DE-DE
donc le point E^ coïncide avec le points, qui est par conséquent sur la circonférence considérée, ce qu'il fallait démontrer.
§ 9. Répétant relativement à l'arc DE, profil du flanc de la dent de la roue Cj, tout ce qui vient d'être dit relativement à l'arc DE, profil de la face de la dent de la roue (7, on arrive aux formules, qui se déduisent des formules précédentes en remplaçant des lettres relatives à la roue C par celles relatives à la roue G^ et réciproquement.
Quant à la quantité Z, qui représente l'angle de la rotation de la roue G pendant la prise des arcs DE et DF, il faut la remplacer par
parce que la roue G^ en même temps tourne de l'angle -^ l dans le sens opposé.
Au lieu de l'angle co = DAE, qui mesure l'inclinaison réciproque des
rayons AD et AE passant par les extrémités de l'arc DE, nous aurons
G), = DBF
avec le signe — à cause de la position inverse des rayons BB et BF^ passant par les extrémités de l'arc DF.
L'équation (11) deviendra par ces changements
(13) o, = — ^ — — l — ^ô ■ sin N. /2;
l'équation (10) reste la même, quand on passe de l'arc BE à l'arc BF\ ces deux équations nous conduisent au même résultat relativement à l'arc DF, que nous avons obtenu dans le paragraphe précédent relativement à l'arc BE^ c'est à dire, l'extrémité F est située sur la circonférence passant par les points D, P et P^ .
On arrive ainsi à la conclusion suivante, concernant l'engrenage conconsidéré:
«Au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne des centres, les cinq points suivants sont sur une même circonférence : les extrémités des profils de la face de l'une et de la partie vive du flanc de l'autre des deux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, les points des circonférences primitives qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de ces dents, et le point de contact des circonférences primitives».
Cette propriété n'est exacte que jusqu'à la troisième puissance de l^ puisque en déterminant les positions des différents points nous avons négligé dans nos formules les puissances de l supérieures à la seconde. Mais cette approximation est suffisante dans la pratique en vertu de la petitesse de la quantité l, qui représente l'angle de la rotation de la roue pendant la prise d'un couple des dents de l'un ou de l'autre côté de la ligne des centres.
En se basant sur les formules (11) et (13), on peut trouver une autre propriété de l'engrenage considéré. Ces formules étant ajoutées donnent
mais d'après nos notations
(ù = BAE, io, = BBF, l = BGP, et comme nous avons remarqué plus haut
donc l'équation trouvée se réduit à la suivante:
BAE -H BBF == BGP -+- BC\P, .
Cousidéraut les angles que forment les cordes des arcs DP, BP^ , DE et I)F avec leurs tangentes BG et BT, on voit que
rBG = \BGP, P,BG=:^BG,P,, EBT=^BAE, FBT=^BBF,
par suite l'égalité précédente donne
EBT-*- FBT= PBG -+- P,BG, d'où
EBF=PBP„
c'est-à-dire que les cordes des arcs BE et BF font entre elles le même angle que les cordes des arcs de retraite BP et DP^ ; les points P, P^ , F, E étant situés sur la même circonférence passant par le point B, il en résulte, que les droites PP^ et EF sont égales entre elles.
On peut énoncer cette propriété de l'engrenage considéré comme il suit:
«La distance entre les extrémités des profils de la face de l'une et de la partie vive du flanc de l'autre des deux dents, dont le point de contact est sur la ligne des centres, est égale à la distance des points des circonférences primitives, qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de ces dents».
Puisque dans le tracé des engrenages, on donne les circonférences primitives et les arcs de retraite et d'approche, on pourra toujours, d'après ce que nous avons montré plus haut, tracer la circonférence, où doivent être situées les extrémités des profils de la face et de la partie vive du flanc des deux dents et on connaîtra la distance de ces extrémités au moment, où les dents sont en contact sur la ligne des centres.
