LES EXPRESSIONS APPROCHÉES LINÉAIRES PAR RAPPORT À DEUX POLYNOMES

Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. Deuxième série. Tome I. Ann 1877, p. 289-312.

(9 npiiSAii^canuKoc^ Supa:JccHisioois ^

(LTprîJioKenio K7> XXXtomj 3anncoKT> Uni nepaTopcKofi AKa^ewin HayKT., JVà 4, 1877 r., CTp. 1 — 24.)

Sur les expressions approchées linéaires par rapport à deux polynômes.

§ 1. Dans une Lettre à M. Brasclimaun''^), nous avons montré de quelle manière, eu développant une fonction ti eu une fraction continue

et déterminant ses fractions convergentes

Jj___?o^ i\ ■ ^L gp -«- 1

Qi 1 ' Ç2 Qi ' * ' ' '

on peut trouver les valeurs des polynômes X, Y, pour lesquels l'expression

îiX— Y

diffère le moins possible d'une fonction donnée v.

Ainsi que nous l'avons indiqué dans la Lettre que nous venons de citer, et démontré dans le Mémoire intitulé: Sur le développement des fonctions en série au moyen des fractions continues **), les polynômes X, Z, qui satisfont à cette condition, sont déterminés par les séries

{ X= 0), Ç, -I- IO2 ft -H CO3 ^3 ■

I r=— J?z;-f-to, P^-f-tOg Pg-t-w^P^-i-.. ., où nous désignons par E la partie entière d'une fonction et par

*) T. I, pag. 611—614.

**) T. I, pag. 617-636.

des fonctious entières, que l'ou obtient au moyen de la valeur de la fonction

V et des dénominateurs

fournis par le développement ci-dessus de la fonction u en fraction continue, au moyen de la formule générale

que l'on peut écrire, d'une manière plus abrégée, (2) co, = (-l)^-^i.'(g,F«.)),

en représentant par la notation

l'ensemble de tous les termes du développement de la fonction vQ^ qui renferment des puissances négatives de la variable.

En arrêtant les séries ci-dessus aux termes correspondants quelconques

on trouve le système des polynômes X, Y, tel que X est d'un degré inférieur à ^„j^i, et que la différence entre l'expression uX — Y ai la fonction

V est du degré le moins élevé compatible avec la supposition que X est un polynôme de degré moindre que Q„^^^■ Alors, le degré du polynôme X est déterminé par le degré du terme

le dernier des termes conservés dans le développement de X, et le degré de la différence

nX—Y—v

est déterminé par le degré du premier terme de la série

qui ne se réduit pas à zéro ''').

En supposant que le premier de ces termes soit

*) Voir les articles cités plus haut, et uotre Mémoire intitulé: Des maxima et minima des sommes composées des valeurs d^une fonction entière et de ses dérivées. T. IF, pag. 3—40.

et désignaut ptir p le degré de la fonction

on conclura de ce qui vient d'être dit que, en général, le degré d'approximation de l'expression uX — F par rapport à v est déterminé par le degré du produit

et conséquemment par le degré de la fraction

VU que, d'après les propriétés des fractions convergentes, le degré de la différence

uQ — P

est égal au degré de la fraction

On voit d'après cela que l'expression

uX—Y,

X, Y étant des fonctions entières, et X étant d'un degré qui ne surpasse pas celui de a;^C^„,, peut représenter la fonction v avec une exactitude poussée jusqu'aux termes du degré de

dans le cas seulement oii les équations suivantes sont satisfaites:

OÙ nous désignons, suivant la notation d'Abel, par 8 le degré d'une fonction. Lorsque ces conditions sont remplies, les séries (1), arrêtées aux termes ^^Jè„^^ ^'^nJ\n^ donnent, comme on l'a vu, une valeur de X d'un degré au plus égal à celui de oc'^Q^, et l'expression uX — F diffère de v par des termes d'un degré au plus égal à celui de

vm -t- n -h- 1

D'après cela^ les conditions nécessaires et suffisantes pour que la formule uX ~ Y

puisse représeutor la fouctiou v avec une exactitude poussée jusqu'à x~^^ le degré de X ue surpassant pas ili, s'écriront ainsi

