RAPPORT

du professeur extraordinaire de l'université de St. Pétersbourg Tchebychef sur son voyage à l'étranger.

.: ' Traduit par M-me C. Jossa. : ,

(/RypHa-it MmiiicTepcTBa HapoAHaronpocBfcii;cHin. ^acxb LXXVIII. OrAt-ieaie IV, cxp. 1-14}.

'-. Le 21 juin 1852, après avoir obtenu le j)asseport pour passer la. frontière, je me suis embarqué sur un vapeur pour Stettin, où j'ai débarqué le 24 Juin et me suis rendu le môme jour à Berlin. Suivant le plan que j'ai tracé pour mon voyage, je n'ai j^assé à Berlin que 12 heures et je suis j)arti pour Paris, choisissant le chemin le plus court. Passant près de Lille, j'ai cru nécessaire de visiter cette ville dans les environs de laquelle se trouve une quantité de raoulins-à-vent . construits d'après le système hollandais et connus dans la Mécanique aj^pliquée d'après les observations de Coulomb. L'instabilité du vent le rend inadmissible comme moteur dans les fabriques, où l'interruption continuelle des travaux causerait des pertes considérables, mais, d'autre part, le vent nous présente lemoteur le moins cher, c'est pourquoi il est souvent emj)loyé pour moudre le grain, pour faire l'huile, pour piler le lin etc. Les moulins-à-vent de Lille sont j)articulièrement intéressants au point de vue dé la théorie actuelle du vent comme moteur: cette théorie vérifie ses résultats à l'aide des observations de Coulomb. Ilfaut constater cependant que la théorie et les observations, tout en étant d'accord dans les traits généraux, diffèrent sérieusement dans le détail. Ainsi, d'après la théorie, l'inclinaison des ailes du moulin-à-vent vers l'axe de rotation devrait diminuer continuellement en s'éloignant de leurs extrémités; au contraire, les observations de Coulomb, faites sur les moulins-à-vent de Lille, nous dé- ^

montrent que la courbure de la surface des ailes suit une autre loi: au commencement l'angle formé par les éléments de l'aile et l'axe de rotation décroît en s'éloignant de l'extrémité de l'aile, mais, arrivé à une certaine limite, il commence à croître, de sorte que ses différences premières vont constamment en décroissant, tandis que la théorie enseigne qu'elles doivent s'accroître. Ce désaccord entre la théorie actuelle et les résultats de beaucoup d'observations faites par Coulomb sur les moulins-à-vent, dont la construction est tenue par les mécaniciens-praticiens pour modèle, nous suggère naturellement l'idée que, peut-être, certaines circonstances que la théorie actuelle ne prend généralement pas en considération, comme le changement de direction et d'intensité du vent sous l'influence de l'édifice même du moulin, la courbure de l'axe des ailes, etc., exercent une influence considérable sur la marche du moulin. En tenant comjite de cela, on trouve aisément des expressions analytiques pour la quantité de travail du moulin-à-vent et la forme la plus avantageuse de ses ailes; il n'y a que quelques constantes, différentes pour chaque type de moulin, qui restent inconnues. Pour vérifier ces expressions à l'aide des observations de Coulomb sur les moulins-à-vent de Lille, il faut avoir des données plus détaillées que celles qui suffisaient pour l'exposé de l'ancienne théorie des moulins-à-vent. C'est ^^ourquoi en passant j)rès de Lille j'ai trouvé utile de visiter cette ville et je suis resté deux jours à examiner les moulins-à-vent des environs.

Le 28 juin je me suis rendu de Lille à Paris, où j'arrivai le soir même. A cette époque les études dans les hautes écoles étaient déjà finies; mais j'ai trouvé la plupart des professeurs à Paris, ce qui était d'une grande importance pour le succès de mon voyage, car, vu sa courte durée, il me fallait des renseignements sur place pour trouver immédiatement ce qui était d'intérêt principal pour mes études de la Mécanique appliquée et, outre cela, pour obtenir des recommandations, sans lesquelles on n'arrive pas à voir beaucoup de choses, ou on les voit d'une façon superficielle.