Soient (fig. G) G et G^ les centres des circonférence primitives, B le point de leur contact. Ayant en vue de déterminer le tracé des profils des dents des roues G et Cj portons les longueurs BP et BP^ des arcs d'approche sur les circonférences primitives; puis traçons la circonférence passant par les points 7), P, Pj , sur laquelle doivent se trouver les extrémités E et F des profils de la face et de la partie vive du flanc des dents au moment, où le point de leur contact et sur la ligue des centres; la distance de ces extrémités doit être égale à PP^. Quant au choix de la position des points E et F sur la circonférence, il dépend des exigences de la pratique: plus ces points seront éloignés du point P, plus longue sera la dent de la roue G et plus profond sera le creux de la roue G^; eu même temps sera plus mince le
bout de la dent de la roue G et plus étroit près du fond le creux de la roue (7,.
Après avoir choisi les positions des points E et F sur la circonférence et la direction de la normale commune aux profils des dents en contact au
Fig. 6.
point D, nous aurons les profils cherchés, en traçant par le points D et E, D et F les arcs de cercle, ayant au point D la normale choisie.
§ 10. Passons maintenant au cas, où l'on dispose de deux quantités dans le choix des arcs de cercle formant les profils des dents, en vue de diminuer autant qu'il est possible les irrégularités, qui sont inévitables une fois que l'engrenage est profilé en arcs de cercle.
Développant la diff'érence:
suivant les puissances ascendantes de X jusqu'à la quatrième puissance, on trouve, que d'après le § 3 cette différence se réduit au polynôme:
D'où il suit que pour déterminer les valeurs de X, qui annulent la dérivée
on à l'équation:
dont les racines sont:
On conclut de là, d'après le § 4, que la normale commune aux profils des dents en contact passe par le point de contact des circonférences primitives pour les valeurs suivantes de l'angle X:
Les équations qu'on peut déduire de cette circonstance dans le cas considéré s'obtiennent facilement, comme nous le verrons, si l'on fait usage de l'angle v, variation de l'inclinaison de la normale commune aux profils des dents en contact (§ 5) sur la ligne des centres.
Cherchant d'après la formule (4) les valeurs de v correspondant aux trois valeurs de X ci-dessus trouvées, on remarque, que la première est nulle et les deux autres sont de la forme:
où il faut poser successivement
En désignant ces deux valeurs de v par v^ et v^ nous aurons
V, = 0,365 Z,/h- 0,365^^2^^ ^^2 = 0,865 Zj/ -H 0,865^^2^1
Soient, conformément aux notations précédentes, G et G^ (fig. 7) les
Fig. 7.
centres des circonférences primitives, GD = R^ G^B = R^ leurs rayons; A
et B les centres des arcs de cercle DE et DF, lorsque leur point de contact est sur la ligne des centres; AD = p, BD = p^ les rayons de ces arcs: AG=r, BG^=t\ les distances des points A, B aux centres G, C^; ADG=N l'angle, qui mesure l'inclinaison de la normale commune aux arcs DE et DF sur la ligne des centres. Si A^ et B^ sont les positions des centres des arcs DE et DF au moment, où le décroissement de l'angle de l'inclinaison de la normale commune aux dents sur la ligne GG^ est égal k v^^ la droite A^B^ représente la position de cette normale, correspondant à >;=0,365/; et par suite elle doit passer par D, point de contact des circonférences primitives.
Considérant les triangles GAD, GA^D, G^BD, G^BJ)^ où d'après nos
notations
AG=A,G=r, BG, = B,G, = r,,
AD = p, BD = p„ AB = A,B, = p-^p^,
GD = B, G^D = B,, ADG = BDG, = N,
A,DG=B,DG, = N—v,,
et posant
AD — A^D = B,D — BD = h,
nous aurons les égalités suivantes:
r^ = f-t-R'—2çBcosN,
r^ = (ç — hy^B' — 2 (ç) — h) B cos {N— v,),
r^ = 9^2 ^ji^2 ç^B^ cos lY,
r^2 = (p^ + ky -^B,'—2 (pi -*- h) B, cos (N—v,),
qui, après l'élimination de r et t\, nous donnent:
ç^ -^ B^ — 2çB cosN= (p — hf -t- B' — 2 ip — h) B coè{N — V,), çy-^B;'—2ç,B,cosN = {p,-^hf-^~B,'—2 (p^-^h) B,co&{N—v,).
