ZZ

îfH-fji— 1

D'après cela nous aurons

Ql Qi-*-x

En remarquant maintenant que, en vertu de (9),

'Ql'

mvQi)^ùll. ZF{vQ,y^"'''

on trouve

IS -H ZF{vQ^ = ^SF{vQ,) < a %!^,

Or, d'après (8), le produit

Qr ft^.

est d'un degré non inférieur h M-*-N; par conséquent la dernière inégalité donnera

^TF{vQ^;)<^^y:•

On voit par là que, dans l'expression de la fonction

d'après la formule (10), les deux termes qui contiennent la variable aux degrés négatifs sont d'un degré non supérieur à

et par suite

Si l'on remarque mainteuant que

nous en conclurons que

En faisant successivement dans cette inégalité

et remarquant que, pour ces valeurs de p., la fonction Qi^ ^^ atteint seulement la limite Ç^^„, dont le degré, d'après le § 1, ne surpasse pas N — 1 , nous en conclurons que

2î,F«>,) < 0, 8î,^,F(.-e,^,) < 0,. . . Sî„^„,r(^«3„^„,)<0;

d'où il s'ensuit que, en déterminant les fonctions

(0,, G), ..... (0 /' l-i-i> in-t-n—\

par la formule

i^. = i-iy-'E{q,F{vQ,)l on trouvera

En faisant maintenant p. = m -i- w — l, on aura

Sî„^F(«o„^„)<s%rî.

et par suite, en déterminant la fonction w^^^ par la même formule, on remarquera qu'elle sera d'un degré non supérieur à celui de ~*^""^\ Comme on a, d'après notre notation (§ 1),

on en conclut que

Ainsi nous nous assurons que les inégalités (9) entraînent nécessairement les conditions

^/ = 0' ^/-Hi — 0, ... . co^^„^ = 0,

Pour démontrer raaintenaut que la même chose a lieu relativement aux autres conditions (3), représentons par

Si s^

les fractions convergentes du développement

qui correspondent aux quotients incomplets g^2, g^j.

A l'aide de ces fractions, les fractions convergentes du développement

Ql—X—2 -+- - — —

qui correspondent aux quotients incomplets

seront déterminées les unes par les autres de la manière suivante:

Fl--i ^ Fl-l Si + P/-X-1 ^1 ^ Pl Fl-hS^-*-Pi^i,T^

En résolvant maintenant les équations

par rapport à

Qi—\i Qi—x—i^

et remarquant que, d'après les propriétés des fractions convergentes,

on trouve pour Qj-^ l'expression

Multipliant cette expression par v, et passant de l'égalité des fonctions l'égalité de leurs parties fractionnaires, il vient

Or, en vertu des égalités

on trouve

Portant ces valeurs des fonctions dans l'expression obtenue plus haut de la fonction

F{vQi y)

et faisant, pour abréger,

T,E{vQ,,) - E(vQ,^ T,) - T, E{vQ^) -^E(vQ^T,) = F, il vient (1 1) ± F(vQ,,) = T,F{vQ,__;,-T,FivQ,) -h F.

Comme, d'après nos notations,

Si S2

sont les fractions convergentes du développement

qui correspondent aux quotients incomplets

leurs dénominateurs T^, T^, devront être de mêmes degrés que les produits

^Z— À-l-l ^/— Xh-2 ^/— 2»

g/,H, qi-x-*-2 "" Î/-2 2/i

et par suite de mêmes degrés que les fractions Qi-i ^ Qi ,

formées au moyen des dénominateurs des fractions convergentes Ç/Xh-i' Qi-i' Qi

de la fraction continue

Ql-X -*-' . 1

par conséquent, on aura ^ ' ~*~ * • . ^

Mais on a, d'après (9), on tire de là

Comme, d'après (8), le produit Q^^ Q^ est de degré inférieur à M-*-N, la première de ces inégalités nous donne

On voit par là que les deux fonctions

T,F(«Q,-,), T,F{vQ,) sont de degrés non inférieurs à

et dans ce cas, d'après la formule (11) et en remarquant que V ne contient pas de puissances négatives de la variable, on trouve

ce qui, joint à l'égalité

nous donne

En faisant ici

et remarquant que, d'après le § 1, la fraction

reste de degré négatif, il vient

h„-^,FivQ„^,) < 0, Sî„^, F{v<L^^) < 0 h-,Pi^Qi-:) < 0;

d'où il s'ensuit que, en déterminant les fonctions

par la formule générale on trouvera

En posant dans la formule précédente

\ = l — m et remarquant que, suivant notre notation (§1),

on trouve

d'où l'on conclut, d'après la formule ci-dessus qui détermine la valeur de la fonction w,., que

Ainsi nous nous assurons de l'accomplissement des conditions

qui, avec les conditions déduites plus haut

0)^ = 0, co^^^ = 0,.... (o^^^^ = 0, Sw^^^= p,

comprennent toutes les conditions (3).

On voit par là que les inégalités (4) constituent les conditions non-seulement nécessaires, mais encore suffisantes, pour que la formule

uX—Y,

X, Y étant entières, et X de degré non supérieur à m^ puisse donner une expression approchée de la fonction v aux quantités près de l'ordre x~^ exclusivement.

SUR