Passant à la détermination de la dérivée
F'ix),
nous ferons observer que, comme nous l'avons dit, c'est une propriété des polynômes que nous considérons d'avoir une dérivée première qui ne change pas de signe entre x= — 1 eta; = -f-l; donc non-seulement toutes les racines de l'équation
comprises entre les limites
doivent être multiples, mais le degré de leur multiplicité doit s'exprimer en nombres pairs.
Or, désignons par
toutes les racines de l'équation
supérieures à — 1 et inférieures à h- 1, par
les degrés de multiplicité de ces racines, et supposons, comme cela est permis, que l'équation
ait >. racines égales à -*- 1, et\ racines égales à — 1 ; nous allons prouver que la somme
qui représente le nombre des racines de l'équation
F\x) = 0, ne dépassant pas les limites
x^ — 1, ir=-t-l,
ne saurait être inférieure à w — 1, ou au degré de cette équation.
Pour nous en convaincre, admettons le contraire, c'est-à-dire posons
et prouvons que dans cette hypothèse il est toujours possible de faire varier le polynôme F{x) sans déranger ni sa forme, ni le signe de sa dérivée F'{x) entre les limites x = — letic = -«-l, mais de manière à diminuer la valeur de l'intégrale
F'(x)dx,
qui détermine la limite de l'écart entre le polynôme cherché et zéro.
Pour le faire voir, nous observerons que, d'après ce que nous venons de dire, l'équation
F'ix) = 0, et la suivante
auront, entre les valeurs limites x = — 1 et a; = h- 1, les mêmes racines et avec les mêmes degrés de multiplicité, et, par suite, le rapport
ne changera pas de signe entre x = — ^letic = -i-let sera compris entre deux quantités distinctes de zéro. Désignons par L^ la plus petite de ces quantités en valeur numérique, et remarquons que la différence
F'jx)
pour toutes les valeurs de x inférieures à h- 1 et supérieures à — 1 , aura le même signe que le rapport
et qu'elle lui sera inférieure par sa valeur numérique. La même chose, évidemment, aura lieu pour les expressions
F' {x) — L,{x-lf{x-^ 1)^0 {X — a,)^^' {X - a,f ' ....{x — olJ'" , F\x\
qu'on déduit des précédentes en les multipliant par
d'où il est clair qu'en soustrayant de F'{x) l'expression
Lo(x—lf {x-t-l)'o (a; — a,f' (x — oc,f^' (^ — 0''"*»
nous ne cessons pas de satisfaire à la condition de conserver le même signe à F'{x} entre les limites x = ± 1; mais nous diminuons par là la valeur absolue de l'intégrale
F\x)dx,
qui détermine la limite de l'écart entre le polynôme cherché et zéro. Quant à la forme du polynôme
après avoir fait subir à F\x) la transformation ci-dessus indiquée, elle restera la même, car, d'après l'inégalité (2), l'expression
ne contiendra pas de puissances de x, supérieures tout au plus k n — 2.
Nous voyons ainsi qu'en admettant la possibilité de l'inégalité (2) on peut rendre le polynôme F{x) plus approché de zéro, en lui conservant, conformément aux conditions de la question, la forme
rc" -t- A.x''-' -*- A.x'*-^ -+-.... -f- A^^x -f- A^
et sans faire varier le signe de sa dérivée première entre les limites x= — 1 et a; = H- 1 .
Or cette conclusion est absurde, puisque, par hypothèse, le polynôme en question est celui qui diffère le moins possible de zéro, entre les limites X = — leta;=-i-l.
En observant que cette inégalité, dont le côté gauche est le nombre des racines de l'équation
comprises entre les limites x = — 1 et a; = -*- 1 , et la partie droite le degré n — 1 de cette équation, ne peut avoir lieu, non plus, avec un signe d'inégalité contraire au premier, nous sommes conduits à admettre l'égalité
d'où il résulte que toutes les w — 1 racines de l'équation
lui seront communes avec l'équation
ix - \f {X -t- \p {X - a,r^ (x - a/^ . . . .{x~ ocj^n, = Q,
et qu'ainsi Ton a
F'(x) = Gix-lf{x-^\y^{x — a,r'ix — ^,rK . . .(a; — aj^-.,
où G est un facteur constant.
Pour trouver la valeur de ce facteur, nous observons que, le polynôme cherché étant de la forme
sa dérivée sera
F\x) = nx""' -H (w — 1) J, x""-' -H (w — 2) A, x""-' -*-...-+- A^^ ,
ce qui^ étant comparé à l'expression ci-dessus de F\x), nous donne
Par conséquent, F'{x) peut être représentée par la formule que voici:
F' (x) = n{x—l f {x-^lfHx — o^X' (^ — ^,f' ... - (^ — y-X"* .