Arrivé à Paris, je me suis adressé au célèbre géomètre Liouville, Membre de l'Académie des Sciences de Paris et éditeur d'un journal de mathématiques, auquel je collabore de2:)uis 1842. Grâce à l'obligeance de ce géomètre, j'ai trouvé l'occasion délier connaissance avec les savants dont le concours était d'une grande importance pour le succès de mon A^oyage.

D'après les renseignements que j'ai tirés des entretiens avec eux, j'-ai conclu qu'il me serait utile d'emj^loyer une j^artie de mon séjour

en France (ce séjour devait durer 3 mois) à examiner les machines et les modèles du „Conservatoire des ^rts et métiers", à observer la construction des machines dans les usines de Paris et des environs, surtout dans celle de M. Cave, connue par ses machines-à-vapeur à cylindres oscillants, et d'autres établissements mécaniques, présentant un intérêt particulier, ou se rattachant aux sujets de mes investigations do Mécanique appliquée; l'autre partie de mon séjour à l'étranger devrait être employée à voyager en France pour étudier divers objets intéressants, à visiter les usines métallurgiques d'Hayange, où sont fabriquées aussi diverses machines; les célèbres fabriques de papier des environs d'Angouleme; la fonderie de l'Etat de Ruelle etc., dont la visite ne me prendrait pas beaucoup de temps.

Conformément à ce projet, j'ai étudié jusqu'au 8 août les objets se trouvant à Paris et aux environs. Ayant à ma disj)Osition très peu do temps, que je devais partager entre le „Conservatoire des arts et métiers", les usines de M. Cave et autres établissements touchant à la Mécanique appliquée, ainsi que le chemin de fer atmosphérique de St.-Germain, le chemin de Sceaux, réputé j)ar sa sinuosité, la machine de Marly etc., je tâchais néanmoins d'enrichir mes connaissances théoriques à l'aide d'entretiens avec les célèbres géomètres français. Je passais en conséquence les après-midis tantôt au „Conservatoire des arts et métiers", tantôt aux fabriques, surtout chez Cave, et les soirées étaient consacrées tant aux conversations avec M.M. Cauchy, Liouvillo, Bienaimé, Hermite, Serret, Lebesgue et d'autres savants, qu'aux études théoriques en rapport immédiat avec les données fournies par l'examen des machines de différents systèmes, ou avec les questions d'Analyse, vers lesquelles mon attention était tournée par la conversation avec les savants. C'est ainsi que M.M. Liouville et Hermite m'ont suggéré l'idée de développer les j)rincipes sur lesquels fut jadis fondée ma dissertation, présentée en 1847 à l'université de St. Pétersbourg j?ro vcnia legendi. Dans cet écrit j'examinai le cas, où la différentielle à intégrer renferme la racine carrée d'une fonction rationnelle — le cas le plus simple et le plus fréquent dans les applications. Mais il était intéressant sous plusieurs raj)ports d'étendre ces principes au cas d'un radical de degré quelconque.

Ainsi dans le calcul intégral l'attention est surtout attachée à l'intégration des différentielles connues sous le nom de binômes; on propose pour cela un certain nombre de procédés particuliers, en expliquant dans quels cas ces procédés réussissent.

Excepté ces quelques cas on ne pouvait rien affirmer de positif

à propos de l'intégrale des différentielles binômes. Sont-ce nos procédés qui sont insuffisants, ou ces intégrales n'existent pas sous forme finie? On ne pouvait certainement trancher cette question à l'aide de procédés particuliers, si grande que soit la quantité des cas que ces procédés embrassent; il fallait unjirocédé général, embrassant tous les cas particuliers, et ce procédé se trouvait dans les principes dont j'ai parlé plus haut.

Je me suis occupé du développement de ces principes j)Our déterminer les cas, où les intégrales des différentielles binômes existaient, sous forme finie, et ceux, oh. elles se j^résentent sous forme de transcendantes j)articulières.