Pour éliminer de ces équations la quantité h on peut les résoudre par
rapport à
Ç) — h et pi -f- h
et ajouter les résultats.
On arrive ainsi à l'équation:
- p, — (i? H- B,) cos {N—i\) =
yf—2BçcosN-t-B'cos\N—v,) -t-Vp,'— 2 B, ç, cos N-+~ B^' cos^ (N—v,),
qui peut être réduite à la forme:
p -i- ?^ — {R-+- B^) cos {N — v^) =
Vip — R cos Nf -f- 7?- [co?,\N—v^) — cos'^N]
-*-y(pj— i?, cos Nf -+- B,' [cos'(N—v,) — cos^N].
Posons pour abréger
ce qui donne
cos^iV
cos(iV — ?;j) = cosiVyi H-^i,
et nous pourrons écrire l'équation précédente comme il suit:
9 -4- Pj — (i? -t- i?^) cosiVVl -+-t^ = V{g — B cos NY -+- R^ cos- N. t, -\- V{ç,— B.^ cos Nf-*- B,' cos' N.t,.
Développant les radicaux suivant les puissances de ^j, on ramène tous les termes dans le premier membre; divisant par ^j, on trouve:
R"^ cos N Ry^ cos N „ jj \
p — RcosN ~^ pi — i?iCOsiV "^-^-^-^1
1 r Ri 003^ N R^*cos^N j. ^-\
'4 L (P — J? cos iV)3 """(Pi — ieiC0SiV)3 ~*~^ *-^lJh
1 r fl6 cos5 N J?i6 C0S5 JVT „ 7? 1 / 2
■ 8 L (P - i2 cos Nf ~*~ (pi - i^i cos Nf>~^^~^ ^ij ^i
Faisons pour abréger
R cos N
i?l cos iV
p — E cos iV ^^' pj — E\ cosN
et l'équation ci-dessus prendra la forme suivante:
En répétant les mêmes opérations pour l'angle v^, qui correspond à
l'angle de la rotation >. = 0,8C5/, pour lequel la normale commune doit passer aussi par le point B et posant:
nous obtenons l'équation
(18) ^ [=0, -^.^{BX^-^B^T'-+-B-v-B,)t^^-^.., j
analogue à l'équation (16).
Des équations (16) et (18) on déduit les valeurs de X et T; en suite à l'aide des formules (15) on trouve les valeurs de ? et p^, rayons des arcs de cercle formant les profils des dents.
§ 11. Pour faciliter la résolution des équations (16) et (18) nous négligerons d'abord les termes contenant les puissances de t^ et t^ supérieures à la première. Nous aurons pour les valeurs approchées de X et Zles équations:
BX-^ R,Y -^ R-^ R^ — ^ {RX^ -^ RJ^ -^ R-^ R,)t^ = 0,
RX-i- R,Y-^ R-i- R^ — -^ {RX' -+- R,Y' -i- R -^ R,)f, = 0
qui se réduisent aux équations suivantes:
RX-i~R,Y-^R-*-R, = 0, RX^-*- R, Y'-\~ i? -+- i?i = 0.
On déduit de la première
Substituant cette valeur de Zdaus la seconde on arrive à l'équation:
qui, les réductions faites, aura la forme:
{R, — R)X' — 2>RX''—?> {R-i-R,)X — R — 2R, = 0,
Cette équation a deux racines égales à — 1 et la troisième, qui est égale à
Or, remarquant que d'après la première des formules (15) X ne peut devenir égal à — 1 que si le rayon p devient nul, on conclut que les racines égales à — 1 ne sont pas admissibles dans notre problème; donc il faut prendre pour la valeur cherchée de X la racine
Substituant cette valeur de X dans l'équation (19) on trouve
K — Bi'
Telles sont les premières valeurs approchées de X et de Y. Pour les déterminer avec plus d'exactitude, posons:
OÙ a et (B sont les quantités négligées dans la première approximation.
