ET SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UN AXE

(THADUXT PAK ï. W. MDSSTSCKEHSKY.)

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(npHJioseme ki> XXXIV lOMy SauHCOKt HMnepaTopcKOH AKa^eiiin HayK-B, JNs 3, 1879 r.)

Sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un axe.

§ 1. Dans un article intitulé: Sur un mécanisme'^), nous avons indiqué les conditions pour qu'un parallélogramme le plus simple réalise le mouvement qui diffère très peu du mouvement rectiligne.

Ce parallélogramme consiste de deux manivelles ^C'et Afi^ (fig. 1), de la même longueur, tournant autour des axes fixes C7 et G^, et de la bielle AÂ^ articulée aux extrémités des manivelles; le point M, qui exécute le mouve-

Fig. 1.

Fig. 2.

ment désiré, se trouve sur l'axe de la bielle AA^ à distance égale de ses extrémités AetA^.

Nous allons indiquer maintenant les conditions du même genre pour le cas, oii le point qui a le mouvement désiré ne se trouve pas sur l'axe de la bielle AA^, mais sur la perpendiculaire MN (fig. 2) également distante des points A et A^.

*} T. II, pag. 51—57.

Il est facile de voir que dans ce cas le mécanisme considéré comprend tous les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un axe.

Les conditions pour que ces parallélogrammes en leur forme générale réalisent le mouvement qui s'approche le plus près possible du mouvement rectiligne s'obtiennent par les mêmes méthodes que nous avons appliquées dans le cas particulier, qui était l'objet de la note citée.

Toute la différence consiste en ce que dans le cas général les calculs sont plus compliqués et par suite les conditions cherchées ne peuvent pas être exprimées d'une manière si simple comme dans le cas particulier que nous avons examiné, où la longueur de la perpendiculaire MN e?>t égale à zéro.

Pour présenter ces conditions sous la forme la plus simple possible nous introduirons une quantité auxiliaire au moyen de laquelle toutes les dimensions des parallélogrammes considérés s'expriment rationnellement.

Quant à la détermination de cette quantité auxiliaire, elle peut être calculée ou d'après le degré de précision que doit avoir le mouvement cherché presque rectiligne, ou bien d'après la longueur de la course, sur laquelle on désire avoir le mouvement qui s'écarte peu du mouvement rectiligne.

Les équations qu'on y rencontre alors peuvent être facilement résolues par approximation.

§ 2. En considérant notre mécanisme dans sa position moyenne (fig. 3), où AÂ^ est parallèle à GG^ , droite qui passe par les axes de rotation des manivelles, et par suite les angles ÂGGi et A^G^G sont égaux, nous posons

AGG, = A,G,G=^^.

La place du point M, qu'il occupe alors, sera prise pour origine des coordonnées, une parallèle à C6\ pour axe des x et une perpendiculaire pour axe des y.

En examinant la courbe décrite par le point M, nous observons qu'elle est symétrique par rapport à l'axe Oy, puisque tout le mécanisme est symétrique par rapport à cet axe; par suite, cette courbe, passant par l'origine, touchera en ce point l'axe Ox sans le couper; dans le voisinage de ce point la courbe décrite par le point M. est susceptible de devenir très peu différente de la droite.

Fig. 3.

Les conditions pour que cela ait lieu peuvent être représentées au moyen d'une quantité auxiliaire t de la manière suivante. En posant

ÂG=Afi^ = l, AA^ = a, NM=c,

nous déterminons les quantités a et c d'après les formules

(2) où (3)

cosq

rp 2 3iacp(l-t-<2)-t-^(3-^-<2)

Il est facile de montrer que, ces conditions étant remplies, la courbe décrite par le point M dans une certaine étendue plus ou moins considérable ne sort pas de l'espace limité par deux parallèles, dont la distance est

4 (1 -I- 2 sin ç . <

(2 sia 9 -+- 3« -f- 2 sin (f.f^-*- t^)^

et se rapproche donc rapidement de zéro, à mesure que la quantité auxiliaire t diminue,

§ 3. Pour déterminer les positions du point M correspondantes aux différents angles que fait la droite AA^ avec CG^ (fig. 4), nous désignons par a l'angle variable compris entre les droites AA^ et C'Cj , par ^ et y respectivement les angles AGG^ et Afi^G.

En projetant la ligne brisée OO^GANM sur les axes des coordonnées et observant que

AG=1, AN=-^, NM=c,

et que l'axe Ox est parallèle à la droite 06'j, nous obtenons les formules suivantes pour la détermination des coordonnées du point M:

x = — GO^ -H cos p — y cos a -4- c sin a, y = — 00^ -+- sin (^ — ^ sin 01. — c cos a.

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