Mes recherches m'ont mené à la conclusion que les procédés ])articuliers proposés pour l'intégration des différentielles binômes (algébriques) embrassent tous les cas, où cette intégration est possible sous forme finie, et, par suite, la question de leur intégration sous forme finie doit être considérée comme résolue définitivement. Entre autres je suis arrivé à un théorème qui contient, comme un cas particulier, le fameux théorème d'Abel qu'il a laissé sans démonstration*).

Des nombreux sujets d'étude qui se sont j^résentés pendant l'examen de différents mécanismes de transmission de mouvement, surtout dans la machine-à-vapeur, où l'économie du chauffage et la stabilité de la machine dépendent des procédés de transmission du travail de la vapeur, je me suis occupé surtout de la théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes. En recherchant les moyens de tirer de la vapeur le maximum de travail dans le cas, où l'on exige un mouvement de rotation, Watt a inventé un mécanisme spécial pour transformer le mouvement rectiligne du j^iston en mouvement circulaire du balancier, mécanisme connu sous le nom de parallélogramme. L'histoire de la Mécanique ajoj^liqi^iée nous apprend que l'idée d'un pareil mécanisme fut suggérée au célèbre transformateur desmachinesà-vajDCur j)ar l'examen d'un disj^ositif spécial, où la combinaison de divers mouvements de rotation formait des courbes dont quelques-unes

forme ^-= , où p et 12 sont des fonctions entières de x, est exprimable par des logarithmes,

*).... le théorème suivant très remarquable a lieu: «Lorsqu'une intégrale de la rpax

on peut toujours l'exprimer de la manière suivante:

fP-S^^log^^^^^g, iVM . p — qVE

où A est constant et x> et q des fonctions entières de x. Je me réserve de démontrer ce théorème dans une autre occasion. Abél, Oeuvres complètes, T. I, p. 65.

étaient presque rectilignes. Mais nous ne savons pas, comment il est arrivé à la forme la j)lus avantageuse de son mécanisme et à la dimension nécessaire de ses éléments. Les règles que suivait AYatt dans la construction des parallélogrammes ne pouvaient garder leur sens pratique que jusqu'au moment, où l'on a reconnu la nécessité d'en changer la forme; ce changement de forme demanda de nouvelles règles. La pratique et la théorie actuelle tirent ces règles d'un principe suivi sans doute par Watt pour la construction de ses parallélogrammes. Les raisonnements que l'on fait pour démontrer ce principe ne peuvent certainement soutenir aucune critique; il arrive souvent que les éléments du parallélogramme trouvés à l'aide de ce princij^e ne conviennent pas en pratique, et il a fallu tracer des tables spéciales pour les corriger.

On voit bien la nécessité de soumettre les parallélogrammes de Watt et leurs modifications à une analyse rigoureuse, substituant au principe en question les propriétés essentielles de ce mécanisme et les conditions de la pratique. Pour arriver à ce but je me suis mis à étudier les conditions dont dépendaient plusieurs des éléments de ce mécanisme dans les machines des usines aussi bien que sur les bateauxà-vapeur, et d'autre part — l'effet nuisible de l'irrégularité de sa marche, dont les traces étaient visibles sur les machines longtemps en usage.

Me proposant de déduire les règles pour la construction des parallélogrammes de la nature même de ce mécanisme, je me suis trouvé en présence de questions d'Analyse fort peu connues jusque-là. Tout ce qui est fait sous ce rapport est dû au Membre de l'Académie des Sciences de Paris, M. Poncelet, qui s'est créé un nom dans la Mécanique appliquée; on emploie souvent les formules, trouvées par lui, pour calculer les résistances nuisibles des machines. La théorie du parallélogramme de AVatt demande des formules j^lus générales et leur application ne doit pas se restreindre à l'étude de ces mécanismes. La Mécanique appliquée et les autres sciences apj)liquées contiennent beaucoup de questions pour la solution desquelles ces formules sont nécessaires.

Comme j'avais très-peu de temps à ma disposition pour traiter un sujet de si grande étendue, je n'ai achevé que la première partie de mon Mémoire, qui a été présenté à l'Académie Impériale des Sciences.