Introduisant ces nouvelles valeurs de Z et de T" dans les équations (16) et (18) et supprimant les termes, qui contiennent les puissances des quantités a, p, ^j, t^ supérieures à la première, on obtient:
Si l'on se borne à la première puissance de t-^ et t^ dans la détermination des valeurs de a et fl, les deux équations précédentes donnent immédiatement l'équation
Pour obtenir une seconde équation simple entre a et j^ soustrayons l'une de l'autre les mêmes équations et, supprimant le facteur commun
X (^2 — ^1)5 ^0"s aurons:
Remplaçant dans cette équation on a
d'où l'on tire
et par suite
a — -R(-R-^2.Ri)(i?, -4-2Ji;) (f .f^
P ~~ 2 (El — Bf ^^^ ^^>-
En portant ces valeurs de a et [3, exactes jusqu'à la première puissance de t^ et ^2 dans les formules (20), on obtient avec le même degré d'approximation :
^— E,-B L 2{B^-Bf i^^^a'Jî
^ Bi-*-2B fi . B{B-^2Bi)^^ . ^ ^-]
§ 12. Substituant les valeurs trouvées de X et Y dans les formules (15), on aura pour la détermination des valeurs p et p^ les équations suivantes:
BcoaN i^-^2J?i r-. . Bi{B^-^2B)^^ . ^ ^~]
p-i^cosJN^ — X^n^ L^ "^ 2(Ei-E)2 ^^1-^'2'J'
BiCoaN B,-^2B fi . B{B-^2By)^^ . ^ ^~1
Pi-iîjcosi^— iî-i?i L-^ "^ 2(E-Ji:.)2 ^^i-^-^sy-
Si l'on se borne aux termes du premier ordre relativement à t^ et tr,, on en tire:
SBB^cosN r, (El -«- 2E) (fi -4- /g)-] P — Eh- 2^1 L 6(Ei-E) J»
3EEi cos i\ r, (B-^^2B^)^l-*-t£]
Pi— Jîi-f-2E L G(E-Ei) J*
Quant à la valeur de la somme ti-*-t^, qui entre dans ces formules, on remarque que les expressions (14) et (17), étant développées suivant les puissances de v, donnent avec approximation jusqu'à la deuxième puissance
' ni. Tvr j 2co3iV.sinJV ^, ^j
Mais d'après le § 10 ou a avec approximation jusqu'à la deuxième puissance de l
Vj = 0,365 /iTi/, î;2 = 0,865 7^1 /,
donc avec la même approximation
/^ H ^2 = 2 (0,365 -*- 0,865) K, imgN.l = 2,460 K^ tang N. l,
011 d'après (6)
1 J^l(p-HPl)
Si dans cette expression de K^ on remplace p et p^ par leurs valeurs trouvées ci-dessus, ou a avec approximation jusqu'à la première puissance de fj et ^2 exclusivement
et par suite
j^ B — Ej
^j -t- ^2 = -^ ^ tang N. l
Substituant cette valeur de t^ h- t^ dans les expressions des valeurs de p et 9^ trouvées plus haut, nous obtenons
dBB, C09.N r. ^ . r,rT B-i-2B. . ^ f.j 7~1
?i = -ïvt2ïr I 1-0,137-^ tang iVJj.
Tels sont donc les rayons des arcs de cercle, dont l'un forme le profil de la face de la dent de la roue C et l'autre celui du flanc de la dent de roue G^.
