AV

Ayant w= 10, dans cet exemple, nous aurons pour n = 0

pour ^ = 1

pour n = 2

5.2 ^ {x-^l)x (9 - a:) (8 - a:) 2 f/^v ^2 — 9. 11. 10^ "172 TT^ "^ /W,

pour n = 3

7? — 7.2.3 Sr^(a;-t-2)(a;-t^l)x(9-a:)(8 — a;)(7-a:) ,3 /.. s

Déterminant d'après les valeurs données ci-dessus de f{x) et de ses différences A f (x), A^ /' (x), à,^ f (x) les sommes contenues dans les quantités

2y.^ A/'(:25) = — 3,2312; >^ (5 Hi)£ (9-^) (8 -a:) ^^(a;) = — 1,2908;

y(xH-2)(:r-^l)a:(9-a.)(8-x)(7-a;) ^3^^^) ^0^0656.

ce qui donne après la substitution dans les expressions des quantités

les valeurs suivantes:

^3 = -ûTTJni^ • 0.0656 = - 0,0002.

En ajoutant ces quantités, nous avons d'après (8) la valeur de F {!) correspondant au cas où l'on s'arrête au 4™° terme dans l'expression (1) de la fonction cherchée ou, ce qui revient au même, quand on suppose ses quatrièmes différences égales à zéro. Ainsi, on trouve pour la valeur de F {!)

D'après les mêmes valeurs des

^05 Kj ^25 ^3

nous obtenons en vertu des formules (8) les différences

A F(l), A2 F{1), A3 F{1) à l'aide des facteurs

Or d'après (9) pour

en posant nous trouvons

m= 10, ji. = 0, w= 1,2,3, (0,1) = 1, (0,2)= 1, (0,3)= 1,

Donc, d'après (8), on passe de la valeur trouvée ci-dessus de F{1) à la valeur de A F (1), eu omettant le premier terme et multipliant les autres respectivement par

(l,l) = -i (1,2)=-|-,(1,3)=-|- Ainsi, nous trouvons

Pour passer de cette valeur de la première différence de F (1) à la se-

conde, il nous faut omettre d'après (8) le premier terme et multiplier les suivants respectivement par les rapports

Or, ayant d'après (9) pour m= 10

nous aurons en vertu de ce qui précède pour la valeur de A^ F {\)

A2 F{1) = — y • 0,009 7 — y • 0,0003 = — 0,0028 — 0,0002. En y omettant le premier terme et multipliant le second par le rapport

égal, en vertu de (9), à

nous trouvons

Ainsi, pour l'évaluation de la fonction cherchée, la quatrième différence étant supposée nulle, nous aurons

§ 9. Les formules que nous avons déduites se rapportent au cas où toutes les valeurs

ftl),A2), ,f(m-\)

sont supposées également bonnes, ou ce qui revient au même, quand leurs erreurs moyennes quadratiques sont égales. Dans le cas où ces erreurs de quantités

Al),rt2), fim-l)

sont inégales et inversement proportionelles aux quantités

la formule (1) doit être remplacée, comme on sait, par la suivante

fiP) = ^ ?o(^)-*-^^ 9i(^) -+-....,

où

désignant les dénominateurs des réduites de la somme

262 (X) 62 (1) ^ 62 (2) ^ ^ QM»»-1)

obtenus par son développement en fraction continue

AqX-^Bo-^ ' ^

Il n'est par difficile de montrer que le cas où

/92 (^^ ria^ + g) rjm-x-t-^) u [j.)— j.^^^ r(»j — X) '

a, 3 étant des constantes quelconques, peut être traité à l'aide des formules analogues à celles qu'on a déduites pour le cas de ^ (a:) = 1. Remarquons pour cela que la fraction

A" r (g -*- tt) T{m — a; -H [i -H n) r (x — w) r (m — X)

r (X -♦- g) r (w — X -t- fi) r (x) r (m — X)

se réduit à une fonction entière de degré n *) et qu'en vertu de (2) en y posant

^ W r (x — M) r (m — X) ' on trouve

*) L'expression de cette fonction est indiquée ci-après.

Eu faisant ici F {x) successivement égale à

et remarquant que pour ces valeurs de F {x) la différence

se réduit à zéro, nous concluons que toutes les sommes

^?oW/\ T{x-n) V{m-x) '

V^ M k^'lS^L^ r(m-x-4-&-Hn) ^?iW/\ r[x-n) T{m-x) '

Va (X\ C^^^^"-^ T{m-x + ^-^n)

^ in—\ y^J lA T{x — n) r (m — a;)

sont égales à zéro; donc, en prenant

et posant pour abréger

A^ r (a; H- g) F (m — a; -f- ji -♦- «) r (a;) r (m — :r)

nous aurons

mm m

Or, de ces égalités, en procédant comme en §2 dans le cas de ^(2;)=], on conclut que

et par conséquent, d'après nos notations

r (.r -t- g) r (nt — a; -f- P) r (x) r (m — x)

