Passant aux applications, nous ferons d'abord

ce qui est le cas de M. Hermite, et où l'intégrale

J F{x)o (x) dx se réduit à

T-^dx.

cette valeur de F{x), on

trouve

Xf{x)

dx =

f dx

rie,

-L/rr

fF{x)\og{z

— x)dx

log {z-x ^ Vl—x"^

dx

donc, d'après (4),

et, d'après (3), l'équation /'(^)=0, qui détermine les valeurs de iCj, iCg,..., a?^, se réduit à

nlogi±2^ . ^^.-^ -s„

Ee - =0 n^H E\~{-^ =0,

résultat identique avec celui de M. Hermite, vu que la partie entière de la fonction

est égal à

2ïï=^ cos(»^arccos^).

5. Pour montrer une autre application des formules que nous venons de donner, nous poserons maintenant

F{x)=\, ce qui est le cas où l'intégrale

1 F{x) ^ {x) dx se réduit à

f çp {x) dx;

intégrale pour laquelle Gauss a donné sa formule de quadrature. Comme on trouve

\ dx=2, [ log (^ —x)dx= log {; :: ;p; - 2,

jg yx> Uyj wju -^^ wj'l

on conclut, d'après le n° 3, que la valeur approchée de l'intégrale J <!^{x)dx sera donnée par la formule

quand ou fait ^= |-, et que l'on preud pour jj, x^, . . . ^ x^ les racines de l'équation

équation qu'on peut mettre, par le développement en séries, sous la forme suivante :

(5) Ez^e =0.

6. En donnant à n les valeurs les plus simples, telles que n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, on trouve que, pour ces valeurs de n, l'équation (5) devient respectivement

et, en resolvant ces équations, on obtient les systèmes suivants des valeurs de a;^ , rCg , . . . , a;^ :

rri = — 0,577350, a;2 = -H 0,577350;

a;i = — 0,707107, X, = 0, rr3 = -H0,707107;

2^1 = — 0,794654, 372 = — 0,187592, a:-3=: -H 0,187592, iC4 = -H 0,794654;

iCj = — 0,832497, ir2 = — 0,374541, x,= 0, rC4 = -t- 0,374541, iC5 = -+- 0,832497;

0;^ = — 0,866247, a;2 = — 0,422519, cc^= —0,266635, ir4 = -+- 0,266635, a;, = -H 0,422519, iCg== -H 0,866247;

Avec ces valeurs de a;^, i^g, . . . , oc^, la formule

donne l'expression approximative de l'intégrale

qui, dans certains cas, est plus commode pour les applications que ne l'est celle de Gauss; car, dans cette dernière formule, les valeurs cp (a;j),cp(iC2)5---)?(^„) entrent munies de divers coefficients. Comme notre expression de l'intégrale/ c^{x)dx n'est exacte que jusqu'aux termes en ç^""*"*^ (0), 9^""*"'^(0),...,

on devt^a y prendre, en général, plus de termes que dans la formule de Gauss. Néanmoins, dans le cas où les valeurs de 9 (x^), cp {x^\ . . . , cp(a;J,

d'après lesquelles on détermine l'intégrale (" 9 (x) dx, sont affectées d'erreurs

inconnues, notablement plus grandes que celle qui résulte des termes rejetés,

la formule approchée que nous venons de trouver doit être préférée à celle de Gauss même par rapport au degré de précision, vu que, dans cette formule approchée, la somme des carrés de coefficients, à cause de leur égalité, a la plus petite valeur possible.

7. Revenant au cas résolu par M. Hermite, nous remarquons que l'intégrale

pour ic = cos 0 se réduit à

f -^M=-dx

J 9(cose)rf6;

donc la formule donnée par lui peut avoir des applications très-utiles dans la recherche des valeurs approchées du premier terme du développement de 9 (cos 0) en série

Aq -+- Ay cos 6 -f- Jg cos 26 -4- . . .

Pour trouver une expression pareille du coefficient A^, on devrait faire, dans les formules du n° 3,

Or, pour cette valeur de F (x), l'intégrale J F{x)dx, qui entre dans les formules du n*' 3, se réduit à zéro, ce qui fait voir clairement que, pour

le cas en question, ces formules ne sont pas applicables. Nous allons montrer le parti qu'on peut cependant tirer, dans ce cas, de la méthode exposée plus haut.

En remplaçant, dans l'intégrale

f F{x) (^ (x) dx,

la fonction 9(2;) par son développement en série

le terme du résultat qui contient 9(0) s'annule toutes les fois que l'iu-

+1 tégrale J F{x)dx est égale à zéro; mais il n'en est plus ainsi, évidemment,

de son expression sous la forme

à moins qu'on ne prenne, dans cette formule, la moitié des termes avec le signe — . Nous allons donc chercher à exprimer la valeur approchée de l'intégrale

fV(^) = 0,

dans la supposition de

[ F{x)(^{x) dx par la formule

k [9 {x,) -y- 9 W -4- ... -f- 9 {xj — 9 (a;^^J - 9 K^,)— . . . — ? (a^2 J] , où il y a m termes avec le signe -i- et m termes avec le signe — , 8. Comme, dans la formule

il y a 2w-h1 valeurs, savoir: k, x„ x^, . . . ,x^, x^^,, x^^^, • • • , a^sm

dont on peut disposer, et que par sa composition, le terme en 9(0) s'an-

+1 nule, on peut identifier cette formule avec l'intégrale J F{x)(p{x)dx

jusqu'aux termes qui contiennent les 2m-\-\ premières dérivées de ç(a;), ce qui nous donne l'équation

J F{x) 9(a;)rf:z;=fe[9(ir,)-»-9(a2)...-4-o(a;J— 9(^^^^)-9(a;^^3)...— 9(:^,^)J * Z;^ cp^"»-^^ (0) -+- A;^ 9^'"-*-^ (0) -H . . .

En suivant la même marche que dans les n*" 2, 3, nous trouverons, d'après cette équatiou, les valeurs des quantités k, x^^ x^, . . . , x^^. En effet, posant

l'équation précédente se réduit à celle-ci:

f^ffo; = /t(^-H-^-...-H^ 1 '—... L\

Jj — x V—^i s—x^ z—Xm ^ — «^m-t-i 3—Xm-i-2 '^ — ^zm/