Si maintenant on désigne par
es quotients, et par
? » Po
les restes qu'on obtient en divisant les exposants
X, Ao par 2, cette égalité pourra être mise sous la forme
F\x)=n(x—iy{x-^lf^^{x~iy{x-v-\y'>{x — y.,Y^{x—oL.^\...{x—OLj"^^^
ou bien
(3) F\x) = n{x—lf{x-+- 1)P» . U^
U étant un polynôme donné par la formule
{x — 1 )' (a; -f- 1 y^ {x — a,)'' {x — ol^)'- {x — a.J'- = V.
4. Les nombres p et po de la formule (3) étant les restes de la division de X et Xo par 2, ils ne peuvent avoir que les valeurs
et il est très-aisé de voir, dans chaque cas particulier, d'après la forme du nombre w, degré du polynôme cherché t {x)^ et d'après le signe de sa dérivée première F' {x)^ entre a; = — 1 eta; = -f-l, lequel de ces deux nombres doit être adopté pour p et po dans l'expression de F' {x) par la formule (3)
En effet, si w, degré du polynôme
est un nombre impair, sa dérivée F'{x) sera de degré pair, et dans ce cas l'égalité (3), où f/^ est aussi une fonction de degré pair, indique que le facteur
{x — ly {x -4- 1)^"
doit aussi être une fonction de degré pair; mais comme il n'est possible de satisfaire à cette condition, ni dans l'hypothèse de
P = 0 et po = l, ni dans celle de
p = 1 et Po = 0,
on est forcé d'admettre que, dans ce cas, on aura ou
P = 0 et po = 0, ou bien
p = 1 et po = 1-
Pour décider lequel de ces deux systèmes de valeurs de p et po doit être adopté, nous observerons que le premier nous donne, d'après la formule (3), l'expression
F'{x) = nU\
et le second
F'ix) = n{x—l){x-t-l)U\
et qu'ainsi, la variable x demeurant comprise entre — 1 et -h 1, dans le premier cas, F'{x) aura une valeur positive, et que, dans le second cas, elle aura une valeur négative. De cette façon, il est clair que les valeurs
et
doivent être adoptées dans le cas, oii F(x) sera une fonction constamment croissante entre les limites x=^ — 1 et ^ = -♦- 1, et les valeurs
p = 1 et po = 1 ,
dans le cas^ oii F{x) sera une fonction constamment décroisante.
Passant à la considération du cas oii n est pair, nous observerons que, dans cette hypothèse, le degré de la dérivée première de F{x) sera impair, et, par suite, pour satisfaire à l'égalité (3), nous devons assigner à p et p^ les valeurs que voici: ou bien
P = 0, Po=l, ou vice versa
Or, comme pour ces valeurs de p et po la formule (3) devient respectivement
et que la première de ces deux expression reste constamment positive depuis a; = — 1 jusqu'à a;=:-i- 1, et la seconde constamment négative pour les mêmes valeurs de x, nous concluons que, dans le cas de n pair, on a
0 = 0 et Pq = 1,
si F{x) est un polynôme toujours croissant, depuis x = — 1 jusqu'à a; = -1-1, et
P=l et Po = 0,
quand F{x) décroîtra constamment entre les mêmes limites.
5. Pour déterminer le polynôme t/, qui figure dans l'expression ci-dessus de -F'' (a:), nous ferons remarquer que, d'après le n^ 3, ce polynôme est un produit de la forme
^x—l)^ix-^l)'^^ix-ocf^ix-a/^. . . .{x — ocj'n-
par conséquent, il a toujours la forme
et la valeur du degré l s'obtient à l'aide de l'égalité (3), qui donne, entre
les exposants, la relation
(4) w— 1 =p-f-po-*-2?,
D'un autre côté nous savons, par le n^ 3, que la limite de l'écart entre zéro et le polynôme cherché F{x)^ depuis a; = — 1 jusqu'à ic = -*- 1, est égale à la valeur numérique de l'intégrale
mais cette intégrale (3) se réduit à -*-i
tl^Ul-y-xY'^il—XfV^dx,
si l'on y met pour F'{x) son expression (3), et la valeur numérique de cette dernière intégrale est évidemment
~\{i-^xT{\—xyw
dx.
Donc, en désignant par L la limite de l'écart entre zéro et le polynôme cherché F{x), nous aurons
(5) L = ^\{i-i-xy'>{i-xyu'dx.
Ainsi, pour diminuer, autant que possible, la quantité L, sans changer toutefois les conditions de la question, nous aurons à déterminer le polynôme U de façon à rendre minimum l'intégrale
{i~i-xy'>ii—xyu^dx.
