DE TROIS ÉLÉMENTS QUELCONQUES
(THADUIT PAH 3VC. A. XXKKOKANDKXTZKY.)
cocmojiuiux^ U3'6 mpex'è fiaâux% auSo sjiejtieumoê^.
(DpHJioœenie Kt XXXVI TOMy SanncoK^ IlMnepaTopcKOÔ AKa;ii;eMiH HayKi., Aa 1880 r.)
(Lu le 18 (30) décembre 1879.)
Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quelconques.
§ 1 . Daus le Mémoire sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un axe, lu le 5-me décembre 1878, nous avons montré les conditions à remplir pour que de pareils parallélogrammes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus grande précision possible. Ces parallélogrammes sont composés de deux droites (fig 1) AC, A^C^ qui
Fig. 1.
tournent autour des points immobiles C, G^, et d'une ligne AA^ qui joint leurs bouts mobiles; un point M, invariablement lié avec la ligne AA^, réalise le mouvement désiré.
Dans le cas, où AC—Afi^, AM^=A^M, ce mécanisme devient symétrique par rapport à un axe perpendiculaire à la droite, passant par les centres G, Cj. C'est ce cas particulier des parallélogrammes les plus simples qui a été l'objet du Mémoire cité. D'après les formules données dans ce Mémoire, on obtient les conditions, très simples, qui sont nécessaires et suffisantes pour que des pareils mécanismes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus grande précision possible, lorsque leurs jeux sont infiniment petits. Eu con-
*) T. II, p. 285—297.
sidérant un parallélogramme dans sa position moyenne, lorsque les angles A^AC, AAfi^ sont égaux, ces conditions peuvent être exprimées ainsi:
1) Les angles A^AC, AA^C^ sont égaux à — 3-—) ^ étant la valeur commune des angles A^AM, AA^M, et n un nombre entier quelconque.
2) Le rapport de la longueur des droites tournantes ^C, ^i6\ aux côtés AM = A^M du triangle AA^3I est égal à
cos2 3ç
COS 2ç.C032ç'
9 étant la valeur des angles A^AG^ AAfi^.
Dans le cas, où ces conditions sont remplies, le point M décrit une courbe qui a le contact du 5-me ordre avec une droite parallèle à celle qui passe par les centres C, 6\, et c'est la limite supérieure d'approximation à la droite des arcs infiniment petits qui peut être obtenue dans le mouvement du mécanisme considéré.
Le cas des mouvements infiniment petits, pour lequel les formules générales, données par nous pour les parallélogrammes symétriques les plus simples, se réduisent aux égalités citées plus haut, est digne d'une attention particulière comme la limite, à laquelle s'approchent de plus en plus ces parallélogrammes, lorsque la longueur de la ligue, décrite par 31 pendant le jeu, devient de plus en plus petite, et du quel diffèrent peu les cas qui se présentent eu pratique, où l'on ne cherche à rendre la plus proche d'une droite qu'une partie peu importante de la trajectoire du point M. Quant au passage du jeu infiniment petit du point M au jeu fini, on peut l'exécuter,
comme nous l'avons montré dans le Mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *), au moyen des fonctions qui s^écartent le moins de zéro.
§ 2. Nous allons maintenant considérer ces mêmes parallélogrammes dans le cas général quand les droites tournantes AG, Afi^ et le triangle AA^M sont quelconques (fig. 2). Dans ce cas général la limite supérieure d'approximation au mouvement rectiligne reste, comme il sera montré plus loin, le même, c'est à dire, les courbes
Fig. 2.
décrites par le point M ne peuvent avoir avec la droite de contact d'un ordre supérieur au cinquième. Les conditions pour qu'un tel contact ait lieu, dans ce cas général, se ramènent, comme nous le verrons, aux égalités semblables à celles que nous avons obtenues pour les parallélogrammes symétriques, à savoir:
1) Au moment, où le point ilf arrive sur la droite FG, ayant le contact du 5-me ordre avec la courbe qu'il décrit, les angles A^AG, AAfi^ sont déterminés d'après les angles du triangle AA^M par les égalités
OÙ w, n^ sont des entiers quelconques, égaux ou non;
2) les rapports des lignes AG, Afi^ aux côtés AM, ^jTWdu triangle AA^M, sont déterminés par les égalités:
AC "^"^ 2 cos^(3?-4-T). AiC,__ "^"^Y cos2(3(Pi-t)
AM /o T\ CO32 (CD -t- y) ' A. M I Y\ C0S2((p, — v)'
cos(2ç-t--^| ^' " ' cos(2?i — -^1 ^^1 "'
OÙ
4 A^ A^AM-\-1n-K
cp =. A^AG= -^ — 3 ,
A A r^ AA.M -\-2n,K
f^, = AAfi,= —^ !-,
et Y est l'angle entre la ligne AA^ et la tangente FG au moment, où les angles A^AG, AAfi^ ont ces valeurs.
