SUR LES FONCTIONS QUI DIFFÉRENT LE MOINS POSSIBLE DE ZÉRO

(XRADUXT PAK K. N. KKANXKOr.)

(Liouville. Journal des mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, p. 319-346.)

(9 d>uHÂtiijix'& ^ uauMcurôd y&AOUJ^1o^UiUCCCJl Ofniè uyASi.

(JIpHjioaceHie Kt XXIItomj SauHCOKt HMnepaïopcKoS AKa;neMiH HayR-B, JVà 1, 1873 r., cTp. 1—32,)

(HHTano B1. saci^aHiH <i>H3HKO-MaTeMaTHHecKaro OTft-fejieHia 28 HOflôpa 1872 r.)

Sur les fonctions qui diflèrent le moins possible de zéro.

1. J'ai montré, dans le Mémoire Sur les fonctions semblables à celles deLegendre*), comment le procédé que ce géomètre a employé **) pour établir la propriété fondamentale des fonctions connues sous son nom pouvait être étendue à d'autres fonctions, plus compliquées, qu'on obtient en développant l'expression

(l H- g -^- VT^ 2sx -t- s^T il—s-i-Vl—2sx-i- s'^)^ Vl — 2sx-i-8^

en une série de la forme

Jacobi, dans son Mémoire intitulé: Untersuchungen ûber die Biffer entialgleichung der hypergeometrischen Eeihe ***), déduit la même propriété des fonctions

à l'aide d'une équation différentielle à laquelle on satisfait au moyen de séries hypergéométriques.

Je me propose ici d'appliquer ces fonctions à une recherche qui montrera plus clairement encore leur rapport intime aux fonctions de Legendre.

Cette application consiste à déterminer les polynômes de la forme

qui, sans cesser de croître ou de décroître constamment entre des limites données, diffèrent aussi peu que possible de zéro. Les polynômes de cette

*) T. II, p. 61-68.

**) Exercices du Calcul intégral, t. II, p. 250. **) Jacobi, Mathematische Werke. Band. III.

espèce, comme nous le verrons, s'expriment à l'aide des fonctions de Legendre uniquement dans le cas où n, le degré du polynôme, est un nombre impair, et le polynôme lui-même est une fonction croissante. Dans tous les autres cas, la détermination de ces polynômes exige l'emploi d'autres fonctions que nous venons de désigner par Tq, T^, T^,. . . et que l'on obtient en développant en série l'expression

(l ^ g -4- VTI^sx -+- s^)^ (i — s-i-Vl — 2sx -*- s^Y"

pour des valeurs de X et [ji différentes de zéro. Les polynômes déterminés de cette façon trouvent une application utile dans les recherches de l'Analyse pure, comme dans les questions de Mécanique pratique, ainsi que nous l'avons montré dans notre Communication du 22 août 1871, faite à Kiev lors de la troisième réunion des naturalistes russes, de même que dans notre article sur le Bégulateur centrifuge^ imprimé à la suite du compte rendu de de l'École technique de Moscou pour l'année 1871.

2. Pour simplifier les formules, nous supposerons que les limites des valeurs de la variable x sont réduites à — 1 et -+- 1 (ce qu'il est toujours facile de réaliser).

En désignant par F {x) le polynôme

ic" H- A^ is"~^ H- A^ x^^^ -I- .... -t- A^^ ^ -»- A

nous ferons remarquer que l'une des conditions de notre problème impose à la fonction F {x) d'être constamment croissante, ou constamment décroissante, depuis X =^ — 1 jusqu'à x = -\- \, de sorte que sa dérivée première

doit conserver toujours le même signe entre ces limites; par conséquent, les valeurs primitives

qui correspondent aux valeurs

représenteront les limites entre lesquelles la fonction F {x) variera dans le passage dea; = — làa;= -i-l. Pour que le polynôme F {x) puisse différer aussi peu que possible de zéro, en passant de F { — 1) à jP(-h 1), il faut que le plus grand des nombres

soit, en valeur numérique, aussi petit que possible et qu'il ne puisse devenir moindre par aucune variation du polynôme F (ic), compatible avec les conditions de la question, qui déterminent le degré et la forme du polynôme

ainsi que le signe de sa dérivée F' {x).

Il est facile de voir que le polynôme cherché doit être tel que l'on ait l'égalité

En effet, si cette égalité n'a pas lieu, nous n'aurons qu'à retrancher de

F{x) la quantité constante

ce qui, évidemment, ne change ni la forme du polynôme F{x)^ ni la valeur de sa dérivée, et nous obtcnous, au lieu des limites anciennes,

F{—\), Fi-^1)

deux nouvelles valeurs que voici:

En comparant les carrés de ces quantités avec la moyenne arithmétique des carrés de

F{~ 1), F(H- 1), nous verrons que

/F{-t.l)-F{-l)Y^fF(-l)-F(-^l)Y^FH-^l)^FH-l) /F(-4-l)-t-F(-W

D'où il résulte que le carré des nouvelles limites

F(^])- Fi-\) F(-l)-F(-i-l) 2 ' 2

sera inférieur au plus grand des carrés

et que, par suite, les nouvelles limites seront inférieures, en valeur numéque, à la plus grande des anciennes limites. Ainsi nous sommes conduits à admettre que, dans la question qui nous occupe, tous les polynômes cherchés doivent satisfaire à l'égalité

FK1) = — F(-l).

Cette égalité nous donne donc les moyens de trouver la valeur des polynômes que nous examinons, à l'aide de la valeur de leur dérivée. En effet, représentons le polynôme F{x) par l'intégrale

F(x)=\F'{x)dx-^G

et mettons cette expression dans l'égalité trouvée ci-dessus, nous obtenons, pour déterminer la constante (7, l'équation que voici:

\F'{x)dx-i-G= — G.

D'où l'on tire

G=—^ÏF'(x)dx,

En mettant cette valeur de G dans l'expression de F{x), on a

F{x)=\F'{x)dx-^ÏF'{

(1) F{x) = F' (x) dx — ^lF' {x)dx.

En déterminant les valeurs limites du polynôme F{x) correspondant à a; = liz 1 , nous trouverons qu'elles sont égales à l'intégrale

~\F'{x)dL

prise avec le signe -+- ou avec le signe — . Il s'ensuit, de plus, que la plus grande valeur des polynômes que nous avons en vue sera égale à la valeur numérique de l'intégrale

\\F'{x)dx.