OH

a \ nfn ^*0

-^Po .i

où les deux premiers termes pris ensemble donnent

sm — (ao-i

et le dernier, en y remplaçant les expressions

sin2^:^o, sin^-^^sin^^-^'""

par leurs équivalents

|(l eos--^»), i(cos^

-cosao

se ramené a

sin Y («0 -*- 3o)l cos °^°"^ ° — cos ao J

En vertu de cela cette formule nous donne:

..sia|(.„^W^^^^^^^^^ (.-cos'-q^o

cos -ii-— !^ — cos OCq

Nous avons déduit cela, en supposant

Pour passer au cas général, oii

sin

8^0-*- Po-

-ikTT

sia

on doit, d'après ce qui a été dit au § 7, mettre ici ^^ — hiz au lieu de j^g. On obtient ainsi la formule

a., sin |(ao-f-3o- /.•-) ,^^33^.3,, (l

an -i- 3o — ^""^ C03-ÎÎ ^ cosag ■

Après avoir trouvé d'après les expressions de /c, A, a^, p^, données dans les §§ 8, 9, les égalités

sin -| («0 -H po — JcTz) = èm (89 — Sn-rr-f- Sît)^ — ( — if sin 89,

cos (--^o-^^^^o-^^^) = ces (y -4- *i7r — 71) = — (— 1 f cos y,

sinu4 = sin (89 — 2 (n — 3p — l)7r) = sin 89,

cQ^^^iH^^ziJïl = cos (9 — WTT -Hu) = — (— If cos 9,

nous déduirons de la formule précédente

(— 1)" -*- cos Y

:cosy-

cos ao

Eu changeant ici a^, 9, y, n en a^ 9^, — y, n^, nous trouverons, d'après ce qui a été dit plus haut, pour la même grandeur ~ encore une autre formule:

(— l)"i-t-cosy

-i = cosy-

En comparant entre elles ces deux expressions de ^, oii d'après (21)

coscp cos cpi

cos Sq cos aj

nous remarquons, qu'elles deviennent identiques seulement lorsque

ce qui suppose que la diiîérence n — n^ est un nombre pair.

Après s'être persuadé que dans nos formules les nombres n et n^ ne peuvent se différer que par un nombre pair, et en observant que d'après la composition des formules

2 cos2 (3cp -f- y)

/^ y-t-n-K\ C032(cp-i-Y) '

cos 1 2ç -4- -^-- j ^^ '^

cos '

2 cos^ (39t - y)

' cos (2cp,- 1:^2— ) '"''^^'""^^

les nombres n et n^ peuvent y être faits > — 1 et < 2, nous concluons que par rapport à ces nombres ne sont possibles que deux hypothèses: ou

C082(3cp-f- C0S2 (9 H-

cosi 29

cos

cos(^2cpi

ils sont tous les deux égaux à 0, ou tous les deux égaux à 1. Mais ces deux cas seront compris dans un seul système dos formules:

où l'angle y peut avoir deux valeurs différents entre elles de tt, qu'on tire de l'équation (22).

Ainsi d'après les angles ç, cp^ et l'angle y, déterminé par l'équation (22), on trouve la grandeur des rapports

d'où, d'après les longueurs m=AM, m^—A^M des côtés du triangle ^.i^iY, on trouve les longueurs des lignes r = AG, r^ = A^G^.

Dans le cas, où le triangle AA^M sera donné, nous trouverons les angles 9, cp^, qui entrent dans nos formules, en remarquant que, d'après ce qui a été dit au § 8 par rapport à la détermination des angles A et A^ du triangle AA^M, on trouvera les mêmes angles A, J,, en prenant pour 9, cpj ces valeurs diverses:

fi— 3 •

En combinant entre elles ces valeurs des angles cp, ç^, nous trouverons 9 systèmes divers des grandeurs 9, 9^. En déterminant, pour chacun de ces systèmes des angles 9, 9j, l'angle y par l'équation (22), on trouvera pour lui deux valeurs; en vertu de quoi le nombre de solutions de notre problème dans le cas, où l'on suppose le triangle AA^M donné, sera eu général égal à 18.

§ 12. Nous allons maintenant nous occuper de la détermination de la grandeur des écarts du sommet M du triangle AA^M de la ligne droite, quand les sommets J, A^ se meuvent sur des cercles déterminés plus haut, en ne considérant que les positions du triangle qui sont infiniment proches de celle où le sommet M se trouve sur la tangente, ayant le contact d'ordre 5 avec sa trajectoire, et dans tous les développements nous nous bornerons aux premiers termes.