Quant à la direction de la droite FG tangente à la courbe décrite par le point M, cette droite FG, d'après la propriété connue des courbes décrites dans le plan par des points en mouvement liés invariablement entre eux, doit être perpendiculaire à la droite MS, menée du point M au point de rencontre des droites AG, Afi^; ce qui détermine complètement la direction de cette ligue.
Pour embrasser tous les cas, où le triangle AA^M, dont les sommets A et A^ se meuvent sur des cercles, décrit par le sommet 31 une courbe, ayant avec la droite le contact d'ordre 5, il faut donner aux nombres n et «1 les valeurs
et on aura ainsi, d'après les formules écrites plus haut, neuf systèmes des valeurs pour les angles A^AC, AAfi^. En déterminant pour chacun de ces 9 systèmes des angles A^AG^ AAfi^ la direction de la tangente FG, nous trouverons ces deux valeurs pour l'angle y:
^ = AGM; t = AGM-^r.,
qui donnent pour chaque système des angles A^AG, AAfi^ deux systèmes des
droites AG, A^C\. Nous aurons doue ainsi en général 18 solutions du problème qui nous occupe, lorsqu'on considère le triangle AA^M comme donné.
§ 3. En déterminant l'équation de la courbe décrite par le point M, lorsque les points A et A^ se meuvent sur des cercles, on remarquera que les conditions, sous lesquelles cette courbe aura avec la droite le contact d'ordre 5, sont représentées par un système de 4 équations de degrés plus ou moins grands. Vu la complication de ces équations, il serait difficile d'attendre qu'elles se réduisent aux égalités si simples, citées plus haut. On les obtient facilement, en remarquant que pendant les déplacements infiniment petits du triangle AA^M le sommet M se mouvera sur la droite FG avec l'exactitude jusqu'aux infiniment petits du 6-me ordre. Et par cela, avec le même degré de précision, le mouvement considéré du triangle AA^3I ])0urrsi être déterminé d'après le mouvement des points M et A: du premier sur une droite, du second sur un cercle, et pendant ce mouvement, avec la même précision du 6-me ordre, la distance du point A^ au point 6\ doit rester constante. En déterminant les conditions indispensables pour cela, on aura aussi un système de 4 équations. Mais ce système d'équations, au moyen des quantités auxilliaires, se ramène facilement à une équation du 4-me degré. La solution de cette équation nous donnera des relations, très simples, entre les quantités diverses de notre question; par là on aura les égalités mentionnées plus haut.
Fig. 3.
§ 4. En abordant (fig. 3) la détermination du mouvement du som-
met Aj^ du triangle AA^M dans le cas, où le sommet M se meut sur la droite FG et le sommet A sur le cercle, décrit du centre C avec le rayon AG^ nous prendrons ce centre G pour l'origine des coordonnées, la droite parallèle à FG pour l'axe x, la droite perpendiculaire à FG pour l'axe y.
Nous désignerons par a, ^ les angles variables formés par AM, AG avec l'axe Ox^ et nous poserons
AG=r\ GF=h] AA, = a, AM = m, MAA,=A', 3IA,A = A,,
G,F, = x,- GF, = y,.
En projetant la ligne brisée GAA^ sur les axes des coordonnées, on trouve pour la détermination des coordonnées du point A^ pour les diverses valeurs de a et (3 les égalités
X = r cos p H- a cos {A — a); 2/ = r siu ^ -»- « sin (^ — a).
Afin de trouver la relation entre les angles a, p, projetons la ligne brisée CAM sur l'axe y et, en remarquant que cette projection est égale à GF= b, nous en déduirons l'éfiralité:
qui nous donne (1)
= r sm p — m sm a,
8 7)1 sia a + 6
En portant ces valeurs de sin (3, cos (^ dans les expressions trouvées plus haut des coordonnées du point A^, nous aurons
X = Vr^ — (m sin a-h-hf-i- a cos {A — a), y = m sin a -f- a sin {A — a.)-*- h.
