CM8S

En remplaçant cosS par Vl— sin'S et élevant au carré, nous trouvons: [2 cos ç — a (1 — cos a)]^ (1 — sin« ?) = [a sin a sin 3 — 2 cos' o -+- a (2 ces 9 — a) (i cos où]-.

Il en résulte l'équation suivante pour déterminer la différence sin } — -^ sin a:

2 [2cos39-*-a [a — 2 cos 9) (1 —cosa)] | sin 3 — -^siua~^^ = [2C0S9— a(l— cosa)]V[l— cos^9 — ^i^^ill|-î2i£'(l— cosa)]. En portant ici la valeur de a. tirée de (1), et posant

(6) ■-^l-^y'lj'l^'ll-cosal on trouve l'équation:

(7) V i^sin 3 — usinai' r = [l-^-[r-— ])'>]* (i —cos^o.v). D'ailleurs d'après les formules !4) nous trouvons que

sin 3 — -^ smoL = y — c (1 — cos a)-*- sin 9;

en y portant la valeur de c tirée de l'équation (2) et la valeur de 1 — cos a d'après (6), nous avons

Sin 6 — — Sin 2 = 1/ -H Sin ç j-^ ^ (v — 1 );

par suite, l'équation (7) nous donne

(8) vSl^^-+-2r— sins — [2r— (J^-i-l) sinç]vp =

§ 4. D'après l'équation (8) que nous avons trouvée, il est facile de faire voir pour quelles valeurs de l'angle a le point JI se trouvera sur Taxe Ox.

Puisque l'ordonnée fj pour les points de cet axe est égale à zéro, on obtient les valeurs de v qui correspondent à la position du point M sur l'axe Ox de l'équation (S), si l'on pose

On trouve ainsi pour déterminer ces valeurs de v l'équation: v;2J— sino — [2T— (r2-f-l)sins]vî*=[l-H(T2 i)v]*(l— cos^o.v).

En éloignant les parenthèses et faisant passer tous les termes dans le premier membre de l'équation, nous voyous qu'elle se réduit à la forme:

(9) (v— 1) [(1—2 sino. T-^T') v— l]2 = 0.

En portant les racines de cette équation dans l'équation (6) et résolvant l'équation obtenue, nous trouvons toutes les valeurs de l'angle a, pour lesquelles la position correspondante du point M est sur l'axe Ox.

Cette opération effectuée avec la racine

nous donne

Lorsque l'angle a prend la valeur nulle, le point Jf, comme nous avons vu (§ 2), parvient à l'origine et la courbe qu'il décrit touche l'axe Ox sans le couper.

Procédons de la même manière avec la racine

" 1—2 sia?.T-»-T2'

observant que cette racine est double, nous trouverons d'après l'équation (6) les valeurs de a, pour lesquelles la courbe décrite par le point M et l'axe Ox auront un contact du premier ordre et par conséquent ne se coupent pas.

Il eu résulte que le point 31, se mouvant à droite et à gauche de l'axe Oy, restera toujours du même côté de l'axe Ox.

Eu considérant la position du point M relativement à la droite représentée par l'équation:

,^^x 4(1-4-2 smç.t-i-t^)t^

^ ^ ^ (2sin?-f-3«-l-2smcp.t2-+-«Y'

nous observons que les valeurs de v, pour lesquelles le point M se trouve sur cette droite, sont déterminées par l'équation:

AJ''* '4'° %' '" Z '",.r -4- 2r- sin o - [27- (1 H- î^) sin 9] v f

({2 smç -+-3<-4-2sincp.<2+-t3)2 , l ^ ^ lA )

= [1 -i-(T2 i)v]2(i cos2(p.v),

qu'on obtient, en portant dans l'équation (8) la valeur de y tirée de l'équation (10),

Portons dans cette équation la valeur de T d'après l'équation (3),

alors, la réduction faite, on obtient une équation qui, en y remplaçant l'expression