Il est facile d'y parvenir à l'aide des fonctions
-'Oî -^1» -^2' • • • • -^p . . . . ,
qu'on obtient en développant l'expression
(l , s -+ Vi — 2sx -^ g"2)^ (l—s-t-Vl-2sx-^ s^)^
Vl — 2sx -+- «2
en une série de la forme
En effet, on sait que ces fonctions sont de degrés 0, 1, 2,..., Z,..., et qu'en général pour tout m distinct de m^ elles satisfont à l'équation
-^-— dx = 0;
(l-t-a;)^(l — ic)!^
de plus, il résulte, de ce que nous avons établi dans notre Mémoire Sur les fractions continues *), que l'intégrale
dx
Z étant de la forme
acquiert une valeur minimum lorsque le polynôme Z ne diffère de la fonction T^ que par un facteur constant. Nous en concluons donc que le polynôme
U=x^-^B,x^-'-i-B^x^-'-^ -i-B^^x-^Bf,
qui correspond à la valeur minimum de l'intégrale
\{i-i-xy'{i—xyu'dx,
sera donné par la formule en faisant
-Po» K- = — p.
*) T, I, pag. 203-230.
dans l'expression de la fonction T^, qui nous est fournie par le développement en série
To -*- T,s -*- i;s2 -H H- T^s^ -^
de l'expression
(l -t- g -f- VT— 2sx -H s2)^ (l — g -f- y 1 — 2sa; H- s^)^
Vi - 2SXH-S2
Désignant par le coefficient de x^ dans la fonction
et remarquant que cette puissance de x doit figurer dans le polynôme U avec un coefficient égal à l'unité, nous en concluons que l'expression que nous venons de trouver pour U entraîne l'égalité
d'oiî l'on tire
et, par suite, le polynôme U est complètement déterminé par l'équation (6) U^^T,,
OÙ, comme nous venons de le dire, la fonction T^ s'obtient en développant l'expression
(l -H s -♦- Vl — 2sx -4- s2)-Po (i — a -^- yi — 2sa; -^ s2)~P
yi — 2sa;-Hs2
Or, comme ce développement peut être représenté par l'égalité que voici:
eo
il-t-s-t-Vl~2sx-*- s^yp" (l — s -*- Vl ~ 2sx -*- 5=^)~P __^ ji m Vl — 2SX-HS2 0 "*
en désignant par les coefficients de
dans la fonction T^ pour une valeur quelconque de m, nous aurons
(l -«- s -H yT^2sx -+- g'O'P" (l — g -H •/! — 2sx H- s"2)~P
V\ — 2sa;-t-s2
=2(-fi^»^'"-^«'».*'""'-*----)A
quelles que soient les valeurs de s et x. Donc, si l'on pose
et si l'on fait ensuite
l'égalité ci-dessus se réduit à la formule
Cette formule nous montre que Z^ , coefficient de x^ dans la fonction T^, sera identique au coefficient de a! dans le développement en série de l'expression
(l -t- T/îrZ"2^)-p-po ■/l — 2a
Mais comme ou sait, par ce que nous avons dit dans le n° 4 sur les nombres po et p, la somme pn-po ne peut être que zéro, 1 ou 2; l'expression
(l -f- Vl — 2x)-P''-P
yi — 2a
pour ces valeurs, peut être développée en séries
J JL Jl ^i-s j^ ;-f-i 1.3. 5. ..(2; -4-1) /
par suite, le coefficient K^^ selon que l'on pose
P-+-Po = 2,
aura les trois valeurs que voici:
\ 1.3.5. ■..(2;-f-i) ;-Hi
6. D'après toutes les recherches précédentes, il sera aisé de trouver, dans chaque cas particulier, un polynôme F{x) de la forme
qui, tout en restant toujours croissant ou décroissant depuis x = — 1 jusqu'à a; = -I- 1, diffère le moins possible de zéro entre ces mêmes limites. Nous commencerons par déterminer les nombres p et po en observant que, d'après le n^ 4, on a, n étant impair.