En désignant par v.q la valeur de l'angle variable a tout près de laquelle, selon ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent, les variations de la distance du point A^ de G^ restent infiniment petites d'ordre non inférieur au 6-me, et par r^ la valeur de cette distance pour a = Kq, nous remarquons que l'expression de la distance de ces points
Vix — x.f-^iy — y;)^,
étant développée en une série procédant suivant les puissances ascendantes de la différence sina — sinap, nous donne l'égalité:
(2) y{x — x^f --t-{y — y^f = r^-^K (sin a — sin cl^^-^ ....
En prenant le quarré de cette égalité et s'arrêtant au 6-me degré de sin a — sin ao, nous aurons:
{x — x^f -k-{y — y^^ = r^ -+- 2r^ K{m\ a — sin a^^ -»-....
En portant ici les valeurs données plus haut des coordonnées du point Jj, on trouve l'égalité:
[W^ — {m sin oL-^hf-^a cos {A — a) — x^^ --\- [m sin a -H a sin {A — a) -+- & — y^^ = r^ H- 2r^ Z(sin a — sin 0L(f -+- ,
d'oii, en ouvrant les crochets et divisant tout par 2rx^^ ou obtient l'équation:
(3) [1— -sin^sina -cosaJ|/l— ( )
— sman — ^^ — cos a
L rxi rxi J
. « iVi — t>) cos A — ax^ sin A — my^ ^.^ ^ rx^
' ort ^^' = — -^^(sma — sinaof-*-
§ 5. Nous donnerons à cette équation la forme plus commode pour notre but, en posant
ou
(4) c? = sinao.
Pour cette expression du sin a, ou trouve
âz-t-l , 1 — d2 1 — (?2 djl — d^)
sin a — sin a.
cos a = V 1 — sin'
â = i/i («^ ')' = i^i^Vi^:^,
/KN i/-, /7»sinaH-b\2 Vr^ (g -h df ~[{wd^h) z-+- [m -y- db)]^
-■// rd — m — dh\i rd -+- m -\- db\
r{z-i-d) r V ~*~ r~md — bJV~^ r-i-md-^b)
i-d) Vr^ — imd-t-b]-
où nous avons posé
/ rd — m — dh\ ( rd-\-m-v- db\ , ^^ , w t \<i7<>
(^-^,-^,-J \'-^ r-.md-^b)='^'-^-^^ {z-g-^h) = {z-gf-h\
En évaluant d'après ces formules les expressions des différents termes
de l'équation (3), après y avoir remplacé sina par ^^^ , et divisant tout par
le coefficient de
nous remarquons que cette équation prend la forme:
(6) G-+-x^-[jiy^2 — i) y(^ gf —h^— (p^ H- p^^) yi^ZTT
En vertu de cette égalité, d'après laquelle l'expression
(Po -^ A^) y^^ - 1 — p^ ~ P3^ - p,.^
doit donner la valeur de la fonction
G-+-X-f-{x Vz^ — l) V{z — gf — }i^
avec l'exactitude jusqu'au terme en -^, il est aisé de trouver les valeurs des coefficients Pq, P^, Pg, Pg, P4 en fonctions de X, (x, g et /î, et une équation entre ces dernières quantités *). Afin de trouver les équations qui déterminent les coefficients
Poj M' ^2' ^35 ^^1
nous développons le premier membre de l'équation (6) suivant les puissances descendantes de s et égalons à zéro les termes en 0^, 2^, z^^ —, -^. Cela nous donne 5 équations linéaires par rapport aux quantités Pq, P^ Pg, Pg, P4, qui les déterminent complètement. En les résolvant, on trouve:
Pj = 4^}lY -+- /i* -^ 4:Wg\ H- (4/^2^2 ^ (/^2 1 )2>)^ .
Pg = (/^^ H- 1)^ -+- (/^^ — 1) X -*- /^v ;
P^ = 4/i2<;2 ^ 7^4 1 , 4^/j2;^ ^ (4^2 ^ ;^2 2) Ji^
*) On reçoit tout cela immédiatement par le développement en fraction continue, comme nous l'avons montré dans le Mémoire sous le titre: «Sur les expressions approchées linéaires par rapport au deux polynômes». T. Il, p, 245.
