PA

et par suite le produit des quotients incomplets

sera du même degré que le dénominateur Qk^.i' En vertu de cela, on trouve que les produits

Im i-n "m-^n — i • • • • Hi

seront de mêmes degrés que les fractions

Qm Qi

Par conséquent, les égalités que nous avons trouvées plus haut donnent Si'«)5S'^. ou S7<'(,Ç^,<S£Î«£-.

VjH-i Vm-t-n-4-1

Et comme, d'après cette notation (§ 1),

sont de mômes degrés que

ces inégalités conduiront à la suivante:

ai-^(.e,)5 8£-, ou <l%.

On voit par là que la limite supérieure du degré de chacune des fonctions

sera déterminée par la plus grande des deux quantités

Qi-t-i ^^

pour la valeur correspondante de i En supposant que dans la suite

les deux dernières fonctions qui, étant multipliées l'une par l'autre, donnent un produit d'un degré inférieur à M-\- N soient

nous remarquerons qu'elles devront satisfaire aux inégalités

et comme

ces inégalités supposent que l'on a

si i = l — 1, et que

si i = l; par conséquent, d'après ce que nous avons trouvé relativement à la limite supérieure du degré

nous aurons, pour i = l — 1 et i = ?,

SF(.ç,,)<r^,

m^Qi)â^B'

Nous allons maintenant démontrer que ces inégalités, déduites, comme on l'a vu, des conditions (3), exigent à leur tour nécessairement que chacune des conditions (3) soit satisfaite.

§ 4. D'après notre système de notations,

Qi—i Qi* Qi-+-\i.

représentent les fractions convergentes du développement

U = On H

qui correspondent aux quotients incomplets Eu représentant par

la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue

on trouve, en vertu des propriétés des fractions continues,

Multipliant cette égalité par «;, on a ce qui suppose l'égalité

En séparant les parties entières et fractionnaires des fonctions

il vient

vQi = E{vQi) -*- F{vQ;), vQ^S = E{vQiS) -i- F{vQi8\

vQi, = E{vQ^;) -H F{vQ,;^, vQ,^ T= E{vQ^^ T) -f- F{vQ^^ T);

par l'élimination de Q^^ Qi-^^-, en tant qu'ils sont en dehors des signes JE/, F, on en tire

F{vQ,S) = SF(vQ^ -f- SE{vQ^—E{vQ^S\

FivQ,, T) = TF{vQ^^)-A^TE{vQi;) — E{vQ^^ T), En portant ces valeurs des fonctions

dans l'expression trouvée plus haut de la fonction

et posant, pour abréger,

SE{vQ^) — E{vQ^S) -*- TE{vQ^;) — EivQ^^ T) = U, il vient (10) FivQ^^^) = SFivQ) -H TF{vQ-^;} -*- U.

Comme S Qi T sont les termes de la fraction simple

à laquelle se réduit la fraction continue

ir

ces quantités seront de mêmes degrés que les produits

et par suite de mêmes degrés que les fractions

Qi '

Qi-^n Qi-t-i

formées avec les dénominateurs des fractions convergentes

du développement

Ql Ql^^

Ql—i -H -