valeurs des coefficients K^ et K^ de la série (4) v^K.X-^K^-k^-A-....,
qui donne la valeur de l'angle v correspondant à une valeur quelconque de l'angle 1 pour toutes les valeurs de
§ 7. En posant dans la formule trouvée
nous aurons la valeur correspondante de l'angle v
Or dans le cas de l'engrenage considéré d'après la formule (3) (§ 5) cette valeur particulière de v est
|(f cosiV-l) «-h| f (f cos IV- 1) sinJV. P.
Comparant ces deux valeurs du même angle on obtient une équation, qui, étant divisée par — l, prend la forme
(5) ff,-|cosiV-Hl-.-|[K,-f (f cosiV-|)siniv]z = 0,
où K^ et ffg ont les valeurs indiquées au § 6.
La valeur de K^, comme nous avons vu, est très simple:
Quant à l'expression de la valeur de K^ elle peut être considérablement simplifiée en vertu de l'approximation, à laquelle on se borne.
Remarquons que dans le calcul de cette valeur on peut négliger même les premières puissances de l, puisque cette quantité n'entre comme facteur que dans le dernier des termes retenus. En outre, d'après l'équation (5), si l'on néglige le second terme, on a
équation, à l'aide de laquelle on simplifie facilement l'expression de la valeur K^.
En eifet le numérateur de cette expression, K^ étant remplacé par la différence
— cosA^— 1, devient
(p -t- B^ cos N) 1^ cos^ N—2{R'-^B,)— cos^ N-+- ^^' {R -+- ç, cos N).
Mais la formule (7), d'après (6), donne
|pLz:^^cosiY-t-l=0,
formule, qui se réduit à
(8) ^^^^^' = ^' cosN.
p-t- En remplaçant le facteur
p^- Pi dans le dernier terme de l'expression précédente par
^^ cos iV,
ppi '
on la réduit à la suivante:
—^ cos^ N — ^ ^-^ cos Yh cos /v,
L p^ p ppi J '
qui après la substitution
au lieu de devient
ou
^AlLi^iPil cos N
ppi
B-^Bi
(1 — cos^iV^) cosiV
ppl ^
^'^i sin^iY.cosiV.
PPi
Remplaçons ici
cosiV PPi
d'après la formule (8) par
B-i-Bi 1 p-^p, BB^'
et nous aurons
^(^-"^•^sin^iY,
P-+-P1 expression réduite du numérateur de K^, donné à la fin du § 6.
Par suite on obtient pour la détermination du coefficient K^ la formule suivante très simple:
K. = ^^^smN.
2Bi p-*- Pi
Portant les valeurs trouvées de K^ et K^ dans l'équation (5) et remplaçant dans son dernier terme, d'après (8),
par
on obtient, la réduction faite,
B.cos N
B-t-Bi Pi Bi p-^pi'
(10) COSN—^^-^-^^ (7g^-^2E)p,-(E-^-2E.)Pg.^^^^^^Q^ ^ ^ BBi p -+- Pi oBi P -*- Pi
§ 8. Cette équation exprime une propriété géométrique très-simple des arcs de cercle qui forment les profils de la face et du flanc de la dent de l'engrenage considéré. Mais avant de la faire ressortir cherchons la formule qui sert à déterminer les longueurs de ces arcs.
Conservant les notations précédentes des arcs DE, DF et de leurs centres ^ et 5 au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne des centres, soient (fig. 4) D^E^, A-^d Aj ^n ^^^ positions extrêmes des
Fig. 4.
arcs et de leurs centres au moment, où les dents vont se quitter, ce qui correspond, comme on l'a vu, à la rotation de l'angle AGA^=l de la roue 0.
Traçons la droite AE; l'angle GAE est égal à GA^E^, parceque A et Al de même que E et E^ représentent les mêmes points de la roue G dans ses deux positions; donc l'angle DAE qui est égal à GAE — CAD sera égal aussi à GA^H — GAD; or
GA,E=iz — A,GH—A,EG,
GAD =T. — AGD —ADG, donc
DAE = AGD — A,GH-i-ADG—A,HG.