En portant ces valeurs de dans la formule
et en la développant suivant les puissances descendantes de z^ ou aura la série
-l))>-4-(4/-H37î»-3)3f.]l 7(' -+- (Sg''-t-6¥—i)gX'
qui nous donne, en la comparant avec l'équation (6), les égalités:
^* -+- 4 (3^=^ — 1)/ H- /i* — h^ H- (8/ H- 6/^2 — 4)^X IG [^^ (8r;* -♦- 4 (3/1^—2)^2 ^ (/^2__ i)2j ^
La première égalité présente l'équation, à laquelle doivent satisfaire les quantités X, [j., g, /«, c^; la seconde nous servira, comme nous le verrons plus baS; à déterminer la grandeur de la déviation de la voie rectiligne du sommet M de triangle ÂA^M, lorsque les sommets A, A^ se meuvent sur des cercles.
§ 6. Pour passer des valeurs
que nous avons trouvées tout à l'heure, à celles qui entrent dans notre question, nous remarquons que, d'après ce qu'on a montré plus haut, la formule (6) doit se réduire à la formule (3), lorsqu'on y porte la valeur de z tirée de l'équation
Comme on trouve par cette équation que
sin a — d d (sia a — d)"^
-Vz-
Vi^-gf-h'
~~T y (1 — d siu g)- — (sin a — df
7t ji—d^) ' Vh^-(g^d
^^(g2-/t2+ffdH-l) rf\2
nous remarquons, en comparant la dernière égalité avec l'égalité (5), que
T h{l — dP-) '
h^ g-i-{g^ — Ifi -^(jd-+-l)d
l/ /msina-
yh^ — (^g^^.clf sma — d
En vertu de ces égalités la formule (6), après y avoir porté
1 — (Z sin a
sin a — d
au lieu de 2, se réduit à celle-là:
h(l — d^) (X — d) sin a -+- l — dl-i- Vl—d- pi cos a
1 / /m sin a-
F, - P,d ^ (Pq - P,d) sin g y^j ^
(sin a - df *^ ^ (ï COS a
(Pg — Pgd -4- P^cZ2) sin2 g — (2 P^d — P3 (1 -f- c?^) ^ 2 P^d) sin a (siu g — dp
P.,d2 — P^d -f- P4 Z (sin g — d)*
"*~ (sin x — df (1 — d2)4 •"••••
En divisant cette équation par
hjl — d^) 1 — dX
y/i^ - (^ -4- d)2 (sing — d)2'
et la comparant après cela membre à membre avec la formule (3), on trouve
~ 1 — dX ' iJ./l — d2^
am sin A Pq — P^d Vh^ — {g-t-df^
rxi '~ 1-dX hVl-d^ ~'
« (^ — yi) sïP ^ — «a^t C03 ^ Py — Pfld Vh^ — (g-t-df^
rxi "l^^X^ 7il/i~ird2 '
am coa A Pg — Pgd -i- P4d2 Vh^^-{g-i-df ^
rxi 1 — dX hVl — d^ '
« (yi — &) C03 ^ — <^a;i sin A — m^i 2P2d — P3 (1 -t- d2) h- 2P4d >^/t2 (^g^dyi^
rxi 1— dX /i(l— d2) '
r^2 — r2 — a;j^2 y, (y^ — 2b) — «2 p^d2 — P^d -+- P^ Vh^ -{g-t-df
2rxi 1 — dX /i(l — d2)
nK
LVh'^-ig-t-df
(1— d2)5(i dX)/t
En divisant la première de ces équations par la 2 -me, et la troisième par la 5 -me et la 1-ère, on trouve les égalités:
(11) tang^ = -^~'^
IxV 1 — d2
m Pq — Pid Vh^ — {g -+- df
En éliminant tang J entre les deux premières égalités et en portant la valeur de ^ d'après (8) dans la troisième, on obtient les deux équations:
^ ■' ^^yïzrd2 — P^-P^d-^p^d^'
(13) CA-^)|/^^=^^^ = P,^-Po,
qui relient entre elles cinq quantités X, fx, g^ 7i, d. Ces deux équations, combinées avec l'équation (7), permettent de déterminer trois de ces quantités d'après les deux autres.
