lY

Or, comme la valeur de 0 n'est limitée que par zéro et 1, et que la différence 1 — é? se trouve dans le même cas, cette différence pourra être remplacée dans la formule ci-dessus par 0, ce qui nous permettra de simplifier les formules où figure cette différence et d'écrire

Comparant les égalités que nous venons d'obtenir avec les expressions de Z du n*^ 6, nous voyons que ces dernières peuvent être remplacées par

En examinant ces valeurs de X, nous remarquons qu'on obtient la limite inférieure de L par la formule

en y faisant ^ := 1 et en prenant zb 1 avec le signe -t-, de façon que cette valeur limite devient

On voit ainsi que L surpassera toujours

et nous sommes amenés au théorème que voici:

Théorème.

La valeur numérique du polynôme

rc" -H ^, a;"-^ -4- . . . . -H ^„^ a; -+- ^„

;= — 1 jusqu^à x= -t- 1 doit surpasser ^^-^ tc, si ce polynôme ne cesse de croître ou de décroître entre ces limites de la variable x. Si nous faisons dans nos formules

et si nous remarquons que, dans ce cas, le polynôme étant multiplié par

se réduit à un polynôme de la forme

z -i- A Jîi -i- A z -f-.... et que les limites de la nouvelle variable z deviennent

z = a pour a; = — 1 et z^=h pour a; = -i- 1 , nous déduisons du théorème précédent le nouveau théorème que voici:

Théorème.

La valeur numérique du polynôme

depuis 3 = a jusqu'à z = b doit surpasser (w — 1) i—j^) tt, si ce ne cesse de croître ou de décroître entre ces limites.

Or, à l'aide de ce dernier théorème il nous sera aisé de conclure:

Théorème.

Si la valeur numérique de f (b) — /*(«), différence de la valeur de

pour z = a et e = b, ne surpasse pas la limite

la dérivée f {z) change de signe entre z = a et z = b.

En effet, si f (z) ne changeait pas de signe entre z = a et z = h, le polynôme

.i.(.)=rt.)-M-^,

ne cesserait d'être, entre ces limites, ou constamment croissant, ou constamment décroissant^ de façon que toutes ses valeurs, depuis z = a jusqu'à z = h, seraient comprises entre ses deux valeurs extrêmes, qui correspondent aux valeurs limites de z que nous venons d'indiquer, et qui se réduisent à

^{a) = — ^[fib)-f{a)),

On voit ainsi que, depuis z = a jusqu'à z = h, la valeur numérique de ^ (x) ne surpasserait pas celle de

c'est-à-dire ne saurait être supérieure, d'après les conditions du théorème énoncé ci-dessus, à

2in-l){^)\==in-l){^)\,

ce qui est impossible en vertu du théorème précédent. Faisons

F(ii) = (»»-+-!) (^"-1- B, «"■"' -H B^ n"-' ■+■.... )di,

La fonction F{z) se réduit, dans ce cas, au polynôme

où

et la dérivée première de F{z) est

On a donc

F {h) — Fia) = (m-^l) {{z'" h- B, z"^-' -+- B^ z"^-^ -^,,,.)dz,

Nous en concluons le théorème que voici:

Théorème.

L'équation

doit nécessairement avoir au moins une racine entre z = a et s ==h, si la valeur numérique de l'intégrale h

\[z'^-^B,z'^''-A-B,z'^-'-^r-.,..'\dz a ne dépasse pas la valeur de

l^TTi ^ [-T-) •

A l'aide du même théorème, il sera aisé d'établir un théorème nouveau concernant la série de fonctions

A4 r(4 r{z),..,.r-'\z), nz),

qui servent à déterminer les racines d'après la méthode de Fourier. Théorème.

Quelle que soit la valeur t, si Von prend dans V expression ^±41/ ^ ^ le radical avec un signe contraire à celui de la fraction -^^, le nombre des variations de signes dans la série

où

ne saurait rester le même, si l'on y met consécutivement pour z la valeur de t et celle de t =t 4 V^~^^%-..

Ils se présentent plusieurs cas différents dans la démonstration de ce théorème, suivant le signe des quantités f(t) et f {t}. Nous nous bornerons à considérer le cas où ces deux quantités auront le signe -+- ; mais le raisonnement que nous suivrons dans cette occasion s'appliquera facilement à tous les autres cas.