§ 13. Pour déterminer les longueurs de ces arcs, on a d'après le § 8 avec approximation jusqu'à l^
où (0 est la lougueur de l'arc de cercle, profil de la face de la dent de la roue (7i, supposant que le rayou de cet arc est pris pour l'unité, et les coefficients K^ et K^ d'après le § 6 ont les valeurs suivantes:
K — ëhiz^.
(p - E cos N) {R\ ■+- 1)2 -*- [B H- E,) fcos N. K.^ -h — ~ ^ ^°^ ^
j( L P -*- Pi J
2 21{^ sin N
Remplaçant p et p^ par leurs valeurs trouvées dans le § 12, nous supprimons les termes contenant, comme facteurs, /^ dans l'expression de K^ et l dans celle de K^\ nous aurons ainsi:
/f^ -4- 1 = ^:^ (l — 0,137 ^^^ tang JV . ^),
^^2 — î8^;2 tang i\ .
Après la substitution de ces valeurs dans l'expression ci-dessus de co on obtient avec approximation jusqu'à l^
Remplaçant dans cette formule o par — «i, ^ par — ^ /, R par R^, p par pi et réciproquement on parvient d'après le § 9 à la formule pour déterminer la longueur de l'arc de cercle, qui forme le profil du flanc de la dent de la roue C^:
OÙ coj désigne la lougueur de l'arc, son rayon étant pris pour l'unité. On en déduit que la somme
est égale à
et le produit
avec approximation jusqu'à P se réduit à
j,,,,^j^EE^,inN.P.
— IGO —
Cette expression est la même que celle de la corde DE^ (§ 8), qui résulte d^ la formule
après la substitution de la valeur de co. Ou conclut de là, que dans le cas présent subsistent les propriétés que nous avons démontrées (§ 8, § 0) pour le cas, où dans le choix des arcs de cercle formant le profil de l'engrenage il n"y a qu'une seule quantité dont on peut disposer pour diminuer les irrégularités du mouvement.
Nous avons vu dans le § 9 que dans ce cas on peut modifier suivant les exigences de la pratique la direction de la normale commune aux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, sans changer les positions choisies sur la circonférence DPP^ (fig. 6) pour les extrémités des profils de la face de la dent de la roue G et de la partie vive du flanc de la dent de la roue Cj. Au contraire, dans le cas que nous examinons à présent la position de ces extrémités définit complètement la direction de la normale commune mentionnée, puisque d'après le § 8 (fig. 5) on a:
N = GDT = G DE -+- EDT = GDE -4- -|-.
En portant l'expression connue de co, où p et p^ doivent être remplacés par leurs valeurs, on trouve une équation, qui détermine l'angle X, si l'angle GI)E est donné. Si l'on a égard cà ce fait que c'est dans ce cas notamment que l'on obtient la plus grande régularité possible avec des engrenages profilés en arcs de cercle, on conclura de ce qui précède que toutes les fois, lorsqu'on choisit la direction de la normale commune AB conformément aux exigences de la pratique, il faut chercher donner à cette normale la direction qui s'écarte le moins possible de celle que l'équation précédente fait connaître.
Les valeurs trouvées de to et co^ avec approximation jusqu'à / donnent
or d'après le § 8 (fig. 5)
iù = BAE=2ED2\ (^^=DnE=2FDT,
donc on a avec approximation jusqu'à la première puissance de i
FDT. jfîi^»-21i EDT i?-t-2i?i*
D'où il ressort que, si la normale commune aux dents en contact AB a la direction indiquée, leur tangente commune DT divisé l'arc EF en deux parties, qui sont entre elles dans le rapport
ce rapport étant exact jusqu'à la première puissance de l.
On en déduit une construction géométrique très-simple pour déterminer approximativement la direction de la tangente DT, correspondant à celle de la normale AB, pour laquelle les irrégularités du mouvement de l'engrenage considéré deviennent les moindres possibles.