Comme les expressions de
sont des fonctions linéaires des quantités A, p., l'équation (13), ainsi que l'équation (7), seront du premier degré par rapport à ces quantités. En déterminant d'après ces équations les quantités X, p. et en les portant dans l'équation (12), nous aurons une équation qui ne contiendra que trois quantités g, h, d.
§ 7. L'égalité (13), après y avoir porté les expressions de P^, Pj, nous donne l'équation:
g]i^^h^^g2^h^^d~d Y?^^S-^ ^h'^4gd¥^-i- |/^ES^] X
-*- [(/2^ — 1) ^ — (^{h^ — 1 )2 -4- 4g'hA rf] p. = 0.
En résolvant par rapport à X — c^ et p, cette équation conjointement avec l'équation (7), on trouve
(14) ■k-d = f. pt = f-, oii N={8g''~2{¥—lf)gd-i-{4g''-^h^ — l)g''^
— [4 ih' -*^ 1)/ — Qi^ — If] {¥ — 1) d\
-H [2h^ -H (V -^ 3/.-^ - 1) /5!EM] ^, D = [4 {h^ -+- l)g^ — {h^ ~ 1)2] {h^—i)d - [4g^ -4- (2/^^ -i- 1) {h' - 1} -h (4^^ -^ S/z^ - 3) |/5îE^p!j^.
En portant ces valeurs de X — d et [k dans l'équation (12) et en posant (15) '-^ = 0, g = ch-d,
on trouve qu'elle se réduit à la forme:
[(3c — 4c') Vl — ^2 -H (1 — 4c2) dVl— c"] h'
-8c¥yi—c^—Q{dVl — c''-~cVl—d')h^ — 8dhVl—d^
— il—4:d')cyi—d^~{dd — 4:d')yi—c^ = 0.
On simplifie beaucoup cette équation en y portant les valeurs de d=^smocQ et de c, qui, comme il est aisé de le voir, est égal à sin^^j, où ^^ est la valeur de l'angle variable (3 qui correspond à a= a^. En effet, par la formule (1), en y posant
on aura
ce qui donne, après y avoir porté les valeurs de —, — déterminées par les formules (8):
En évaluant d'après les égalités
d = smocQ, c = sin p^
les valeurs des coefficients des puissances diverses de h dans l'équation considérée, on trouve
(3c— 4c=^)yi — c^2^(l — 4c2) Vl — c^c^ = sin SPo cos ao -+- cos 3j3o sin a^ = sin («<, -+- 3^^),
ScVl — c2 = 4 sin 2^0, 8dVl — d^ = 4: sm2oL„
GÇdVl — c^ — c y 1 — c^2) = 6 (sin «0 cos Po — cos a^ sin p^) = 6 sin (a^, — ^q),
il~4:d')cyi—d'^-t-{dd — 4:d')yi—c^ = sm{doc,-+-^,\
en vertu de quoi l'équation se réduit à celle qui suit:
%' Sin (ao-^3;3o)-H4 ¥ siu 2p,— 6 Ji" sin (a,— 3,)— 4^ siu 2a^— sin {^ol^-^-%)=0.
En résolvant cette équation par rapport à /?, on trouve qu'elle se décompose en ces deux équations du second degré:
h^ sin (a^-i- 3[3,)-+- 2 h [sin 2^0— sin (a^-i- ^,)] = sin (ao — |3o) h- sin 2 K-h W; /i^sin (ao-+-3^o)-f-2 /i [siu 2po-*-sin (ao-*-Po)] = sin (ao— j3o) — sin 2 (a^-i-Po),
qui, après avoir été divisées par se réduisent à celles-là:
2cos:^i:^% 2sin-
A2sinïoiL!Ëo^2/isin^^« ==sin^^^^,
/^2c0S?^^^«-4-2/îC0S^^° = -C0S ^^^«.