( ^^«-4 1 = ^' ^^n+. = 0, . . . , œ,^^,,__^ ■= 0, en désignant par

les derniers dénominateurs des fractions convergentes

(>i' Q-i Qz " '

dont les degrés ne dépassent pas les limites M et N — 1, et par a, p les degrés des fractions

■Çm' ^^^'

§ 2. Nous allons maintenant démontrer que ces conditions peuvent être remplacées par celles-ci, qui sont plus simples:

(4) ^''nvQi.,)fJ"-^~. ZF{vQ,)<l%,

dans lesquelles

sont les deux derniers termes de la série

qui, étant multipliés entre eux, donnent un produit de degré moindre que

Pour cela, trouvons d'abord une limite supérieure des degrés

lF(vQ„\ 8F(«e„,,),. . . ., lF(vQ,^^,)

dans le cas où les conditions (3) sont satisfaites. Après nous être convaincus, de cette manière, de la nécessité des conditions (4), nous démontrerons que celles-ci, de leur côté, supposent que chacune des conditions (3) soit remplie. D'après la liaison qui existe entre les fractions convergentes

de l'expression

^ = îo-H-^l

ce qui douue, en multipliant par v,

En passant de l'égalité des fonctions h l'égalité de leurs parties fractionnaires, on trouve, d'après notre notation,

(5) nvQt ,,) = n^Q^q,) -*- F{vQ.;).

En décomposant maintenant les fonctions

en une partie entière et une partie fractionnaire, il vient

vQ^. = Ei^uilg.) -*- F{vQ,q,\ ce qui donne, par l'élimination de Q.,

F{vQ.q.) = q,F{vQ,) -f- q^EHl) - E{vQ,q,).

Portant cette valeur de

F(vQ,qi)

dans l'égalité (5), et désignant, pour abréger, par U^ la fonction entière

Fivilq^)-giE{v(l), on obtient l'égalité

Si nous remarquons que les fonctions

FKW,\ F{vQ,,)

ne contiennent que des termes avec des puissances négatives de la variable, on en conclut

E{g,FivQ,))=U„

ce qui, d'après la formule (2),

nous donne

et, en conséquence, l'expression trouvée plus haut de la fonction q^FivQ.) est fournie par l'égalité

q. F{vQ,) = F[vQ.^^) - Fl^oQ,^^) -f- (- 1)'-^ co.,

qui nous servira à obtenir la limite supérieure des degrés des fonctions

n^QJ> -f-'K'»^,) , i'\''(L*n)

dans le cas où l'on a

^^n-^l = ^^ ^m-^. = 0, . . . . , co,„^^^__^ =:= 0,

Comme, dans ce cas, pour toutes les valeurs de i, depuis i = 7n-^-l jusqu'à i=:')ji-\-n — 1 inclusivement, la fonction w^. se réduit à zéro, il s'ensuit que, pour toutes ces valeurs, l'égalité que nous venons de trouver se réduira à la suivante:

(G) qi F{vQ.) = F{vQ.^J — F{vQ.;).

En remarquant que la fonction q. est d'un degré non inférieur au premier, on conclura de cette égalité que dans la suite

parmi trois tei'mes consécutifs

HvQi^X FivQi), F{vQ,__^), la fonction du milieu

devra dans tous les cas être d'un degré moindre que celui d'une des fonctions extrêmes

F{vQi J, F{vQ,^).

On voit par là que, dans la suite

aucun des termes intermédiaires ne peut présenter un maximum, et par suite il ne peut y avoir qu'un minimum. En supposant que

soit le premier terme de la suite

mKU: ôFiv<J„^^),.... il'lvQ,,,^,)

qui donne une valeur minimum, nous remarquerons que, pour toutes les valeurs de i, depuis i = m-^ 1 jusqu'à 1 = 1 — 1, la fonction

sera d'un degré plus élevé que

et par suite, d'après l'égalité (G), son degré déterminera le degré de l'expression

Ou tire de là^ pour les i grandeurs considérées, l'égalité

Eu y faisant

'1 = 111 -^ Ij ;m H- 2, . . . . , A — 1 ,

on obtiendra une suite d'équations qui serviront à passer successivement de la fonction

aux fonctions

Ces équations nous donnent

ol^XKL^.) = ^^ ^'^'^"'^ ^

En passant aux termes de la suite

qui suivent le premier terme meutionné

uous remarquerons qu'aucuu de ces termes ue peut être moindre que le terme eu question, et par suite nous aurons ou

ou

selon (|ue le ternie en question devra, ou non, être suivi d'un terme qui lui soit égal.

