Les polynômes de la forme
déterminés conformément à ce qui vient d'être dit, différeront moins de zéro, entre les limites x= — 1 etrr = H-l, que tous les polynômes de la même espèce, et qui seront, comme eux, constamment croissants ou constamment décroissants entre les limites indiquées de la variable x. En d'autres termes, l'écart entre zéro et tout polynôme satisfaisant aux mêmes conditions ne saurait être inférieur à L, limite des écarts entre zéro et la valeur des polynômes que nous examinons. Les valeurs de L que nous venons de trouver nous permettent d'énoncer le théorème suivant:
Théorème.
Si un polynôme de la forme
ne cesse de croître ou de décroître depuis x =^ — 1 jusqu'à x = -\~ \ sa valeur numérique ne saurait être, dans ces limites, inférieure à
ou bien à
, si n est un nombre pair,
i.3.5....in-2)/l^v '' '' est impair.
Bans la dernière formule, il faut prendre dans Vexpression n zïz \ le signe -4- ou le signe — , selon que le polynôme cherché croît ou décroît depuis x = — 1 jusqiCà a; = H- L
Ce théorème nous permettra d'en déduire un autre plus simple, en remplaçant les valeurs exactes de L par des valeurs approchées, mais inférieures aux premières. En effet, ces valeurs approchées s'obtiennent aisément à l'aide de la formule de Wallis
~2 T * ¥ ■ y y ■ ' * ' 2m — 1 ' 2m -H 1 * 2m h- 1 * 2j?TT3 ' ' * *
Notamment, si l'on fait
(2m-4-ip (2m -4-3)2
et
l'expression de ^ devient
et
jJT^ ^ 2 £ £ 2m 2m y;
d'où l'on tire
/1.2.3 my __2nvK__
et
/1.2.3 >ny (2m-t-l)TC .
\1.3.5 (2m— 1)/ 2-^m-^iY^
mais comme les valeurs trouvées ci-dessus pour X et F peuvent être mises sous les formes
il est évident que
Donc en supprimant, dans les équations précédentes, les termes de X et Y", nous obtenons les inégalités
Vl.3.5....(2m — 1)/ ^ 22'nH-l'
et
/1.2.3 ^^ ^ (2m -t- 1) TC
Ainsi la valeur de
/I.2.3... my
sera comprise entre deux produits qu'on obtient en multipliant
par 2m et 2m-f-l; donc cette valeur sera égale à gîj^u multipliée par une certaine valeur moyenne entre 2 m et 2 m -h 1; mais, comme cette moyenne peut être représentée par 2 m-*- 0, où l'on a ^ > 0 et < 1 , nous pouvons remplacer les dernières inégalités par l'équation
/1.2.3 ot\2 (2m -4- 6) TT
En faisant dans cette formule
pour n impair, et
pour n pair, nous obtenons
et