Et en résolvant ces équations du second degré, on trouve ces quatre valeurs de h
nJu
3ao -i- Po - 271
ao H- 8!io
3ao -t- Pq — 3tc
ao -+- SPo — 97C 4 "'4
En comparant entre elles ces quatre valeurs de h, nous remarquons qu'elles se déduisent les unes des autres, en diminuant l'angle ^^ de tc et en changeant les signes h- en — , et — en -h. Mais cela correspond, comme on le voit par la ligure (fig. 3), où
AGx = %, AG = r, AM=m, et où par (8)
au changement de direction de la ligne ^Cde ir conjointement avec le changement de la direction qu'on prend pour positive dans la détermination de la longueur de la ligne AG. En vertu de cela les formules qu'on reçoit en admettant pour à quatre valeurs mentionnées différeront entre elles
seulement en ce, qu'au lieu de (3^ elles contiendront ou p^ — u, ou p^ — 2t:, ou Po — 371. D'où l'on voit qu'on obtient tous les cas possibles, si dans les formules déduites en prenant
on met p^ — ku au lieu de p^, en désignant par îc un nombre entier et en déterminant en même temps la valeur de h par l'équation:
h=i-lf-
3ao -*- ?>o — ^^
8. En se bornant d'abord, d'après ce qui a été dit plus haut, au cas, oiî
et en portant cette valeur de Ji dans les formules du paragraphe précédent qui déterminent À — d et ^i et d'après lesquelles on a
et en posant pour abréger
3ia3(ao-HPo).sin--(ao-
3ao-+-pp
on trouve
N== sin I («0 -*- Po) . sin '-^^ . sin ^^ cos ao . F, ^,= cos|(ao-^Po).sin^^«.sin^i^, i) = [sin2Ïo:^cos|-(ao-HPo).sin^.sin^^»]F. D'où l'on obtient les valeurs suivantes pour X — c^ et p.:
sin — (ag -♦- 3o)-sin —
-*-io .. «0-1
- cos - (ao -H Po) siQ -^-4—81° -V~
cos — (ao H- ?>o) . sm °^ sm "^ ^^^ . ,ao-t-33o B~ . ^ • «0— 3o,- 3ao-f-3^
En portant ces valeurs de X — d et de [x dans la formule (11), où d'après notre notation V 1 — rf^ = cos a^, on trouve
tang A = tang |- (ao -t- po)-
Cette égalité est trouvée en prenant
Pour passer au cas général, où
sin 3ao H- Po — /c7t
(18) h = (-lf ^ ,',,,,
nous changeons, d'après la remarque du paragraphe précédent, dans cette égalité ^Q en fJ^ — k-, ce qui donne
tang A = tang - (ao -+- Po — A;7r).
On voit par cette formule que la différence des angles Aet^ {ocQ-t-^Q—kii) doit être égale à un multiple de 71, ce qui suppose l'égalité:
^ = Y («0 -»- Po — ^Tt) -H (W — I) 71,
n étant, ainsi que fc, un nombre entier.
Mais on voit par la figure (fig. 3), où d'après notre notation
A,AM= A, AMF = a^, ACx = %, que l'on a
GAM=iz — AMF—ACx = r. — a,~%, GAA^ = CAM-+- A,AM^ tz — Uo — ^o-^A.
En déterminant par la dernière égalité la valeur de la somme a^ -+- ^^ et en la portant dans l'expression de l'angle ^trouvée plus haut, nous obtenons entre les angles GAA^ et A la relation :
(19) A =dGAA^ — {2n — U -1-1)11.
Cette égalité nous montre que l'angle A du triangle AA^M et le triple d'angle GAA^, qui détermine l'inclinaison de la droite tournante AG
à la droite AAi , lorsque a = a^, ne peuvent différer entre eux que par un multiple de u. Pour faire nos formules plus uniformes, nous nous bornerons à l'hypothèse que la différence des angles dCAA^ —A contient le nombre u un nombre pair de fois.
On peut se borner à cette supposition, en augmentant de 180° l'angle GAAy ou, ce qui est la même chose, en changeant la direction de la ligne AG en direction opposée. Dans cette supposition le nombre h doit être impair, comme on le voit par l'égalité ci-dessus.
h = 2p-v-l^ GAA^ = (^, nous avons
^ = 39 — 2 (w — 32^ — 1) Ti,
et la valeur de h sera déterminée d'après (18) par l'égalité
qu'on pourra représenter ainsi h
.i^3ao-+-3o
-+-1)tc
„iii ^
.ij, «0-^-3^0
linsi
cos^«-"^^o-
En observant que d'après (8) on a
où, comme on l'a vu,
^-^— = sm {io, a = sm ao-
on trouve que r et m seront liés par l'équation
m 4 coj
aoH-33o— 3(2j) — 1)tc cos^ Oq
Les formules que nous avons déduites pour les angles A = A^AM, (^ = A^AC et les lignes r = AO, m = AM ont été obtenues, en supposant que pendant le mouvement infiniment petit du triangle AA^M le sommet M glisse sur la droite FG et le sommet A sur le cercle G, la distance du sommet ^1 au point (7i reste égale à ri=J^i(7j aux grandeurs du6-me ordre près.