Tour ce qui est du troisième terme

il ne peut avoir la même valeur que le terme en question; autrement il se trouverait, dans la suite

l'\vQJ, /'W„.^,),...,^-(^',>,„-.„)

trois termes du même degré, ce qui a été démontré impossible par ce qui précède. On voit par là que, après le terme

de la suite (7), les termes doivent aller nécessairement en croissant, et par conséquent, pour toutes les valeurs de i, depuis {=:!-*- 1 jusqu'à i — tn-t-n — 1 , on aura

Il s'ensuit de là, en vertu de (6), que, pour ces valeurs de i, le degré du terme

sera déterminé par le degré du terme F{vQ^^j), ce qui suppose l'égalité

En y faisant tour à tour

iz=m-h'n — 1, m-i~n — 2,...., X-+-1,

on obtient une suite d'équations, qui serviront à passer successivement de la fonction

-^253 — aux fonctions

De ces équations on tire

S/'TKW„-,)=S^,„

S/yY^O, ) = 8 ^Mm±n) ^

§ 3. De cette manière on déterminera, au moyen des deux fonctions extrêmes de la suite

F(vQJ, Fi^Q^^,)^- ■ ■ ■ ^(««.^»-,). F{vQ.-.,) les degrés de toutes les autres, à l'exclusion d'une seule fonction

Pour déterminer le degré de cette fonction, remarquons que la formule (6) donne, pour i = \

Comme, en vertu du paragraphe précédent, les termes

F{vQ,^,\ FivQ,,) sont des mêmes degrés que les expressions

3m-+-f» — 1 9m-t-n — 2- • • • 3X-t-i FjvQm)

(Zm-i-i 2m-i-2 • • • • 2X— 1

l'une au moins de ces expressions sera d'un degré non inférieur à celui de

et par suite nous aurons

mvQ,)^K^.,J^:'''\

^ ^>^^ qm-^-n—l flm-i-n

9nt-4-i 9fn-»-2 ■ Ta— in

Comme, en vertu du paragraphe précédent, pour

i = m-i-l, wi -+- 2, . . . . X — 1 , i = X-i-l, X = 2,.... m-t-n — 1 on a ou l'égalité

* Um-t-i ?m-H2 Ht

OU l'égalité

m^^Qi)^-^',

^m-t-n — 1 Gm-t-n — 2- • ■ ' Qi

et qu'alors il est évident qu'une au moins des conditions

FjvQm)

Om t-n — i Qm i-n — 2* • ■ ■ Oi

que nous avons trouvées ci-dessus pour

est satisfaite, nous en conclurons que, pour toutes les valeurs de i depuis i = wi -4- 1 jusqu'à i = m-\~n — 1, on aura l'une ou l'autre des conditions

SF(i;0.)^8 ^^^«^ ,

^ ^'' Qm-t-iQm-t-2 '■• Qi

OU

Gm-\-n — 1 iin-t-n — 2- • • • ?t

Pour ce qui est des limites supérieures des degrés des fonctions elles peuvent être déduites des dernières conditions (3),

Pour cela, nous remarquerons que, d'après la formule (2), qui détermine les fonctions

Wj, «2, «3,. . . .,

on a

<"»=(-i)""~'«(î„^wj),

'"^^n = (- 1)""""-' «(?„„. F(vQ„^J);

d'où il s'ensuit que les conditions précédemment démontrées relativement aux degrés des fonctions

supposent que les fonctions

q FivQ ), q FivQ ) ne sont pas de degrés supérieurs à

et que, par suite,

En conséquence, les limites trouvées plus haut du degré de F(vQ.) se réduisent à celles-ci,

ou

^F{vQ.)'^J

xP

?m-4-n ^m-t-n — i • • • • ît

Ces formules sont susceptibles d'une simplification notable.

D'après notre notation, la fraction convergente du développement

u = qf.-*-— 1 ,

correspondante au quotient incomplet q^^, est