MA,A = A
Les égalités précédentes se présenteront alors ainsi:
G,SG==^ — A; G,Gx = ^—A,', G.Gx^^ — A,.
En calculant d'après ces valeurs des angles G^SG^ Gfix^ G^Gx les angles du triangle GfiG^^ nous obtenons
GfiG^ = Gfix — Gfix = A^ — A,; GG,G^ = G,Gx-*-G^SG=Tz — A — A^; CG^G, = ir — G,Gx — G^SG= A-^A,.
Posant, pour abréger,
on déduit de ces valeurs des angles les expressions suivantes pour les côtés Cq, GG, du triangle:
x>/-Y sin{A-t-Ai) 7 ^^ 8in {A -t- A^) j
^^1 — sin [A^ - A,) ^' ^^2 — sm(A^-A,) '"
Puis, par ces expressions, on trouve pour les coordonnées x^, y^\ x^\ . y^' des centres (7^, G^\
< = CG, cos Gfix = 3t{j^"l;i cos G,Gx.l,
y; = GG, sin G,Gx='^^^^^m G.Gx.l,
x;'^ CG.xos C7,(7^ = f|g^cos G.Gx.l,
y"= CQ.sin <^2^^=sla(l,- jj^^" Gfix.l,
ce qui, en portant les valeurs ci-dessus des angles Gfix^ G^Gx^ nous donne
ic =^-1- ji-'sin^gJ; 2/i = wi tKcosAJ;
D'autre part, en exprimant les côtés AÂ^, AÂ^ des triangles AA^M^ AA^M par le côté AM = m^ ou trouve
i A sin AMAi ^ i . sin AMA^
1 &mMA^A ' 2 ^m MA^A '
ce qui, en portant les valeurs des angles MA^A=^ A^^ MA^A = A^^ AMA^ = - — A — A^, AMA^ = T. — A — A^, se réduit à
^^ sin(^ + A) ^^ sinM-^)^^
1 sin Â. ' 2 siii A^
Passant à la détermination des carrés des distances A^G^^ ^A^ iio^s remarquons qu'on les obtiendra par la formule (1), en y prenant pour x^, y^ les valeurs que nous venons de trouver pour les coordonnées des centres <7^, Gj et pour a les expressions ci- dessus de AA^^ AA^.
En multipliant les valeurs de A^G^^, Afi^ ainsi obtenues par ces expressions et en faisant la différence des produits, nous obtenons pour
AA^.Afil—AA^.Afi}
l'expression
sin A sin {A^ — A-^ a ain {A -+- Ai) sin {A -+- A2) sin {A-t- Aj-t- A^) 13
sin^i-sin^g sin^i sia ^j-^i'^ (■^2 — -^i) . n sig {A + ^i) ain {A -+- A2) 77 ain (A -f- ^i) sin {A ■+- A^) sin {^j — A^ sin 2t 3 ~*~ ^ sin ^1. ain ^2 ^^^ ~ sin^ ^^ . ain^ ^2 ^* J
qui ne renferme pas l'angle variable a et qui conservera, par suite, sa valeur pendant le mouvement considéré du triangle.
§ 8. D'après ce que nous avons montré relativement aux points qui dans le mouvement considéré du triangle reviennent simultanément sur les circonférences de certains cercles, on peut trouver en tout parallélogramme composé d'un triangle et de deux rayons un point qui décrive approximativement un arc de cercle, et cela avec le même degré de précision que celui, avec lequel le parallélogramme réalise un mouvement rectiligne.
En effet, soit donné (fig. 3) un parallélogramme composé du triangle
Fig. 3.
AA^M et des rayons AG, Afi^ susceptibles de tourner autour des centres (7, Oj. Soient ensuite: FG la droite, avec laquelle la courbe que décrit le sommet M doit avoir plusieurs points communs, et A^, G^ le point du triangle AA^M et le centre qui lui correspond, déterminés, comme il a été montré, dans la supposition que le sommet M du triangle AA^M se déplace sur la droite FG et le sommet A sur le cercle G,
Parmi les positions que prend le triangle AA^M dans le mouvement du parallélogramme, celles pour lesquelles le sommet M se- trouve sur la droite FG peuvent, évidemment, être considérées comme provenant du
mouvement, pendant lequel le sommet M se trouve toujours sur cette droite. Or nous avons vu que dans un pareil mouvement les points A^, A^ reviennent simultanément sur des circonférences tracées des centres C^, C^.
Donc, toutes les fois que le point M du parallélogramme viendra sur la droite FG, le point A^ se trouvera sur une circonférence tracée du centre Cg par un certain rayon; et, par conséquent, la courbe que décrit le point A^ aura autant d'éléments communs avec un cercle que la courbe tracée par le sommet Jf en a avec la droite FG.
Comme dans le mouvement, où les sommets A, A^ du triangle AAJ\l se déplacent sur les cercles (7, C^, le sommet M et le point A^ reviendront simultanément, le premier sur la droite FG, le second sur le cercle G^, les positions du triangle AA^M, dans le mouvement considéré actuellement, pour lesquelles le sommet M se trouve sur la droite FG, seront aussi les mêmes que dans le mouvement où le point A^ est assujetti à se déplacer sur le cercle 6\ et un des points A, A^ sur le cercle G ou C^.
On voit de là que dans les mouvements des triangles AA^M, A^A^M, considérés à part, les sommets
^) Aï
se déplaçant sur les cercles
le sommet M décrira une courbe dont les points d'intersection avec la droite FG seront les mêmes que pour la courbe qu'on obtiendrait, si les sommets A, A^ du triangle AAyM se déplaçaient sur les cercles G, G^,
Cela nous montre que si l'on remplace, dans le parallélogramme donné, le triangle AA^M par le triangle AAJM, ou bien A^A^M, en remplaçant, conformément à cela, le rayon mobile A^G^^ ou AG par le rayon ^2^25 ^^ ^® nombre des points d'intersection avec la droite FG de la courbe que décrit le point 31, ni la position de ces points ne seront pas changés.
