in(p.«H-6f2H-4smcpj3-i-t
par celle-ci
1 — 2 sin ç
Ti
1 H- 2 sia
qui lui est égale, peut être ramenée à la forme
L^ Vl— 2smç.r-+-T2J J |^ l-4-2 8iaç.<H-t2j — ^•
En appliquant à la racine double de cette équation les raisonnements que nous avons faits sur la racine double de l'équation (9), nous remarquons que ce n'est que la racine simple de cette équation
/ l-4-2sintp.<-f-«2 \2
^ U — 2 sia9T-+-r2J '
qui peut donner les valeurs de l'angle a pour lesquelles le point M traverse la droite (10).
Par suite, en désignant par a^ et — «j les valeurs de l'angle a qu'on tire de l'équation (6), quand v a la valeur indiquée, par
les valeurs correspondantes de la coordonnée x du point M, nous concluons que dans les limites: a? = — x^ et x^^x^Iq point M reste d'un côté de la droite (10).
Pour les valeurs limites: x—-^ — x^^ x = x^ le point ilf se trouve sur la droite (10) parallèle à l'axe Ox et pour a;=: 0 (§ 2) sur l'axe Ox même; par conséquent entre a? = — x^ et x = x^ le point il/ passe d'une de ces parallèles à l'autre; or, d'après ce que nous avons démontré plus haut, le point M dans les limites x=^ — x^ et x = x^ ne peut pas traverser ces droites; ce point ne peut donc pas s'éloigner de la droite parallèle à l'axe Ox^ menée au milieu entre Ox et la droite (10), plus qu'à la moitié de la distance entre ces droites, à savoir
2 (1-+-2 sin9.<-i-<2)^3
(2 sin cp -H 3« -H 2 sia cp . «2 ^ ^3)2
On voit ainsi qu'entre x = — x^ tt x = -\~ x^ la limite de l'écart du point M de la droite mentionnée, passant au milieu entre Ox et la droite (10) (nous désignerons cette limite par E) a la valeur suivante:
/|-.>> ^ , 2 (1-^2 3in(p.<-^<2)^3
^ ^ — (2siiiip-»-3«-t-2sin9.<2-t-«3)2*
§ 5. Pour la détermination des valeurs limites oc=zta^ et x = ±x^, pour lesquelles le point 3f traverse la droite (10), d'après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, nous posons dans l'équation (6)
/ 1 -4-2 8incp.<-i-<2 \2
on obtient alors pour déterminer les valeurs a = it aj l'équation suivante:
(12) cosa, = 1 —j^j^zrw) L(i-2sincp.r-^H " ij-
Pour trouver les valeurs correspondantes de la coordonnée a; = =t a;^ nous portons la valeur de cos^ tirée de l'équation (5) dans l'expression (4) de la coordonnée a:, qui devient alors
2 cos ç — a (1 — cos a) a
en remplaçant dans l'expression
2cos(p — a (l — cos a) a et 1 — cos a par leurs valeurs tirées des équations (1) et (6), on obtient 2coscp — a(l— cosa) = ^-^ [l h-(T2— l)v]. En déterminant, d'après l'équation (7), la valeur de
nous avons
d'où il vient
cos"" cp,
yp^
sm p ?7 sin a ^ cos-' ç
2 cos cp — a (1 — cos a) 2 cos cp '
par conséquent, l'expression de la coordonnée x que nous avons trouvée plus haut peut s'écrire:
x = — a X 1/ cos^ cp — -^1 sin a.
L2 cos cp ^ V T a J
On détermine ainsi la coordonnée x du point M pour les différentes valeurs de l'angle a; quant à la valeur de v, on la trouve de l'équation (6).
L'équation (13) nous permet de déterminer les valeurs extrêmes de , coordonnée a; =: db a;^ , en y faisant
Pour cette valeur de v on a
en portant la valeur T d'après l'équation (3), on trouve
1 — 2 sincp.r-t- r^ 1-+-4 8m(p.^-f-6^=^-t-4sin9.<3-t-^^