ou bien
p = 0, po=0, p=l, po=l,
selon que le polynôme cherché croîtra ou décroîtra constamment entre les limites X = — \Qi X =-\- l,et que, dans le cas de n pair, ces mêmes nombres seront
P = 0, po=l,
ou bien
P^l, Po=0,
selon que le polynôme cherché sera constamment croissant ou constamment décroissant pour toutes les valeurs de x depuis x = — 1 jusqu'à a; := -+- 1. Connaissant p et p^, nous trouvons, à l'aide de l'équation (4),
n — p — Po — 1
puis nous cherchons la valeur de la fonction T^ coefficient de s' dans le développement de l'expression
(l H- s -^ y 1 — 2s3; -4- s2)-Po {i—8-\-V\ — 2sx-^ s^)~^
selon les puissances ascendantes de s, et la valeur du coefficient .fiT^ par la
formule (7). Les valeurs de T^ et de K^ étant connues, à l'aide des équations (3) et (6), dont on élimine la fonction U, nous déterminons F' {x), dérivée du polynôme cherché,
F'{x) = -^{x-^\T{x—iy.T^'-
mettant cette valeur à la place de F'{x) dans l'équation (1), nous obtenons enfin, pour l'expression du polynôme cherché, la formule que voici:
Kî^
(x—iy{x-^ If jT/ dx—\\{x— \y {x -H l)p» Tl
dx
Nous trouverons ainsi le polynôme cherché, qui, jouissant de la propriété de croître ou de décroître constamment depuis x = — 1 jusqu'à a; = -f- 1, différera de zéro moins que tous les autres polynômes de la même forme.
Maintenant, pour calculer la valeur de Z, limite des écarts de ce polynôme, nous observerons que la formule (5), en y mettant l'expression de XJ tirée de l'équation (6), nous donne
l-i-a;f (1 —xy Tfdx,
ou bien, en mettant pour n sa valeur tirée de l'équation (4), c'est-à-dire la somme 2Z -*- p -*- p^ -+- 1,
Nous observerons ensuite que, d'après ce que nous avons établi, dans notre Mémoire Sur les fonctions semblables aux fonctions de Legendre *), sur la réduction de l'intégrale
*) T. II, p. 61-68.
à l'intégrale
J x>^ {l — x)V- {l ~ stx^) '
la valeur de l'intégrale
qui entre dans l'expression de X, sera le coefficient de (st)' dans le développement de la formule intégrale
-^-Ui-sm-r^^
x-P" (1 — a:)~P (1 — stx^)
suivant les puissances ascendantes de st. Or, comme cette intégrale devient ir-i^loglr:ip l^iii^n pour p = l, p, = l,
2{st)
et
2^^ log (1 — st), pour p = 0 et p^ = 1
de même que pour p = 1 et po = 0, et que ces trois expressions se développent en trois séries que voici:
les valeurs de l'intégrale
{l-i-xy'>{l —xfTi^dx
seront pour les trois systèmes de valeurs de p et p^ que nous venons de mentionner,
2î-i-l' 2(Z-»-2)(2Z-*-3)' 2(i-Hl)*
En mettant ces valeurs dans l'expression de i à la place de l'intégrale
qui y figure, et en remplaçant K^ par ses valeurs tirées des équations (7), nous obtenons pour la valeur de L les trois expressions que voici:
^1.3.5....(2?-t-l)/ 'Z-Hl'
Vl.3.5....(2i-f
correspondantes aux trois hypothèses sur les valeurs de p et de po p = 0, po = 0, p=l, po=l, p = 0, Po=l, ou bien p=^l, Po = 0;
mais, d'après (8), ces trois systèmes d'hypothèses sur les valeurs de p et Po nous donnent
et par suite les expressions ci-dessus de L se réduisent à
■^ ~ \1.3.5....(n— 2)/ n — 1' ^— 2Vi.8.5....(n-l)y-
Les deux premières de ces expressions de L obtenues dans les hypothèses
p = 0, po = 0,
p = l, Po=l,
et se rapportant toutes deux, d'après le n" 6, au cas de n impair, peuvent être remplacées par une seule formule
InH-l ■1)/ n±l'
qui se réduit à la première ou à la seconde, selon que dans w =t 1 on prend le signe -i- ou le signe — . Or, comme la première des trois expressions ci-dessus de L correspond à l'hypothèse
p = 0, po=0,
c'est-à-dire (d'après le n° 5) au cas, où le polynôme cherché ne cesse de croître entre les limites de a; = — 1 et a; = h- 1 , et que la seconde de ces expressions a été obtenue dans l'hypothèse de
P = l, po=l,
c'est-à-dire en admettant que le polynôme cherché décroit constamment entre les limites dea;= — 1 eta; = -f-l, nous concluons que l'on doit garder, dans la formule
le signe -+- ou le signe — , selon que le polynôme cherché ne cesse de croître ou de décroître entre les limites a; = — letaj = -+-l, bien entendu dans le cas où w, le degré de ce polynôme, est un nombre impair.
Quant à la détermination de L dans les cas de n pair, la valeur est donnée par la troisième expression de i, à savoir:
car elle a été obtenue en faisant
p=:0, Po=l
OU bien
p = l, po = 0.