La question des parallélogrammes de Watt est étroitement liée à la question de la construction des machines-à- vapeur sans balancier,

c'est à dire — sans ce mécanisme. Le système de machines-à-vapeur de Cave à cylindres oscillants est des plus remarquables sous ce rapport. Cela me fit m'intéresser à sa fabrique. A l'aide de ces cylindres oscillants la composition de la machine-â-vapeur devient beaucoup plus simple. Mais la mobilité des cylindres présente beaucoup de difficultés dans leur construction, surtout dans l'aménagement des soupa- 2:)es. C'est surtout pour cette raison que je suivais avec un vif intérêt la construction de divers organes de ces machines, très avantageux dans certains cas.

Outre la fabrique de M. Cave, la collection de modèles de machines du ,, Conservatoire des arts et métiers" (ou se trouve entre autres le modèle d'une machine-à-vapeur très originale, inventée par le comte Eoumiantzef), la machine mobile, achetée par le Gouvernement Français à Londres à l'Exposition Universelle, mon attention fut surtout attirée par deux machines: celle du chemin de fer atmosphérique de St. -Germain, et celle de Marly. Cette dernière présentait j)Our moi un intérêt tout spécial non seulement grâce à la combinaison ingénieuse de plusieurs machines-à- vapeur, mais surtout parceque son travail, consistant à élever l'eau à une hauteur considérable, est facilement déterminé par l'indication d'un manomètre ajouté aux pompes; en même temps d'autres manomètres déterminent la pression de la vapeur dans le cylindre et dans le condenseur. Cette machine prouve nettement l'influence que différentes conditions, généralement négligées par la théorie actuelle, exercent sur la quantité de travail. Ce n'est que d'observations pareilles que l'on joeut espérer de tirer des formules déterminant avec une exactitude suffisante la quantité de travail de la machine-à-vapeur ainsi que les dimensions les plus avantageuses de ses parties.

M'occupant ainsi des machines-à-vapeur, je ne négligeais pas, autant que le temps me le permettait, les roues hydrauliques. Le ,,Conservatoire des arts et métiers" me fournissait une collection nombreuse de modèles de diverses roues, entre autres d'une turbine, qui se trouve dans un moulin à St.-Maur que j'avais visité trois fois. Cela m'a procuré l'occasion de trouver quelques données sur l'usage de ce moteur, qui n'est pas encore entièrement étudié théoriquement.

En outre, le ,, Conservatoire des arts et métiers!', ainsi que les usines que j'ai visitées, me fournirent d'amples matériaux concernant les différents mécanismes pour la transmission du mouvement et les machines destinées à un travail sj)écial. Mon attention fut attirée entre autres par les machines d'un mécanicien très-intéressant Yau-

canson, par la machine arithmétique de Pascal, par des dispositifs pour l'élévation de l'eau, par des machines de filature de coton et de lin, et par des machines métallurgiques.

Le 8 août je suis parti pour Metz. Je me suis arrêté pour quelques heures à Meaux pour y examiner les roues d'un moulin-à-eau, après quoi j'ai repris mon voyage pour Metz, où je suis arrivé le 9 août. Dans cette ville j'ai rencontré les Membres de la Commission Mathématique pour l'examen d'entrée à l'Ecole Polytechnique. Cette rencontre m'a fourni l'occasion d'assister à cet examen. C'est à Metz que j'ai rencontré M. de Polignac, connu en France par ces recherches en Mathématiques. Lui et moi, nous nous sommes occupés des mêmes questions, — nous avons cherché la démonstration du postulat de Bertrand et d'autres ^propositions de ce genre, et en suivant des voies différentes, nous sommes venus à bout des difficultés, présentées par ces questions. Le 15 octobre 1849 M. de Polignac donnait à l'Académie des Sciences de Paris un rapport sur l'étude des séries S|)éciales nommées diatomiqiies et sur les applications qu'on peut en faire. Il disait en particulier être arrivé, en partant de ces séries, à démontrer rigoureusement que dans les limites «" et a""*"^ il se trouve au moins un nombre premier. Quoique cela soit insuffisant pour faire la démonstration du postulat de Bertrand, dans lequel les limites données sont plus étroites, même dans ces limites la présence d'un nombre premier ne pouvait être démontrée qu'à l'aide des procédés spéciaux. Les limites dans lesquelles on démontrait auparavant la présence d'un nombre premier étaient beaucoup plus larges.

