m-f-l)fct J- 1.2.3... (2m -t- 2) ^2 r

k —A' ir = ^2»---»

on trouve

Les fonctions f^iz), f^{z) étant de même degré, la fraction '^^ est du degré zéro; de plus, l'expression

— il z-im-2 x^ 2-2m-3 ,

séquent, l'équation trouvée nous montre que la fraction -^ ne diffère de l'expression

~TF{x)\og{z-x)dx

que par les termes qui renferment les puissances de z moins élevées que 3—irn—i et, par suite, moins élevées que le degré de la fraction .^, ,.^: car la fonction /i(^), comme nous l'avons vu, n'est que du degré m. Mais, on le sait, la fraction t^ ne peut donner une valeur approchée d'une fonction quelconque exacte jusqu'à l'ordre de TjYTim» ^ moins qu'elle ne soit Tune des fractions convergentes qu'on trouve par le développement en fraction continue, et que le quotient complet, correspondant à cette fraction convergente, ne soit dépourvu du terme en — . En partant de là, il est aisé de trouver et la constante Tz et les fonctions f^ {z), f^ (z), qui déterminent les valeurs de x„ x,, . . . , x^, a;,„^^, a;,„^^,

loppera l'expression

— - (■ F(x) log (z — x) dx k -1

en fraction continue, en s'arrêtant au quotient qui correspond à une fraction convergente dont les termes sont du degré m. Égalant à zéro le coefficient de — dans l'expression complète de ce quotient, on aura l'équation qui déterminera la valeur de la constante k, et, en mettant la valeur de k ainsi déterminée dans deux termes de la fraction convergente, on aura les fonctions cherchées f^ (z), f^ (z).

9. Pour montrer, sur un exemple, l'usage de ce que nous venons d'exposer, supposons qu'il s'agisse de trouver l'expression approximative de l'intégrale

I a;cp {x) dx.

Pour cela ou posera, dans les formules du numéro précédent,

Pour cette valeur de F{x), on obtient

I F{x)\og{z — x)dx = ^ x\og{:2 — x)dx = ^-^\og^^ — e, —1 —1

— j F{x) logis -x)dx -2F~ ^"^ r=n; — y

Eu développant la dernière expression en fraction continue, on trouve que le quotient complet, correspondant à une fraction convergente dont les termes sont du premier degré, est égal à

3fo-Hl-(|A;-A)l-H...,

et que cette fraction est égale à

3kz — l

Skz -♦- 1 '

d'où nous concluons que, dans l'expression approximative de l'intégrale

f X(p (x) dx par la formule

on doit prendre, pour A;, une racine de l'équation

^ k — ^ — 0 et, pour a;^, iCg, respectivement, les racines des équations ^kz—\ =0, Uz-^\=^0.

On trouve ainsi deux valeurs de k\

et deux systèmes des valeurs de x^^ x^\

mais de ces doubles valeurs de k^ x^^ x^, il ne résulte évidemment qu'une seule valeur de l'expression cherchée, savoir:

>/SKyî)-t(-]/î)].

Pour trouver une expression approximative à quatre termes de l'intégrale

f a:cp [x) dx

on prendra le quotient de la même fraction continue qui correspond à la fraction convergente dont les termes sont du second degré. Comme la valeur complète de ce quotient s'exprime par la série

et qu'il correspond à la fraction convergente

270 F gg — 90 fcg -t- 10 — 64 k^ 270 Z;2 ^2 -I- 90 ft« -H 10 — 54 F '

on trouvera les valeurs de la constante k et de x^, x^, x^, x^ par les équations

5832 ^4—945 fe^n- 35 = 0,

270 A;2 ^2 __9ofc^H 10 — 54/^2 = 0,

270 /1;2 ^2 -t- 90 ^^ -4- 10 — 54 fc2 = 0.

En les résolvant, on parvient à ces deux expressions approximatives de l'intégrale en question

0,23937 [9(0,89224)-^-cp (0,50030) -cp(-0,50030)-9(-0,89224)].

et

0,32363 [cp(0,84905)-»-cp(0,18093)- 9 (-0,18093)-(p(-0,84905)]. tassant à la recherche des expressions ap

J cos 69 (cos 6) d^ ou I y=^ 9 (^) ^^'

10. En passant à la recherche des expressions approximatives de l'intégrale

Dous poserons dans nos formules

Vl — x^

Pour cette valeur de F{x) on obtient

f F{x)\og{2 — x)dx=^^ ,— ,, log {z — x)dx=^—Tz(z — Vz^ — l),

-; F {x)\og {z-x)dx -^(^>/^2 l-i)

Développant la dernière expression en fraction continue, on trouve les fractions convergentes

4JCZ — TZ 48Z:2^2 12A;tc^-hti2— 12Â;2

4fr2-+-TC' 48fc2^2,12ftK^|-TC2— 12fc2' • '

qui correspondent aux quotients complets

,, 12Jt2 — tc2 1 ,^, 720A;-' — 60ll2fc2H Ti4 1

^hz-x-r. ^^^__-t-..., \2kz 20(r2P-Tr2)fc T-^---^

d'oiî, d'après le n*' 8: P, pour la détermination de U^ x^^ x^ dans l'expression approximative de l'intégrale

TC

f cos 0 (p (cos G) c?G

par la formule

h [o {x^) — cp {x^'\ résultent ces équations

et 2^, pour la détermination d'une expression semblable à quatre termes, les équations