En supposant les deux valeurs f{t) et f' (t) positives, nous devrons prendre dans l'expression

tz

le radical avec le signe — , et nous aurons à démontrer que, dans le cas oii

le nombre de variations de signes de la série

ff2(f)

Pour le démontrer, nous observerons qu'il est évident que toutes les fois qu'entre les limites indiquées ci-dessus l'une des deux fonctions f{z) ou f (z), ou toutes les deux à la fois, s'annulent, le nombre des variations de signes dans la série

m, f(z), fi!,).... /■'"-" w, /-'"'w

doit varier; quant à l'iiypothèse qu'aucune de ces fonctions ne devient zéro entre les limites que nous considérons, il est aisé de démontrer, à l'aide du théorème précédent, qu'elle ne peut avoir lieu. En effet, si

et si en même temps les équations

rt.)=o, /"(^)=o,

n'avaient pas de racines entre ^ = ^, z = t — 4 'V ^,J\yi^% , les fonctions devraient conserver, entre ces limites, le signe -4-: donc on aurait

et la valeur numérique de

devrait être inférieure à la valeur numérique de f(t), ce qui, en vertu d'un théorème précédent, est impossible; car la différence

et

pour

d'après ce théorème, doit surpasser

2 («- i).(i^)"= 2{«- 1). [|ris|z;]"=^(,).

En appliquant ce dernier théorème au cas où l'équation

n'a pas de racines imaginaires, et observant que dans ce cas tout changement du nombre des variations de signes de la série

indique la présence d'une racine de l'équation

entre les valeurs de ^, nous sommes conduit au théorème que voici:

Théorème.

Quelle que soit la valeur t, on trouvera toujours au moins une racine de réquation

entre les limites t et tdz4: y ,, \^ , , en prenant devant ce dernier radi-

cal le signe contraire à celui de la fraction 777^» si toutefois V équation pro- ]}osée n'a pas de racines imaginaires.

SUR

L'ÏHTURPOLITIOH BIS YILIÏÏRS ÉQUIDISTANTES.

(TKADUÏT PAK G. A. P0SS3S.)

Gâiè ttHuicpnoAujDoêauiiv êeAnztiH'ô paêHOomcinoJimuocô.

ripHnoasenie kt. XXV TOMy SanHCOKi, HMnepaTopcKOiî AKa^eiiin HayKt, JVà 5, 1875 r.

Sur l'interpolation des valeurs équidistantes.

§ 1. Si l'on cherche par la méthode des moindres carrés l'expression d'une certaine fonction f{x) sous la forme d'un polynôme, les valeurs de la fonction f{x) dont on se sert pour déterminer son expression étant

le polynôme cherché, comme on le sait, est donné *) par la formule

oii

désignent les dénominateurs des fractions convergentes de la somme

^^ X —k X — 1 X — 2 X — W-Hl

\=\ obtenus par son développement en fraction continue

AqX-*- B,

o^-^-Do-f-

AzX-t- B2

Les fonctions

*) Voir le Mémoire sous le titre: «Sur les fractions continues». T. I, p. 203—230.

comme j'ai déjà indiqué, jouent le même rôle dans le calcul inverse des différences que les fonctions de Legendre dans le calcul intégral et, par analogie à ces dernières, peuvent être représentées par la formule *)

cp^ (rr) = A" (a; — \) {x — 2) .... (a; — w) (w -h w — 1 — x) (m — rr),

en faisant abstraction des facteurs constants qui se suppriment évidemment dans la formule (1).

Cette expression des fonctions

simplifie notablement, comme on va le voir, le calcul de toutes les sommes qui figurent dans la formule (1).

§ 2. En abordant la déduction de l'expression mentionnée des fonctions

convenons de désigner, pour abréger, par <î» {x) le produit {x — 1) {x — 2). . . .{x — n) {m-t-n — x — 1) {m-*-n — x — 2). . . .{m — x). Ce produit s' annulant pour

toutes les quantités

pour x=\ et a; = w seront égales à zéro, et la même chose aura lieu à l'égard des différences

qui se déterminent d'après les valeurs

tl>(a;j, ^{x-\~l),. . . .^ ^{x-^n — 1).

Cela posé, il n'est pas difficile de montrer que la somme

^F{x)isr^{x\

*) Sur une nouvelle série. T. I, p. 381—384.

quelle que soit la fonction F{x), se réduira à la somme

{—lT^^{x-+-n) A" F(x).

Pour nous en convaincre, remarquons que, transformant la somme

n fois de suite à l'aide de la formule connue