Nous commencerons de nouveau par la supposition, que le sommet M se meut justement sur la droite FG, et le sommet A^ décrit une courbe très proche de l'arc de cercle G^ (fig. 5),

Soit A'A^M^ une position quelconque du triangle AÂ^M dans ce mouvement, infiniment approchée de celle, où le sommet A^ se trouve sur le cercle (7, , et oià, par notre notation,

GAA^ = cp ; G^A^A = Çj ; oL = AMF=oi,', ^ = AGx = %.

Alors le point A\ ne se trouvera plus sur le cercle C^, et sa distance du centre G^ différera du rayon 7\ = Afi^ du cercle par la grandeur Â^S, pour la détermination de laquelle on reçoit d'après (2) une telle formule:

Â^S = K (sin a — sin ol^^-^ ....

Pour passer au cas, oii le sommet A^ se meut justement sur le cercle Cj, et le sommet M sur la droite FG approximativement, nous supposerons, que le triangle A'A\M^ tourne autour du point A' jusqu'au moment, où son sommet A\ arrive sur la circonférence G^ . En supposant que le sommet A\ arrive au point q de la circonférence (7j, et le sommet iW, , qui se trouvait sur

la droite FG, arrive au point t, nous observons, que les lignes infiniment petites Â^S, A\q, M^t seront liées entre elles par les égalités:

Or comme on a

ÂM^ = AM= m, A'A\ = AA^ = a, qA\S-= A'A\G—A'A\q = A'A\C, — ^,

et que l'angle A'A\C^ diffère infiniment peu de l'angle AAfi^ = c^^, ces égalités nous donnent

< ' o à' • Mt t in

d'où, en éliminant A^q, on tire:

^ a sm Çj

ce qui, après y avoir porté la valeur de Â^S donnée plus haut, se ramène à ce qui suit

1 a sin ?i

D'un autre côté, en déterminant la distance du point t de la droite jP6r, on trouve qu'elle est égale à

et comme l'angle FM^t est égal à |- — FM^A\ et l'angle F^M^A' diffère infiniment peu de l'angle FM A = a^, cette expression se réduit à celle-là:

ilfj^.cosao,

ce qui, après y avoir porté la valeur M^^t trouvée plus haut, nous donne pour la détermination de la distance du point t de la droite FG la formule suivante:

K—-. — - (sm a — sin ocS -+-....

a sm <fi ^ ^

D'oii l'on voit que dans le mouvement considéré du triangle AA^M, l'ordonnée y du point 3f, lorsque a diffère infiniment peu de a^, aura la valeur :

y^T-i T;r m C03 CCn / ■ • ^6

y = Gl^ — K — -. — - (sm a — sm aj -t- ....

^ a sm Çj ^ ^'

En remplaçant ici la différence

sin a — sin a^

par

(a — (Xq) cos a^, -f- . . . . , on trouve

Il = CF — K : — -° (a — aS-+- ....

^ a sin 9i ^ ^'

Cette formule nous montre, comment l'ordonnée y du point M varie avec la variation de l'angle a. Pour trouver la relation entre les variations de ic, y du point M, nous allons maintenant déduire la formule qui donne la valeur de x du point M pour les valeurs de a très proches de a^ .

Pour cela nous remarquons que la grandeur x est égale à la projection de la ligne brisée GÂM sur l'axe de x; par conséquent

X = AG. cos ACx -¥~ AM, cos AMF.

En portant ici les valeurs

AG=r; AGx=% AM=m; AMF = oc, on trouve

rc ^ r cos fl -I- m cos a.

En difFérentiant cette valeur de x par rapport à a, et en remarquant que d'après (1)

d?> m cos a

(Za r cos P '

on trouve

-r = — r sin ti 3^ 7n sin a = — m — ^ — ^•

f/a "^ (?a cos 3

En vertu de cela nous concluons qu'au voisinage du point x = MF, y = FG,

où a = «0, p = po, l'abscisse x aura la valeur:

x = FM~m -J^^^ o;(a-a,)-^-....

En déterminant de cette équation la valeur de la différence a — a^ et en la portant dans l'expression de l'ordonnée y trouvée plus haut, on aura la relation suivante entre x et y:

cos7aocos6fiog ^a:-FMf-^. . . .,

^ am^ sm cpi smC (ao -+- Pq)

que nous représenterons ainsi:

en posant

x, = FM, y, = GF,

jr cos' gp COS^ Pq K

0 amS.sia Çj sin^ {Hq -+- ^q)

Cela nous donne l'équation de la courbe décrite par le sommet M du triangle AA^M îm voisinage du point x^=x^,y^=y^, où elle a le contact d'ordre 5 avec la droite.