720/c*— 60 7t:2â;2^-tc* = 0,

48^2 ^2 \2'kKZ-i-%—\2¥ = 0, 4 8 ^2 ^2 ^ 1 2 â;tc0 H- Ti2 — 1 2 ^2 =r 0 . Les expressions approximatives de l'intégrale

f cos 6 9 (cos G) c?G,

que l'on obtient d'après ces équations, se réduisent à celles qui suivent:

f cos 8 9 (cos 0) db = -L J9 (cos %) — 9 [cos (tu -+- 60)]},

f COS 6 9 (cos 6) d^ =

0,1 5 176 5 u {9 (cos 6^) -+- 9 (cos %) — 9 [cos(tc -♦- 6j)] — 9 [cos(ic h- ô^)]},

où

On trouverait des expressions plus approchées de l'intégrale

TU

f COS G 9 (cos 6) (^8,

en prenant plus de termes dans la formule

Je [9 (x,) -i- 9 (x,) -f- ... H- 9 (xj — 9 (^^^J - 9 (x^^;} — ... — 9 {xJl

Nous n'insisterons pas sur la recherche de ces formules; nous remarquerons seulement que, en remplaçant dans toutes ces formules les termes de la forme 9 (cos 8^) par

|[,(cos^)-.î(cos^^^)^...^<p(cos^-M^)],

où l est un nombre entier, on obtient les expressions approximatives de l'intégrale

[ cos /e 9 (cos 8) (^6,

Ainsi, en partant des formules précédentes, qui donnent les valeurs approchées, à deux et quatre termes, de l'intégrale

f cos 8 9 (cos 8) d^,

on passerait aux expressions approximatives à 21 et 41 termes de l'intégrale

J cos ^8 9(cos 6)^8,

*) Hormis cette expression, il existe une autre aussi aux quatres termes, où fc = 0,245562 TC, 61 = 240, 62 = 840.

expressions qui peuvent être présentées ainsi:

VÏ2

oj5r766. -£ ( ir [^ (cos ^') M- <!> (cos !^)],où les signes de sommations s'étendent h 1^ = 0, 1, 2, . . . , 2/ — 1.

iO.

SUR

LES VALEURS LîMïTES DES ÏNTÉGRÂLES.

(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, p. 157-160.)

Lu au Congrès de l'Association française pour l'avancement des Sciences, à Lyon. Séance du 27 août 1873.

Sur les valeurs limites des Intégrales.

Dans un Mémoire très-intéressant, sous plus d'un rapport, que M. Bienaymé a lu à l'Académie des Sciences, en 1833, et que l'on trouve imprimé dans les Comptes rendus^ et reproduit dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville (2-e série, t. XII, 1867), sous le titre: Considérations à V appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés, l'illustre savant donne une méthode qui mérite une attention toute particulière.

Cette méthode consiste dans la détermination de la valeur limite de l'intégrale

p« f{x) dx

d'après les valeurs des intégrales

p-A rA r»A

f(x) dx, X f\x) dx, x^ f{x) dx,. . . .

où ^ > a et f{x) une fonction inconnue, assujettie seulement à la condition de garder le signe h- entre les limites d'intégration. La démonstration simple et rigoureuse de la loi de Bernoulli, que l'on trouve dans ma Note sous le titre: Des valeurs moyennes*), n'est qu'un des résultats que l'on tire aisément de la méthode de M. Bienaymé, et d'après laquelle il est parvenu luimême à démontrer une proposition sur les probabilités, d'où la loi de Bernoulli découle directement.

En cherchant à tirer tout le parti possible sur les valeurs limites de l'intégrale

f{x) dx

des valeurs des intégrales

f{x) dx, X f\x) dx, x^ f{x) dx,...., hc"' f{x) dx,

OÙ l'on a

et où f{x) reste positive, je suis parvenu à reconnaître que ces recherches conduisent à des théorèmes d'un nouveau genre, concernant le développement de l'expression

en fraction continue, qui joue un si grand rôle dans la théorie des séries. Voici, par exemple, un de ces théorèmes:

Si ^ est une des fractions convergentes de

fm. dx,

que Von trouve en développant cette expression en fraction continue

ai « + Pi --

et que

soient les racines de Véquation

rangées suivant leur grandeur: toutes les fois que la fonction f{x) reste positive entre les limites x = A, x = B, la valeur de Vintégrale

f[x) dx surpasse la somme

?(^f-n) , .9(gf-4-2) • ■ 9(gn-2) , 9(g«-i)

et reste au-dessous de celle-ci:

fin) <P(g/-t-i) 9(gn— i) <P(^n)

Comme exemple des problèmes qu'on parvient à résoudre par cette méthode, je citerai celui-ci:

Étant donnés la longueur, le poids, le lieu du centre de gravité et le moment d'inertie d'une droite matérielle de densité inconnue et variable d'un point à l'autre, trouver les limites les plus proches du poids d'un tronçon de cette droite.

En supposant qu'il s'agisse d'évaluer le poids d'un tronçon de la ligne compté d'un de ses bouts, dont la distance du centre de gravité est égale à d, et en désignant par /, p la longueur et le poids de la ligne entière, par k son moment d'inertie autour de l'axe passant par son centre de gravité et perpendiculaire à celle, par x, z la longueur et le poids du tronçon en question, on parvient à cette solution:

Tant que x est au-dessous de

le poids z reste compris entre

dans le cas où x surpasse

ce poids reste entre les limites

P enfin, si x reste compris entre

kp

d— xj'p-i-k^

^ et " • ^

la valeur de ce poids est comprise entre les quantités

Ix ^^ l{l-x)