D'après la remarque faite au § 3, cela doit avoir lieu en général,
lorsque pendant le mouvement des sommets A, A^ sur les cercles, décrits des centres G, G^, le sommet M se meut, aux grandeurs de 6-me ordre près, sur la droite FG, ou, ce qui est la même chose, décrit un arc, ayant le contact d'ordre 5 avec cette droite. Dans ce cas le sommet A^ se trouve dans les mêmes conditions que A; par conséquent les angles et les lignes adjacents à ce sommet doivent aussi satisfaire aux équations que nous avons déduites pour les angles et les lignes adjacents au sommet A. Par cette raison en posant (fig. 4)
Fig. 4.
A,EJE, = ^,, AA,M=A,, AA,G,=^^, A,M=m,, et en changeant dans les formules trouvées plus haut
«0, Po. A ?, ^> ^^h ^, P
en
«1, Pi, ^1, ?i, n, ^1, ^h^Pi,
nous aurons ces égalités:
3ai -f- Pt — (2j?t — 1) 71 Wj ^ 4 cos2 3,
§ 9. Les égalités que nous avons déduites relativement aux angles du triangle AA^M les déterminent complètement d'après les angles o = A^AG, (^j^ = AAfi^, malgré les entiers inconnus n, p, n^^p^ qui y figurent, parceque ces nombres y entrent multipliés par 2r.. Par suite, lorsque les angles 9, cpj et le côté AA^= a du triangle .4^jMsont donnés, nous le déterminerons complètement. En connaissant ce triangle et sa position par rapport aux droites AC, Afi^, déterminée par les angles donnés (^=A^AG, (f^=AA^C^, il sera aisé de trouver la direction de la ligne FG.
Dans le mouvement considéré du triangle AA^M les droites GA, G^A^ étant normales aux arcs décrits par les sommets A, A^, la droite MS, menée par le point M et le point d'intersection des droites AG, Afi^, doit être perpendiculaire à la droite FG sur laquelle se meut le sommet JM. Après avoir déterminé ainsi la direction de la droite FG et en remarquant que dans notre système des coordonnées l'axe des x est parallèle à cette ligne, il est aisé d'obtenir les angles
«0^ Po. «n Pi
que font les droites AM, AG, A^M, A^G^ avec l'axe des x dans la position du triangle, où son sommet M se trouve sur la ligne FG. En désignant par Y l'angle que fait alors la droite AA^ avec FG, nous déduirons des triangles AGF, AGM, A,GM, A,GG, les égalités:
AMF = MAG H- AGM^ ^ -*- y, AFM=:^iz — FAG — AGM=iz — <^ — -(, A,MG = AA,M— AGM= A, - y, A,G,M-^ -K — G,A,A -4- AGM= tt — ç^ h- y
D'oii, d'après l'égalité des angles
A3IF=AEG = cco, AFM= AGE= ^, A,MG = A,E,x = a, , A,E,G= Afi,M= ^^ , il suit
a,:=^-Hy, p, = Tr — 9 — y; a.^A. — y] ^j == ti — 9^ -f- y,
ce qui nous donne, après y avoir porté les valeurs trouvées plus haut des angles A, A^:
x^= 39 H- y — 2(n — 3p — 1)7t:; ^0 = "^ — ? — Tî aj = 39, — y — 2 (iZj — 3p^ — 1)7î; (3, = t: — 9^ -t- y.
En portant ces valeurs de a^, (B^, a^, p^ dans les formules (§8) qui déterminent les rapports y, ^, on trouve
CO32 (89 -f- y)
cosi 2cp-
y — (3n — 8p)7r\ cos2((p -+- y) '
C032(3cpi — Y)
Y -t-(3wi— 8/?i)7r'
\ cos2(cp,
et comme on a
COS ^ — 2~^ = COS -î — 2~^ • cos w^ir,
COS (29 -H '3 ^' j = COS (29 -. g-),
COS [2,f--'^^'\-""^'') = COS (2ç,- li!iV)cos V, ces formules se réduisent aux suivantes:
cos2 (3cp -I- y).
