X-i-l=it;, nous la réduirons à la forme
.p.. ^rix-*-p-l) T{N-x-t-q—l) __T(p)Tiq) T {p -*- q-^ N—2)
v^^ ^ n^) r{N-x) "~r(p-Hg) r{N-i)
En posant ici
nous aurons, pour déterminer la somme, renfermée dans la formule (4),
d'où il résulte
Remplaçant encore F (2w h- 2) par (2w -♦- 1) F (2n -i- 1) on aura
§ 5. Pour déterminer les fonctions
à l'aide de la formule (3), nous allons déduire préalablement les expressions des différences des fonctions
T{x-p)' Tiq-p-x)
Calculant les différences du premier ordre, on aura
i T{q-x) ^ T{q-x-l) Tiq~x)
LAT(q—p — x) r{q—p — x — l) T {q — p — x)'
Remplaçant
Tix-h-l), r{x—p), r{q—p — x—l\ r(q — x)
par les quantités équivalentes
a;r{x\ Lfcl^lti), ^ii-P--) (,^^i)r(2-rr-l), \ ■'' X — p 'g — p — X — l'^-*^ ^ ^-^
nous aurons, après quelques réductions,
A Tjx) r(.)
En appliquant ces formules à la détermination des différences du 2-me, 3 -me etc. ordres, nous trouvons en général
A'r|^ïf^ = (-l)'W.-l)....(.-^-l)j;|£^.
Remplaçant le produit
par
on obtient
L^ V{x) Tip-^-V) T{x)
ilTiq-x)
L\T{x—p) r(p — in-l) r(a; — p-t-O'
lA r(q-p-x} ^ ^^ r{p-i-t-i) r{q-p-x)' Passant ù la détermination de la fonction cp^ {x) d'après la formule
^, /^^ i" ^i^) T[m-^n-x) in W — l\ Yix-îi) r {m — x) '
nous allons développer la fonction
en série à l'aide de la formule
qu'on peut représenter sous la forme suivante, au moyen des signes >, et F,
WM V r (X - n) l'^F{n-Hl)
la somme étant étendue sur toutes les valeurs entières et positives de X et A° F {n -+- 1) coïncidant avec la fonction initiale F (n-t- 1). En posant dans cette formule
et remarquant que d'après (6) ou a dans ce cas
A ^ WM — ( ^\^ r(u-4-l) r(m->-n-X-.r) A F{x)~{—\) r(„-X-Hl) T{m-x) '
nous aurons
T{m-*-n — x) ^ . , a r (n -f- 1) r (m — X — 1) r jx — n)
r{m~x) ~~ 2LS ^ r(A-t-l)r(n — X-+-l)r(m-n-l)r(3: — n-A)'
ce qui, étant multiplié par
r (X — w) se réduit à ce qui suit:
r(ar — ti) V(m — x) ^^ ' r(X -t- 1) r(n — X -h l)r(wi — n— 1) r (x — n — X)'
En déterminant d'après cette formule la différence
nous trouvons qu'elle s'exprime par
^'^ ^' r(X-i-l)r(n — X-Hl)r(m — «— 1) ZA r(a; — n — X)'
Or cette différence étant égale à la fonction €t la formule (6) donnant
nous obtenons l'expression suivante de la fonction o^ (rc):
^ M— Vr n^ r(n-^i)r(m-x-i)r(n-^x-^i) r(x)
YnW— ^l. ^ r2(X-+-J)r(n — X-Hl)r(m — n — 1) r(a; — X)'
où la sommation, comme ou a vu, s'étend sur toutes les valeurs entières et positives de \.
D'ailleurs, le diviseur F (w — À-+-1) se réduisant à oo à partir de \=^n-\-\ et les termes correspondants se réduisant par conséquent à zéro, on pourra prendre pour limite supérieure de la somme X = w -+- 1 .
§ 6. Substituant les valeurs des sommes
trouvées ci-dessus dans la formule (1) et dénotant généralement par
l'expression
r(aH-&-»- 1) (a-H&)(a-4-!i — 1) ■.■(x-4-1)
r(aH-l)r(!î-*-l) 1.2 3 '
qui représente le coefficient de a^ h^^ dans le développement de (a -+- bf~*~^^ nous trouvons que le terme général de cette formule peut être représenté comme il suit:
. ..n2n-^l r(m-n-l) ^ gx-i,n gm-n-.r-i,n A»/(:r) ^ ^^ m-l r(w— ljr(«-f-l) C,n-i,n ^''^^^
OU
r(n-4-l) r(m— 1) TnW)
oii l'on a posé pour abréger
,^l ic^-i,nCm-n-x-i,n-^V(a^)
Il en résulte que le développement de la fonction f{x) d'après la formule (1), arrêté au {l-i- l)-me terme, sera représenté par la somme:
Désignant cette valeur approchée de f(x) par F(x), nous aurons:
OÙ, comme on l'a vu, la fonction ?„(^) a la valeur suivante:
l=n+l ^ /^N V r 1 ^^ r(n-4-l)r(m-X-l)r(n-4-X-4-l) r(a;) fnW — ^^. ^J ^^'K-+l}^{n-l-^-l)^{m-n-l) r{x-l)' /.=0
Développant les sommes renfermées dans ces formules nous obtenons F{x) sous la forme d'un polynôme de degré l; cette expression de F{x) ne diffère que par les notations de celle que nous avons donnée dans la note mentionnée ci-dessus. D'autre part, à l'aide de ces formules, servant pour la détermination de F{x), il est facile de calculer les valeurs
^-(1), AF(1), A^F(l),....,
comme nous allons voir tout de suite.