Les recherches de M. de Polignac ont attiré l'attention des Membres de l'Académie des Sciences de Paris, surtout du géomètre Cauchy qui présenta à l'Académie, peu de temps avant mon départ de Paris, la seconde partie de ses recherches. Cependant en 1850 j'ai présenté à l'Académie des Sciences de St. Pétersbourg un article sur les ..nombres premiers" contenant la démonstration du postulat de Bertrand; dans cet article j'ai démontré la présence des nombres premiers dans les limites plus étroites, et tout cela sans me servir des séries diatomiques. En publiant l'année suivante la première j^artie de son ouvrage, M. de Polignac compare, dans la préface, les procédés auxquels il a eu recours avec ceux dont je me suis servi et insiste sur les avantages présentés par les séries diatomiques. Cette différence d'opinions sur le même sujet, très peu étudié jusqu'à ce tenq^s, explique bien le grand intérêt qui nous poussait l'un vers l'autre, et c'est à Metz que nous trouvâmes l'occasion de causer. — J'employais

mes après-midis à causer avec M. de Polignac et les Membres de la, Commission Mathématique, les célèbres géomètres Hermite et Serret, et les matinées étaient consacrées à la visite des usines de fer avec des fabriques de machines qui se trouvent en grand nombre près de Metz. Mon attention fut spécialement attirée par l'usine de Charles Wendel à Hayango connue pour son excellente prépartion de fer et sa construction de machines. Je suis resté à Metz jusqu'au 16 août et je suis retourné à Paris le 17.

Arrivé à Paris, j'ai repris mes travaux de Mécanique appliquée. En outre, M. Liouvillo s'était offert à m'exposer un abrégé de la nouvelle théorie des fonctions elliptiques, professée par lui au Collège de Franco. Jusqu'à ce temps cette théorie, si intéressante et si importante par ses applications, no consistait principalement que dans l'étude des procédés spéciaux, propres à elle. M. Liouville, célèbre par ses découvertes dans l'Analyse, eut l'idée de baser cette théorie sur un principe général, déterminant l'importance des fonctions elliptiques entre les matières de l'Analyse pure. Sans s'arrêter sur la considération des fonctions déterminées par une telle ou telle intégrale, il commence jiar l'étude des proj)riétés générales des fonctions, et les partage en deux classes: les fonctions bien déterminées et celles qui ne le sont pas complètement.

S'arretant sur les premières, qui sont les j^lus simples, il démontre quelques-unes de leurs propriétés générales; piiis, passant au cas où elles sont périodiques, il démontre sur elles des théorèmes d'autant plus intéressants qu'ils ne dépendent aucunement ni de la forme des fonctions, ni de leur origine, mais uniquement de leurs propriétés essentielles, — détermination complète, continuité, périodicité.

Partant de là, il fait une théorie des fonctions doublement périodiques, les supposant partout bien déterminées. Il partage ces fonctions en classes, suivant le nombre des zéros et des infinis: il donne ces dénominations aux valeurs de la variable indépendante, qui, dans l'étendue d'une période, annulent la fonction ou la rendent infinie. Il démontre ensuite que le plus ^^etit nombre de ces zéros et de ces infinis est 2, et trouve l'expression de la fonction avec un nombre quelconque des zéros et des infinis au moyen des fonctions, dans lesquelles ces nombres ont la moindre valeur, c'est à dire sont égaux à 2. Ceci démontre l'importance des fonctions doublement périodiques à deux zéros et deux infinis. S'arretant sur ces fonctions, il recherche l'équation différentielle, à laquelle elle doivent satisfaire, en ^^artant des propriétés générales des fonctions périodiques. L'équation qu'il