Passant à la détermination des sommes

V cp, (a^) e^ (x) fix), 2 ?i (^) ^' (^) n^\ 2 ?2 ^^) ^' (^) ^(^)'

So,^x)ô'ix), ^^,^{x)0'{x), 'S<:^,'{x)0\x\

nous remarquons que l'égalité (10), après y avoir substitué la valeur de

tirée de (11) et remplacé

r (a; H- g) F (w — a; -f- fi) r(a;) r(m — x)

par

â'ixl donne

X' F{x) o„ (X) 6' (X) = (-!)- y Ili:^?^ Tim-x^^) a « ^ ^^ v/,n\/ vy V / ^^ i' ^x) r (m — x — n) Ll ^ ''

En faisant ici F (x) = f (x), nous trouvons

ce qui sert à faciliter le calcul des sommes

Pour évaluer la somme

nous poserons dans cette égalité

F{x) = <^Jxl et la formule (11) donnant pour une telle valeur de F (x)

nous aurons

V^ 2 ^^\ ^2 /^^ r fn -^ 1) r {2n -4-a-4-fi-i-l)-vr(a;-f-a-t-«)r (m - x h- 3) ^^^^^ [X)U (X)— pi^n-^x-t-^-t-l) ^^^ r(x)r(m-x-n)

La fonction

r {m — X — n) devenant infinie pour

en vertu de quoi tous les éléments de la somme

X^r(a;-Ha-f-w) r (m — a; -»- fi) ■^-' r (x) r (m — a: — «) '

à partir de a; = m — n se réduisent à zéro, on pourra prendre m — n pour limite supérieure de cette somme, et elle s'écrira comme il suit:

^S^ r (a; ^ g -H n) T {m — ar -f- 3) ^^ r(x) Y{m — x — n)^

Or cette somme est égale, d'après (5), à

r(n-t-a-Hl) r(n-t-3-t-l) F [m -^ n -4- a -t- fi) r (2» -*- a -H fi -♦- 2) r(m — n— 1)

En substituant cette valeur de la somme

"^ r (a: -+- a -H «) r (»t — a; -t- fi)

^ fjx) r (wj — a; — n)

dans la formule précédente, nous trouvons que la somme

s'exprime de la manière suivante

r (n -I- 1) r (n -♦- a -H 1) r (n -t- fi -H 1) r (m -H n -♦- g-*- fi) (2n -f- a -4- fi -t- 1) r (m — n — 1) r (n -f- g H- fi -H 1)

§ 10. Passant à la détermination des fonctions

d'après la formule (11), nous remarquons qu'en général la différence ^" U. F.

se réduit à la somme

.T-»-n .x 1 js-i-n — 1 ,T 1.2 .r-nn— 2 • ^,î;

qu'on peut encore représenter sous la forme

V r {n -H 1) . > TT A n— X r r

En y posant

jj __ r (g -f- g) T^ r (m — a; -<- fi -t- w) .X r {,ï — n) ' a; F (m — a;) '

nous trouvons que la différence

A" r{x-*-CL) r (m — œ -f- [i -t- n) r (a; — n) V (m — x)

est égale à

et, ayant d'après (6)

A'' I' ('» -t- (^ H- X — a;) . , a F(n-t-3-Hl) F (w -f- fi — a;)

A»— ^ F (a: -t- g) F (n -^ g + 1) F(aw-a) F(a; — w) F (g -i- X -i- 1) F(a; — X)'

on aura pour la valeur de la différence

l'expression suivante

X' (— ir F (n -t- 1) F (n -t- g -H 1) F (h -4- p -H 1) F (w -t- [^ — a;) F (a; ~t~ a)

F (X -♦- IJ F (H — X t- 1) F (a -H X ^- 1) F (k -t- P — X ^- 1) F {m — w - h X — x) V {x — X) '

Divisant cette valeur de la différence

A«l>^4-g) Zl F(a; — w) F(m — x)

par

F (a; H- g) F (m — a; -t- fi) F (x) F (m — x) '

ou a le quotient

V (- 1)^ r (» -n) r (n -4- g -I- 1) r (« -♦- p -^ 1) r (m - x) r jx)

jt^r(k-h 1) Vin — li- 1) r (a -t- X -H 1) r (n -+- (i — X ^- 1) V (m — n-i-X — x) V (x - X)'

Or, d'après (1 1), cette cxpressiou est égale à la fouction 9^ (x). D'ailleurs, ayaut

r {m - n Z t- X) = ^^^^ — ^ — 1 ) {m—x — 2) (ni — n-i-'k — x),

ZM__(^1)(^2)....(^A),

tous les termes de cette somme représeuteut des polynômes de degré n.

SDR