Remarquons pour terminer, que les angles que les cordes PD et P^D (fig. 5) font avec le diamètre passant par le point D ont pour valeurs approximatives jusqu'à P, respectivement:
E-f-2Ei j Ey-t~2R
En comparant ces valeurs avec celles des angles
PDG==:^, GDP, = ^,
qui résultent des formules trouvées, on remarque qu'elles sont respectivement égales avec approximation jusqu'à la deuxième puissance de l. On voit de là, qu'avec ce degré d'approximation le diamètre du cercle DPP^, passant par le point D, fait avec les cordes DP et DP^ des angles respectivement égaux à ceux, que la tangente DT aux arcs DE et DF doit faire avec le cordes DE et DF, pour que l'irrégularité de la transmission du mouvement par l'engrenage soit réduite au minimum possible.
SÏÏK LIS QÏÏIBRATÏÏRES.
(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX. 1874, p. 19—34.)
Lu au Congrès de l'Association française pour l'avancement des Sciences, à Lyon. Séance du 25 août 1873.
Sur les quadratures.
1. Dans l'Ouvrage très-important que M. Hermite vient de publier sur l'Analyse mathématique, l'illustre géomètre donne une nouvelle formule pour évaluer approximativement la valeur de l'intégrale
r-m= dx.
Dans cette formule toutes les valeurs de la fonction ^(x) entrent avec un même coefficient; c'est ce qui apporte une différence essentielle entre la formule de M. Hermite et celle de Gauss, et ce qui en rend très-commode l'application numérique. L'utilité des formules approximatives de ce genre m'engage à présenter quelques réflexions sur la recherche de ces formules.
Nous supposerons que, la fonction F{x) étant donnée, on cherche à exprimer le plus près possible les intégrales de la forme
f F{x) (^(x) dx,
quelle que soit la fonction 9 (x), par la formule
k [9 (x,) -H 9 (rr^) -I- . . . H-9 W],
où A;, ajj, iCg, . . . x^^ sont des valeurs qui ne dépendent pas de la fonction <^{x). Comme cette formule ne contient que n-t-l quantités k, x^, x^,. . . x^ dont on puisse disposer, il est impossible de l'identifier avec la valeur de l'intégrale
[ F{x)r^{x)dx
au delà des termes qui contiennent les n premières dérivées de la fonction 9(ic), et, par conséquent, on aura
(1) fF{x) 9 (X) dx-k [ç (a;,Kç (^,K...-? ix^)]=k, ç^"-^^) (O)-hÂ;, cp^""*"^) (0)-h...,
en désignant par fep k^,. ■ . les coefficients de 9^""^'^(0), 9-""*"^^ (0), . . . dans l'expression de la diflféreuce
[ F{x)^ (x) dx—k [9 (a:J-f- 9 (x^ -h ...-+- 9 {x^\
que l'on trouve eu développant, d'après la formule de Maclaurin, la fonction 9 (a;) sous le signe de l'intégrale et les valeurs 9(031) 9(2^2), . . . , ^{x^ qui sont hors ce signe.
2. Pour trouver, d'après la formule (1), que l'on suppose possible, la valeur du coefficient k et les valeurs x^^ x^^ . . . ^ x^ de la variable rc, nous remarquons que cette formule, dans le cas particulieur où
?(^) = ^, z étant une quantité quelconque, se réduit à l'égalité
i s — X \Z — Xi z — x^ z — X^J
1.2.3. . .(wH-l)/;;i^-"-"-Hl. 2.3... (ti -1-2)^2 ^;~"~'-*-. . .
où A", Z^i, ^2, . . . , iCi, aîg, . . . , ic„ sont des valeurs qui ne dépendent pas de;?. D'autre part, en dénotant par f{z) le produit
on a
f(B) Z — Xi Z — X2
et, par suite, la formule précédente se réduit à celle-ci:
/0^ V Fix) .if'{z) 1.2.3... (n-4-l)fct 1.2.3.. ■(n-i-2)fca
En multipliant cette formule par z et en remarquant que, pour z = oo, les valeurs
zf {Z) ^ 1 , 1