§ 13. Pour déterminer la valeur du coefficient K^ qui entre dans cette équation, nous observons que d'après (10), où

\-.d'= cos^ a, , ^'^''-^f^--9f ,,g p^^ les coefficients K et L sont liés par la relation :

rx, cos (Îq L

en vertu de quoi l'expression de E^, donnée plus haut, se réduit à celle-là:

rx, cos' ^0 L

0 am^ Ty cos^ a^ sia Çj sin^ [c/.q -+- Pq) (1 — dX)

En portant ici la valeur de x^ d'après (9) et les valeurs des angles A, a^, (3q d'après les formules du § 9, on obtient

j^ r cos' (o -+- y) sin 3? L

8 {3? -+- y) sia^ 2? sin cp^ X — d

Eu passant à la détermination du rapport

qui entre dans cette expression du coefficient K^, nous évaluons la grandeur L d'après la formule du § 5, en y portant les valeurs de \ [x, trouvées dans le § 7, et en prenant

. 3ao -»- pQ — fcTC ^ sm j

^^^( 1) . ao-t-3|3o — 3ft7r' sm— 7

En divisant la valeur de L ainsi obtenue par la grandeur X — d pour

la même valeur de h, on trouve, toutes réductions faites, pour la détermination du rapport de i à X — cl une telle formule :

. „ San -♦- Po — Iv:

^ ^ sm^-i^ f &in^ [iq-*- ^Q — TiTz)

cos ao sin y (ap -+- Po — ^^i) sm-* -^ 1 sin -^ 1

En portant ici la valeur de k = 2p -^ 1 et les valeurs des angles A, a^, Po, données dans le § 9, nous aurons:

cos^ 2cp -

En observant, d'après l'équation (20), que

2 / m2 COS'* (3? -+- y)

on déduit de cette formule

L m- cos-'^ (30 -+- y) sin^ 2cp

32r2 008"* (ç -+- y) sin 39. sin ç ces'*

OÙ. d'après le § 11 nous avons mis y au lieu de y-t-^iiz; en vertu de quoi l'expression trouvée plus haut du coefficient K^ nous donne

^ l /ces (9-hy)\3

32rri sin 9.sin 9i cos2 -^ '

§ 14. D'après cette formule il n'est pas difficile de montrer que pour les valeurs finies de r, r^, m, Mj, le coefficient K^ dans l'équation

ne peut devenir égal à zéro, et par conséquent la courbe décrite par le sommet M du triangle AA^M dans la question considérée ne peut avoir avec la ligne droite de contact d'ordre plus élevé que le 5-me.

Afin de le montrer, nous observons que le coefficient K^ ne doit changer de valeur lorsque dans son expression on remplace les grandeurs relatives à l'angle A

par celles-ci

qui ont la même relation à l'angle A^.

Nous aurons ainsi une nouvelle expression du Z^

Y \ Wj siu 2çj /

On voit par ces deux expressions du coefficient K^ que pour des valeurs finies de r, r^ , m, m^ il ne peut s'annuler que lorsqu'on satisfait aux équations

(24) cosfçH-Y) = 0, cos (9j — y) = 0,

d'oîi il suit que

OÙ q, q sont des nombres entiers quelconques. De ces égalités on trouve par l'addition et la soustraction

[ cp — 9^h-2y = (2 — g')Tu.

Mais on voit par (23) que les égalités (24), pour des valeurs finies de r, m, r^, m^, supposent ou l'égalité

cos-|- = 0, ou les deux égalités

cos (30 -♦- y) = 0, cos (3cpj — y) = 0.

Dans le premier cas on trouve que

y = (2g"-*-l)Tr,

q" étant un entier. En portant cette valeur de y dans l'équation (25), on en tire

Et en déterminant les angles du triangle AA^M qui correspondent à ces valeurs de o, (p^, on trouve, d'après le § 8, que chacun des angles J, ^1 doit contenir un multiple impair de ^, ce qui est impossible.

Eu passant à l'iiypotlièse

cos (39 -*-- y) = 0, cos (Soj — y)=:0,

nous observons que ces égalités conjointement avec les égalités (24) supposent

^, ([ étant des nombres entiers. Si g, q^ seront tous les deux impaires, les angles A^ A^ deviennent de nouveau impossibles. Si l'un d'eux est un nombre impair et l'autre pair, on ne satisfait pas à la première des équations (25). Enfin, si tous les deux nombres q^ q seront pairs, l'angle y d'après (24) devra avoir la valeur

Ço étant un nombre entier.

Mais pour de telles valeurs de 9, cpj, y dans l'équation (22), écrite sous la forme

cotang — (o-i-çi)

tang (9 ç,) -H y