L-T2zrr -*" - (i-'2). ^J sm a

2 — r2 rr — siny 2 (1 h-2 sincp.f H-«2)q

l'angle a^ étant déterminé par l'équation (12).

On trouve ainsi les valeurs extrêmes de la coordonnée x=±x^, entre lesquelles le point Jf ne sort pas de l'espace limité par deux parallèles:

p. 4 (1-h2 sia9.<-*-<2).r

" (2 sin 9 -H 3« -H 2 sin 9 . «2 -t- ^3)2 •

par conséquent, il décrit la courbe qui s'écarte peu d'une droite, si la ' quantité t est assez petite.

D'ailleurs la longueur du chemin parcouru par le point M sera déterminée par ses positions extrêmes; nous aurons donc, en désignant cette

longueur par /, d'après l'expression des valeurs extrêmes a;=±a;, trouvée plus haut:

,-,, , 2(2 — T2) rj — sinç 2 (H- 2 sin cp.« -|- ^2) q .

§ C. Dans le cas, où le point ilf doit avoir le mouvement qui s'écarte très peu du mouvement rectiligne, lorsque l'angle a varie dans les limites étroites, la quantité auxiliaire t et l'angle a^ qui détermine la limite des variations de l'angle a seront petits; par suite, toutes les formules que nous avons obtenues peuvent être développées en séries commodes pour le calcul numérique.

Nous trouvons ainsi, d'après l'équation (3),

T=2 sin cp -+- 3^ -I- ;

en remplaçant T par cette expression dans les équations (1) et (2), nous obtenons les séries suivantes:

cos 39 cos2 3?

tg 39 . cos 29 . cos2 9 „ cos3 9 (3 cos 29 — cos 49) ,

cos 39 COS339

En développant l'expression E d'après la formule (1 1), nous avons

1 3 — 2 sin2 ç

\2 sia2 9 2 siii3 ç

^^==±(.-Ti^— '7ir;"<H-.. . y.

On substitue à T dans les expressions

(1 -- T^f / l-»-2 sm(^.t-t-t^ \2 ^

la série qu'on a trouvée plus haut, alors ces expressions se développent en séries :

(4sia2 9-l)2 /^ ^ 3^ ^ \

8sm29.cos29 V sin 9 . cos 29 . (4 sin^ 9 — 1) ' ' • ' Ji

— SsinçJ-i-ie {dsm^(^ — l)f-h- ;

par suite, nous obtenons de l'équation (12) pour 1 — cos a, la série suivante:

n (4 sin^ 9 — 1)2 / 48 sinS 9 — 52 sin'^ 9 h- 18 sia^ 9 -f- 1 ,3 \

8in9cos29 \. sin 9 . cos 29 (4 Bm2 9 — 1) . . . . j.

En exprimant sin a^ au moyen de 1 — cos a^ , on trouve sinaj=y2(l — cosaj) — (1 — cosai)^,

ce qui nous donne, en y portant le développement de 1 — cosa^:

1 y siii9,cos2(p L 8in9.co8 29 (4 8in2 9— 1) t -+-.... ^.

En portant cette série pour sin a^ dans l'équation (14) et observant que les expressions:

2 (2 — yg) r — sin 9 2(l-t-2 sin 9.^ -*- f2)e

se développent en séries:

4 cos 9 . C03 29 12 cos 9 . sin 29 ,

cos 39 ' cos2 39 f -*"•••• ^

sin 9 32 sin* 9 — 16 sin2 9 — 1 ,

4 sin2 9—1 (4 sin2 9 — 1)2 i' -»-.... ,

on obtient, la réduction faite, pour la longueur de la course du point M dans le cas considéré la série suivante:

j 8 cos 9"/ — sin 9. cos 29.* r^ cos^ 9 (8 sin* 9 — 6 sin^ 9 — 1) , ~1

cos 39 [ sin 9. cos 29. cos 39 . . . .J.

§ 7. Nous avons examiné le cas, où l'angle a reste dans les limites qui ne diffèrent que très peu de zéro; maintenant nous allons considérer le cas, où l'angle a prend toutes les valeurs possibles depuis — u jusqu'à -htt. Alors la droite AA^ fera un tour complet par rapport à la droite CG^ et le point M décrira la courbe fermée qui sera entièrement comprise entre deux parallèles, plus ou moins rapprochées entre elles selon la valeur plus ou moins petite de t.

En prenant -i- u et — tt pour les valeurs extrêmes de l'angle a, nous posons dans nos formules

Pour cette valeur de a^ on obtient de l'équation (12)

, , 2 (1 — T2)2 [-/ 1-+-2 sin9.<-H^'^ V , "1

■"■ ^ T2(2 — 2^2) L\l— 2sin9.T-t-T2/ "^J'

d'où il suit

/ l-t-2 sin9.<-t-i2 \2 i

Vl -2sin9.T-i-T2/ ~(T2 i)2'

On déduit de cette équation

l-2sin9.rH-r2__^

l-t-2 sin9 «-^-^2 \^ ^)'

En portant ici la valeur de T d'après l'équation (3), on obtient l'équation suivante:

^*-t-4siuçJ«-+-6^3 j 4sin9J-4-l =

=i= j p-i- 2 sinç .^2 ^ 3^-f- 2 ûw^f — (l—t^f j. Eu résolvant cette équation par rapport à sin ç, on trouve

La dernière formule ne donnant de valeur réelle à sin cp pour des valeurs assez petites de t, moindres que V y, nous nous bornerons à la première formule.

En observant, que dans la formule retenue le signe du radical se change, lorsqu'on remplace t par — ^ et ç par — cp, nous ne la prenons qu'avec le signe supérieur.

On a ainsi

— < (^2 -t- 2) H- t/2 — <2 SI"? — 2(l-^<2) '

ensuite d'après l'équation (3) on obtient la valeur correspondante de T, qui se réduit à la forme suivante:

Or en portant ces valeurs de sin o et de T dans les équations (1) et (2), on trouve:

2tV2^^

rcoscp;

La même substitution effectuée dans l'équation (11), où la quantité E détermine la limite de l'écart du point M de la droite, on trouve pour B l'expression qui se réduit à la suivante:

Cet écart sera très petit dans le cas, où la valeur de t diffère très peu de zéro; dans ce cas toute la courbe, décrite par le point M^ s'écartera très peu de la droite.

Pour trouver la longueur de cette droite, qui peut être remplacée avec la précision, déterminée d'après l'équation (15), par la courbe, décrite par le point M, nous observons que les extrémités de cette droite sont déterminées par le plus grand écart du point M à droite et à gauche de l'axe Oy; quant à la valeur de cet écart, on la trouve en cherchant la plus grande valeur qu'atteint la coordonnée x du point M, lorsque a reçoit toutes les valeurs possibles.

Puisque dans le cas considéré nous avons

et par conséquent

yz (2 — r2)

{T2 l)2 (l-+-fi/2~«^f'

l'équation (G), qui détermine la valeur de v, se réduit à la suivante:

{i-t-tV2 — t^y

(1 — cosa).

En portant cette valeur de v dans l'équation (13), nous obtenons l'expression de X qui se représente ainsi

(l-t-tV2 — t^f

{l-t-tV2—t^)'

(1 — cos a)

OÙ les quantités a, c, cp ont les valeurs indiquées plus haut.

En déterminant d'après cette équation la plus grande valeur de la coordonnée X et la doublant, nous trouvons la longueur de la droite, de laquelle la courbe fermée, décrite par le point M, s'écarte très peu, si la valeur de t est très petite.

buK LJgxo JrAKALLJeALOGRiLMMUS