En déterminant d'après ces formules les différences
A^F(x), A^c^^ix),
fjt. étant un nombre quelconque nous aurons:
A*^ r,A 'y"/ X r(»-Hi)r(m-A-i)r(n-i-À-^i) ii^ tjx)
Or d'après (6)
At^ Tjx) r(ÀH-l) r(a:)
l\ V{x — l) r (X — |JL -+- 1) r (a; — X -H -j.) '
ce qui donne, pour x=l,
Li^ r(i) r(X-Hi) r(i)
ZA r(i — X)~ r(X — .a-Hi) r(i— x-t-!i.)'
Le diviseur F (X — (jt.-f- 1) étant infini pour X — [j. < — 1 et le diviseur r (1 — X -+- u) pour X — [A> 1, la dififérence
ne diffère de 0 que pour X — [J- = 0, c'est à dire pour X = tx; donc, dans la somme qui représente la valeur de A'^ 9^ (x), pour rr = 1 , il ne reste qu'un seul terme, correspondant à X = tx et dans ce terme la différence
d'après la formule que nous venons de trouver, en vertu le l'égalité X=: ix., se réduit à r(fj. -♦- 1). D'après cela, en vertu de (7), pour x=l, il résulte
A^^ n-i — r .^^xTin-*-l)T{m-lJ.-l)V{n-^:J.^l) [\ YnU; L ^J r(;j.-»-l)r(n — iJn-l)r(m — w — 1)'
A'^jr(l)V/ l^^^(m-.a-l)^(n-^^x-4-l)F,^
Le diviseur F {n — [J--t- 1) se réduisant à 00 pour
tous les éléments de la somme de n = 0 h n = i^ se réduisent à zéro, et par suite on pourra prendre pour sa limite inférieure n = [x, en vertu de quoi, la formule déduite s'écrira comme il suit:
l\ -^ y"-) V ^^ ',^r(;j.-Hl)r(m — l)r(n — !Ji-*-l)*
§ 7. Dans la formule qui exprime la valeur de la différence
l'expression
, ^yj. r(m-[x-l)r(n-f- K -H 1)
r (|JL -*- 1) r (m — 1) r (n — M. -*- 1)
se réduit à 1 pour
ce qui correspond au cas où A^^ jP (1) se réduit à F(l); par suite, la valeur de F (1) sera donnée par la formule
Passant à la recherche des différences A 2^(1), A^ F {!), . . , nous représenterons pour abréger l'expression
/ , Nix r(TO — !J^-i)r(n-4-ii.-i-i)
*^ ^ r ([JL -+- 1) r (m — 1) r (n — p^ -+- 1) par
(fi., n);
d'après cela la formule que nous avons trouvée pour l'évaluation de A^ F(l) prendra la forme
Appliquant l'égalité
r (?n — jj. — 1) r (n -^- IX -t- 1)
r (m — 1) r ({A -t- 1) r (n — pu- 1) ' à la détermination du rapport
(m- -*- 1, n) r(tx-4-l) r (m — [A — 2) F (n -t- {x -t- 2) r(n — jx-el)
(îJi, n) "r (tJH- 2) r (m — ix — 1) r (n -+- p. -♦- Ij r (n — {x) '
ce qui se réduit, à cause des égalités
r(fi.-i-2)=(p.-*-i) r(p.-f-i), r(m— IX— i)=(w— (ji-2)r(w— |x— 2), r(w-f-p.-H2) = (w-H{A-*-i) r(w-i-(i.-Hi), ^(ï^— |jn-i) = (w— fx) r(w— [x),
à ce qui suit
(pi -4- 1 , w) (M-4-iJL-4-l) (n — ix) n(n-*-\)—\x{ix-^l)^
(tx, M) — (pi -+- 1) (m - pi - 2) (j^^-i)(^p,2)'
d'où il résulte
/ t \ n(n-^-\) — [j. (pi -♦- 1) / s
Cette relation entre les quantités
y joint l'égalité remarquée ci-dessus
donne le moyen de calculer facilement toutes les valeurs du facteur ({jl, w) dans la formule
En vertu de ce qui précède nous concluons que les quantités
F{11 AF{1), A'F{1), A^'Fil),
dans le cas, où la série (1) est arrêtée au {l-t- l)-me terme, se trouveront à l'aide des formules:
Ai^(l)=:(l,l)F,-i-(l,2)F,-f-(l,3)F3--....-4-(l,/)F,,
les quantités
étant données par les formules
S ^x—\y n ^m—n—x—i, n '^^ fi^' 7-, / ,.n 2W-4-1 1
^„=(-i) -^;r^ czz;;-^ '
r (g-*- fi) "(g + 3-1)... (g -^1)
et les facteurs
se déduisant successivement à l'aide de l'égalité
OÙ l'on pose
§ 8. Pour montrer sur un exemple l'emploi de nos formules, nous allons les appliquer à l'exemple qui dans la Ballistique de N. Majevsky a été calculé d'après nos anciennes formules. Dans cet exemple les valeurs de la variable x et les valeurs correspondantes de la fonction f {x) sont les suivantes:
En calculant d'après ces valeurs de f {x) ses différences de divers ordres, formons la table suivante:
Lf{x)
