RESUME

de la thèse sur l'intégration à l'aide des logarithmes.

Dans la théorie do rint6£>:ration des différentielles irrationnelles, la [)remiore place appartient aux différentielles qui contiennent rationnellement la racine carrée d'une fonction rationnelle.

Si ces différentielles ne s'intègrent pas sans l'aide des logaritliinos, on ne possède aucun procédé général d'intégration dans l'état actuel de l'Analyse.

Un tel j)rocédé est indispensable pour le perfectionnement de la théorie des fonctions d'Abel.

Il exige la solution de la question suivante: trouver des nombres entiers sous la condition que la somme do leurs produits par dos quantités données (irrationnelles ou imaginaires) soit nulle, si c'est possible; dans le cas contraire, démontrer l'impossibilité.

Dans l'état actuel de la Théorie des nombres nous no pouvons résoudre cette question que dans certains cas j^articuliors.

Cotte question étant résolue, l'intégration se ramène à la détermination de fonctions à l'aide d'équations indéterminées.

La solution de ces équations par la méthode des coefficients indéterminés présente de grandes difficultés.

VJll.

La solution s'obtient à l'iiiilc dos Tractions continues.

Ia' i'a|)|)(»i'i (les iiilruTalcs. à l'aiilc (Icsinicllcs .lacohi détcniiine les indices des J'onctions iiuerscs d'AIxd et d'auli'es de la niejue espèce, peut avoir une valeur irj-a( ioimclle et réelle.

St.-Pétersbourg, le 8 (20) mai 1847 r.

DES MAXÏMA ET MÎNIMA DES SOMMES

COMPOSÉES m VALEURS D'UNE FONCTION ENTIÈRE ET DE SES DÉRIVÉES

(TKADUXT PAÏl 3YC. N. 303S KKANIKOr.)

(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T, XIII, 1868, p. 9-42.)

G Hau6OA'bUill0C'6 tù naUMCHhlUtlX'& écAUX^UHaX'6 CîfMMIi^

cocmaêAcuuux'& U3is SHazcniû tpsjioû c^oyufmiu u est npousêodHuxu.

(ÏIpajiosBHie k-b XIE TOMy SanncoKT. HunepaTopcKOH ÂKa^eMia HayRt, A'a 3, 1867 r., CTp. 1—47.)

Des maxlma et minlma des sommes composées de valeurs d'une fonction entière et de ses dérivées.

§ 1 Le calcul des variations nous donne le moyen de déterminer les valeurs maxima et minima des intégrales uniquement dans le cas, oii la forme des fonctions inconnues, renfermées sous le signe de l'intégration, est supposée entièrement arbitraire. Mais si, d'après la nature de la question, la forme de ces fonctions inconnues est limitée par quelques conditions, leur détermination, en vue de rendre maximum ou minimum une intégrale, ou en général une somme quelconque de leurs valeurs, exige des procédés particuliers.

Nous nous bornerons ici à considérer le cas le plus simple de ce genre de questions; savoir, celui oii la fonction inconnue est supposée entière et d'un degré déterminé, et où tous les termes de la somme proposée s'expriment au moyen de cette fonction, de ses dérivées et de la variable indépendante, et forment une fonction également entière et de forme déterminée.

Ce cas mérite une attention particulière à cause de ses applications, qui comprennent, entre autres, la solution de la question de l'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés.

§ 2. Soit

une fonction donnée et entière de la variable indépendante x, du polynôme inconnu

y =1 Aq-^ A^x-i- ....-+- AiX^ -\~ . . .-+-^,„i^'"~^

et de ses dérivées

Désignons par

une série de valeurs quelconques de la variable indépendante ic, que pour plus de simplicité nous supposerons différentes entre elles, et par

y^Fix., Vi.yî.yï, )

la somme des valeurs de la fonction

pour ces valeurs de la variable x. La valeur de cette somme dépendra de celle des coefficients

^0, ^1,. ... A^,. . . . A^^ du polynôme

et les valeurs de ces coefficients qui rendront la somme

^Fix., yi,yl,yï, )

un maximum ou un minimum, d'après les principes du calcul différentiel, seront données par les équations:

d^Fjxj, yi,yi\yi",-.--)

dlF{xi,yi,yi,yi",....)

cl A,

dl.F{xi, yi,yi,yi",...)

dAi ~ ^'

d^F{xi,yi,yi,yi",... .)

dA„

Mais comme les quantités

Ao, A^,. . . . A^,.... ^,„j n'entrent pas dans la formule

indépendamment des fonctions y, y\ y\ . . . . , la dérivée de cette somme par rapport à A^ s'exprimera en général ainsi:

d^F{xi,yi,yi',yi",....) -yç d Fjxj, yj, y/, y/^. . . .) dAi ^^ dAi

%;7 d Fjxj, yj, y/, yj",. . . .) dyj ^ -y d Fjxj, yj, y/, y/',. . . .)dyi' ^ ^^ dyi dAi ^ dy( dAi

2dF{xi,yi,yi',y^',....) clyj^ ^ dyi" dAi

Or la forme de la fonction

y = A^-\-A^x-\- -^ÂiX^-h- -t-A^^x'^~'

et de ses dérivées

y'=l.A,-i-. .. .-t-lAiX^~' -f- .... -4- (m— 1) A^,^^x'^-\ y"=1.2A^-^....-¥-l{l—l)AiX^~'-*-....-i-{m~- l) (m — 2) A^y-\ )

nous donne

En mettant ces valeurs des dérivées

dyj dyY dyj"

dAi^ dAi^ dAi^' ' ' '

dans l'expression trouvée pour la dérivée

d^F{xi,yi,yi' yj",...-) dAi

et en désignant, pour abréger, les valeurs des dérivées

dF{x,y, y', y",....) dF{x,y,y', y",...-) d Fjx, y, y', y",. . . )

dy ' dy' ' dy" ' '

pour X quelconque par

M, N, P,...., et pour X = X. par

— G — nous aurons

En déterminant, à l'aide de cette formule, les valeurs de la dérivée

d'2F{xi,yi,yi\yi",....) clAi

pour

nous verrons que les équations qui déterminent les valeurs des coefficiens du polynôme

qui rendent la somme

^Fix., y., y.\ y^\ )

un maximum ou un minimum, se réduisent donc à:

yM,x,-^^\.N,x'=0,

^M.x;^-'-^^{m—\)N.x;^-'-^-^{m—\)(m—2)P.x;''-'-^-....=Q,. § 3. Faisant, pour abréger,

{x — x;) {x — x^) (x — x^) (a? — a;^J = cp(ir)

et désignant par

les fonctions entières qu'on obtient en divisant les produits

M(^\x), N<^'{x), P9' (ic), . . . .

par cp (x), nous remarquons que les fractions

Mç'{x) N<f>' (x) rç' (x)

transformées en fractions simples, s'expriment ainsi:

9 (a;) ^x—Xi'> 9(1) ^x — Xi'> 9(0;) '^ ^œ — a-^-'* " '

OÙ, d'après notre notation (n® 2)