Y -I- nTT \ C032 (ç -+- y) '
s I 2cp -f- - — I
COS 1 2?i ■
2 cos2 (39i — y)
Y -+- njTiX ' cos2 (9j — y)
§ 10. Afin de déterminer l'angle y qui entre dans ces formules, nous remarquons que d'après la propriété connue des lignes droites menées d"un point aux sommets d'un triangle, ce qui a lieu par rapport aux droites SA^ SM, SA^ (fig. 4), on doit avoir l'égalité
sin AMS sJQ MAS sin AAjS
sin AiMS sin AiAS' sia 3IA^S^
OÙ, comme on le voit par la figure,
AMS = FMS—FMA = ^ — oc,; A,MS=GMS - A,MG :== |- — a,; MAS=T. — GAA, -+- A,AM=: tt — 9 -h ^; AiAB = TC — GAA^ = 71 — cp ;
AA^S = Tt — C^A^A = u — cpj , MA,S = u — G,A,A -+- AA,M = tz — <^^ -i- A,; en vertu de quoi cette égalité nous donne
C03 «0 sin {A — cp) sia cpj
cosaj sinç ' sin (^, — ç,)"
En portant ici les valeurs trouvées des angles A, A^, nous aurons
C03 ao sin 2ç sincp,
cosoL^ sin 9 sin29i'
ce qu'on réduit, en remplaçant sin 2©, sin 2cp^ , par 2 sin 9 cos 9, 2 sin cp^ cos ç, . à cette formule très simple:
(0]) cos gp cos ç
cos ttj cos cpi
En remarquant que, d'après ce qui a été dit plus haut (§ 9), ou a
ccq= o(^ -t-y— 2{n — Sp — 1)71, ai = 3cp,— y — 2(Wi — 3i?i — l)Tr,
nous en déduirons l'équation
cos (39 H- y) cos 9
cos(39j — y) cos 9j '
qui détermine l'angle y d'après les angles 9 et 9^. On donnera à cette équation une forme plus commode pour l'évaluation de l'angle y, eu la présentant ainsi:
cos (39 -4- y) — COS (39t — y) cos 9 — cos 9,
cos (39 -H Y) -»- cos (39, — y) cos 9 -h cos 9, '
ce qu'on ramène à l'égalité:
taug [y (? - ?i) -♦- y] tang ^^-=-^
cotang — (9-+-9i)
§ 11. En déterminant l'angle y par l'équation (22), on trouve pour lui entre les limites 0 et 27t: deux valeurs, dont la diiférence est égale à tt. Il n'est pas difficile de montrer qu'en donnant dans nos formules à l'augle y ces deux valeurs et eu prenant n, n^ égaux à zéro, on aura toutes les so-
lutions de notre problème. Pour cela nous montrerons en premier lieu que ces deux nombres ne peuvent différer entre eux par un nombre impair. On peut l'apercevoir d'après l'expression de la grandeur
qu'on tire de ces formules. Comme, dans notre système des coordonnées, l'origine se trouve au point C et l'axe des x est parallèle à la droite FG^ la grandeur x^ , qui représente l'abscisse du point G^ , sera égale à la projection de la distance entre les points C, C^ sur la droite FG. Cette projection, ainsi que la ligne a = AA^, ont dans notre question le même rapport au sommet A du triangle ^^^ilf qu'au sommet A^; donc la formule qui détermine — ne doit pas changer de valeur lorsqu'on y change
en
(pi, ai, Wi, — y,
qui ont la même signification par rapport aux sommets A, A^ du triangle AA^M; et cela suppose, comme nous le verrons, que n — n^ est un nombre pair.
En effet, par la formule (9) on trouve
asin A X — d '
Comme d'après notre notation
d = sin ao, 1 — cP = cos^ ao, et d'après (17), en supposant
on a
3o)sm^
>sin^
cosao
3ij,2«0-^3&o ^^^ 3(^^^
Po)-
• 3ao-tsiu — i^
la valeur de
asia^
sera représent
ée
par
la formule
cos cto.
cos — (ao H- Po)
cos aQ.siii'î -
sin
sm-
