U AV =U V —^ V AU

nous trouverons qu'elle se réduit à l'expression suivante: F{x) A"~' ^{x) — A F{x) A"~' * (a; -I- 1) -f- A^ F(a^) A"""' ^ (a; -#- 2) -*- . . . . -^-{—\f-'^{x-^n — \)A''-'F{x)-^{—\f^^{x-^n)A''F{x).

Or, en vertu de ce qu'on a vu à l'égard de la fonction

^ {x-^n — 1) et des différences

A"~'*(a;), A"~-<î> (a; -*-!), A <ï> (rc -4- w — 2),

tous les termes de la formule précédente hors du signe "V se réduisent à zéro pour a; = 1 et pour x = m\ donc on aura dans ces limites

En faisant

F{x) = cp, (x), F{x) = 9, {X), ....,F(x) = 9„, (rr)

et remarquant que pour ces valeurs de F{x) on a

A"F(ir) = 0, on trouvera

mm m

Or, ces égalités, en vertu du § VII du Mémoire cité sur les fractions continues, montrent que dans le développement de la fonction A" <î> (x) en série

^ Ço (a^) -^ ^ ?1 (a^) -^- • • • • -^ ^ ?n-i (^) -+■ ^?n (^)

les coefficients

A, JB, G

se réduisent à zéro, d'où il suit que A"^(x) ne diffère de 9^(3;) que par un facteur constant. Ce facteur, comme il a été dit, se supprime dans la formule (1). En faisant abstraction de ce facteur nous prendrons

ce qui réduit l'égalité (2) à la suivante

2 F{x) cp„ {X) = ( 1)" 2 c^ (a; -^ n) A» F(x), 1 1

où

§ 3. Passant à l'évaluation des sommes contenues dans la formule (1), nous introduirons, pour abréger l'écriture, le signe F (pi.) pour désigner le produit 1. 2, 3. . . (p.— 1).

A l'aide de cette notation les produits

seront représentés par

Tix — ny T{m — x) '

ce qui donne pour les expressions des fonctions ^ (^), cp^ (x)

cb {^\ — r(^) rjm-i-n — x) ^W — r(x — n) T{m-x) '

(3) ?»(^) = A TW^) r(m-.) '

et par suite la transformation précédente de la somme se réduit à la suivante

En faisant ici

nous trouverons pour l'évaluation des sommes

la formule suivante

En faisant dans la même formule nous aurons

Or d'après (3)

d'ailleurs

-^^^^ — (ic— 1) (a; — 2). . . , (a; — II),

l^^^^^^m-^n-x- 1) (m-HW-2) .... {m-x\ donc, dans le produit

le terme du plus haut degré en x est égal à

il en résulte que la différence d'ordre 2w de cette fonction se réduit à la quantité constante

(—If 2n (2w— 1) 3.2.1,

ce qu'on peut représenter à l'aide du signe F comme il suit:

On en déduit que

A"?n(^) = (— irr(2n-Hl), et, par conséquent, la transformation trouvée ci-dessus de la somme

nous donne

Or, r(m — n — x) étant infinie pour

x = m — n, m — n-i-1, . . . mtous les éléments de la somme

à partir de x = m — n se réduisent à zéro , et par conséquent on peut prendre pour limite supérieure de cette somme m — w au lieu de m; en vertu de cela l'égalité précédente se réduit à la suivante

(4) ±,:(.) = ri2n-^i) 2''r;:\iZ-tr

§ 4. Pour déterminer la valeur de la somme, qui figure dans la dernière égalité et dans d'autres pareilles à celle-ci, que nous rencontrerons plus loin, nous allons trouver maintenant l'expression de toutes les sommes de la forme

\rT{x-^

^ T{x) r{N—xj

ce qui est facile à faire à l'aide du binôme de Newton.

Remarquons pour cela que les développements des puissances

en séries par la formule de Newton à l'aide des signes ^ et F peuvent être écrits de la manière suivante:

f 1 /r^ — V Ii^j!Jl ^>^

^^ ^) — 2jr(f,)r(X-^i)^ '

les sommations y étant étendues sur toutes les valeurs entières de X, pt., v de 0 à oo. En comparant le produit des deux premières sommes à la dernière nous aurons l'identité

^r(jp)r(X-f-i)'' •j^Tiq)T{ix-t-i)' ~^r(p-t-2)r(v-Hi) ^ » qui peut être représentée d'une autre manière sous la forme

-VX^ r(p-HÀ) r(g-4-ii.) A-i-ii__^ r(p-*-g-*-v) y

^^r(2?)r(X-4-i)'r(g)r(pL-+-i)' ~^r(i)-*-2)r(vH-ij ^ •

En déterminant ici les termes ayant le facteur t^~^, nous apercevons que dans le premier membre de cette identité le coefficient de t^'~" est égal à la somme des valeurs de l'expression

r(p-*-A) riq-t-\x)

T{p)T(k-t-l)'V(q)r{^-*-iy

correspondant à toutes les valeurs entières et positives de X et [jl, dont la somme X-f- {jl est égale à ^ — 2, ou, ce qui revient au même, à la somme de toutes les valeurs de cette expression, dans lesquelles

lj. = N — 2 — À,

X prenant successivement les valeurs 0, 1, 2,....2V — 2. On voit diaprés cela que le premier membre de l'identité considérée renferme le terme suivant avec la puissance t^~^:

Tjp-t-X) T{q-t-N-2 — \) .y 2

D'ailleurs, le terme avec la même puissance de t au second membre de cette identité étant

rip-^q)r{N-i)'' ' nous concluons qu'elle entraine l'égalité suivante:

Sr» T{p-*-l) T(q-t-N—2 — 'k) T(p-t-q-i-N—2)

En la multipliant par V {p).r (q) et posant