D'après nos notations:
AGD~AfiH= AGA, = l,
ADG—A^HG=N—iN—v)=:v,
où la valeur de v s'obtient de la formule (4) pour 1 = 1; il s'ensuit, que si nous appelions w l'angle DAE, qui détermine la longueur de l'arc DE, profil de la face de la dent de l'engrenage considéré, on a pour la valeur de cet angle
ce qui, après la substitution des valeurs de Z^ et K^ trouvées au § 7, se réduit à la forme suivante:
11) w = — ^ — ^ — ^^^— l -H —^ ^ sin N. r.
A l'aide de cette expression de l'angle w = DAE il est facile à faire voir, que l'équation (10) représente une simple propriété géométrique de l'arc DE, à savoir:
«Au moment où le point de contact des deux dents est sur la ligne des centres, le point extrême E de l'arc DE (fig. 5) se trouve sur la circonférence, qui passe par le point D de contact primitif et par les extrémités P et Pj des deux arcs DP et DP^ des circonférences primitives, qui correspondent à l'angle de rotation de la roue C pendant la durée de la prise des arcs DE et DF».
Pour le démontrer traçons la circonférence, passant par les points i>, P et P^, et la corde DE; soit E^ le point de leur intersection; cherchons la longueur DE^.
D'après nos notations
ADG=N; DAE=(ô, DGP=-.l, GD = B, G,D = B„
et l'angle BG^P^ est celui dout a tourué la roue G^ pendant toute la durée de la prise des arcs DE et DF, de sorte que
DGJ\==§^DGP=§-1
•Fig. 5.
Menons par le point D la droite DG perpendiculaire à GG^ et DT perpendiculaire à AD; ces droites étant tangentes aux arcs DP, DP^ et DE respectivement fout avec les cordes de ces arcs les angles
PDG = I DGF, P,DG = ^ DG,P, , EDT= | DAE, ou d'après les notations adoptées
PDG = ~', P^DG-
'2Bi
; EDT-=-
Quant à l'angle GDT, ses côtés étant perpendiculaires à ceux de l'angle ADG, on a GDT= ADG et par suite GDT = N. On en déduit:
PDP, = PDG-^P,DG = ^-^^h
P,DE, = GDT— GDP, - EDT=.N- ^l — ^,
2Bi
PDE, = GDT-t- PDG — EDT= N -
D'autre part ayant
on trouve les longueurs des cordes DP et DP, :
DP=2.Ci>.sin^ = 2i^sin|,
Connaissant les longueurs de ces cordes ainsi que les angles qu'elles forment avec la corde DE^, on trouve facilement la longueur de cette dernière à l'aide de l'équation:
DP. sin {P,DE^) — DP, sin {PDE,) -+- DE, sin (PDP,) = 0,
qui a lieu pour trois cordes quelconques passant par un même point de la circonférence.
En y portant les valeurs trouvées des longueurs de DP et DP, et des angles P,DE,, PDE,, PDP,, on obtient pour la détermination de la longueur de DE, l'équation suivante:
Pour en déduire la longueur de DE, avec une approximation du deuxième ordre, développons les deux premiers termes jusqu'au troisième ordre et le facteur de DE, jusqu'au deuxième; nous aurons:
l^i DE, . l (A±A1^ cos N. P-^ [^i^-Ill- -^4^ "] sin ^ J2^ 0 ,
d'où
DE, = Rto^N.l-^R {-|--«-^6^^} siniYJ,
Remplaçant w par sa valeur (11) on trouve
expression exacte jusqu'à la deuxième puissance de l inclusivement de la longueur deD^^, qui détermine la position du point E„ où la circonférence passant par les trois points D, P, P, est coupée par la corde DE.
En déterminant d'après les formules trouvées plus haut la longueur de la corde J)E, on voit qu'avec une approximation dn deuxième ordre on peut remplacer cette corde par l'arc DE et par suite exprimer sa longueur par le produit
A l'aide de la formule (11) on trouve
DE = ^^' -^^ l -f- ^ ^^^^ sin N. l\
Nous aurons donc pour la différence des longueurs des cordes DE et DE^ l'expression suivante exacte jusqu'à la deuxième puissance de l:
