ÉTENDUES AUX MEMES VALEURS DE LA VARIABLE
(T]RA»UXT PAR C. A. POSSÉ.)
(9d^ omuouùcuiu 3é^xi5 uum^czpaAoê'ô ^ pacnpocmpaHCHHux^ ua o9h?5 u m?5 c^e Ôcauzuhu nepcMfëUUoû.
(EIpH^iioKeHie KT. XLIV lony 3anHC0Ki> HiinepaTopcKoâ AKa^eMin HayK-B, J^ 2, 1883 r.)
(Lu le 23 décembre 1882.)
Sur le rapport de deux Intég^rales étendues aux mêmes valeurs de la variable.
§ 1. Le rapport de deux intégrales
r Tudx J Tvdx
étendues aux mêmes valeurs de la variable x et renfermant sous leurs signes des différentielles ayant un facteur commun Y éprouve des variations plus, ou moins grandes, quand on change la valeur de ce facteur.
Nous allons montrer maintenant comment se déterminent les limites que ces variations ne peuvent dépasser, lorsque le facteur commun Y conserve la forme d'un polynôme de degré non supérieur à n. Nous supposerons en même temps que le polynôme Y et la fonction v conservent leurs signes dans les limites de l'intégration, ce qui est la condition nécessaire pour que le rapport
J Tudx J Yvdx
ne puisse prendre toutes le valeurs de — oo à -i- oo.
Pour simplifier nos formules nous supposerons encore que les intégrales
J Yiidx, j Yvdx
sont réduites de la sorte que leurs limites soient x = — 1 eta; = -*-l et que le signe conservé par le polynôme Y et la fonction v dans les limites d'intégration soit le signe -h.
§ 2. En abordant la détermination des valeurs extrêmes du rapport
(" Tudx
T Tvdx
dans les conditions posées ci-dessus nous allons démontrer que la plus grande et la plus petite valeur de ce rapport correspondent aux valeurs du polynôme Y qui satisfont à l'équation suivante:
Y=(l-i-xf {l—xfoZ\
où p =^ 0 ou 1; po = 0 ou Ij Z étant un polynôme entier d'un certain degré. Pour le démontrer, soit
la valeur du polynôme Y pour laquelle le rapport
I Yudx
f Tvdx
atteint sa limite supérieure ou inférieure dans les conditions posées.
Le polynôme Yq ne changeant pas de signe dans l'intervalle de x= — 1 àa; = -t-l, toutes les racines de l'équation
contenues entre — 1 et -i- 1 doivent être racines multiples et leurs degrés de multiplicité doivent être pairs.
Désignant ces racines par
et leurs degrés de multiplicité par
et supposant que
désignent les nombres des racines de l'équation
égales à
nous remarquons que le produit
représente un polynôme de degré non supérieur à celui de T^, que ce polynôme, comme le polynôme Yq lui-même, conserve le signe -4- dans l'intervalle dea; = — 1 k x = -*-l et que son rapport à Yq reste fini pour les valeurs de x entre x = — 1 et a; = -*- 1.
D'après cela, U étant déterminé par l'égalité
(1) U^ix-xf-'ix—xf"'. . . .(x — xf-'iï-i-xUl-x)"', et a étant un infiniment petit, l'expression
représentera un polynôme du même degré que Yq qui conserve comme celui-ci le signe -+- entre x = — 1 eta; = -i-l. Par conséquent la valeur du rapport
[ Yvdx
pour
ne pourra être ni la plus grande, ni la plus petite dans nos suppositions, si le rapport
J {To±a.U)udx
'f{To±zoiU}vdx
avec
l'un des deux
signes
de a est supérieur à
fToudx
'fTovdx
et avec l'autre — inférieur à cette quantité.
Or pour que cela soit impossible pour a infiniment petit, la dérivée par rapport à a de l'expression
j{To±oiU)udx
f(Vod
xU)vdx
pour a = 0 doit être nulle, comme on le sait, ce qui nous donne l'équation suivante:
-+-1 -1-1 -hl -pM 1 TQvdx . \ Uudx — ( Toudx . \ Uvdx •L.I J—i -L-i -L.!
r YQvdx
Les polynômes Yq, U et la fonction v restant, d'après ce qui précède, positives entre x = — 1 et a; = -*-l, les intégrales
J Y^vâx^ r Uvdx
ont des valeurs différentes de zéro, et dans ce cas il résulte de l'égalité précédente l'équation que voici:
TQudx Uudx
f ToVdx \ Uvdx —1 —1
D'où l'on voit que la plus grande et la plus petite des valeurs du rapport
j Yudx
{Yvdx
correspondent à
U étant déterminé d'après (1) par la formule
Désignant par o-, a^ les quotients et par p, p^ les restes des divisions de V, Vq par 2, nous trouvons
v = 2crH-p; v^ = 2cro-f- p^,
où p = 0 ou 1, po= 0 ou 1. En vertu de cela l'expression Z= 27 indiquée ci-dessus qui donne les valeurs limites du rapport
luâx
Yvdx
se réduit à la forme
où
Z = {x — xf'{x — xf\ . ..{x — xf'il Hr-xfil — xf'.
On voit d'après cela que les valeurs extrêmes du rapport
r Yudx
J Tvdx
dans le cas où le polynôme Y de degré non supérieur à n conserve le signe -+- entre x= — 1 eta7 = -i-l, sont égales aux valeurs extrêmes du rapport
j Z-i [1 -t- xf {l — x)P(> udx
jZ2{l-t-xf {1 — xfo^ax
où p^O ou 1, po = 0 ou 1 et Z un polynôme pour lequel le degré de l'expression
Z^l^xfil—xYo ne surpasse pas n.
Posant pour abréger
(1-^x^(1— xyoîi = 0,{x),
{i-^xy{i—x)^ov=âix),
nous allons nous occuper maintenant de la recherche du polynôme Z do degré donné pour lequel le rapport
J Z2 ô (x) àx
atteint sa plus grande ou plus petite valeur. § 3. Remarquant que le rapport
'^Z'i%{x)dx
fz2 6 {x) dx
ne change pas de valeur, lorsqu'on multiplie le polynôme Z par un facteur constant quelconque, nous concluons d'une part que le polynôme cherché contient un facteur constant arbitraire et d'autre part que par un choix convenable de ce facteur ou pourra assujetir le polynôme Z à satisfaire l'équation
^Z^O{x)dx=l.
D'ailleurs cette équation ayant lieu, le rapport
fz2 6o (a;) àx
se réduit à l'intégrale
J Z2 e (a;) âx
\Z''6^{x)dx,
donc, le polynôme cherché Z pour une certaine valeur du facteur constant
représentera la solution du problême suivant des maxima et minima relatifs:
«Parmi tous les polynômes d'un degré donné et satisfaisant à l'équation
\Z^6{x)dx=l
trouver ceux qui donnent à l'intégrale
\Z^â,{x)dx
la plus grande ou la plus petite valeur».
Multipliant par des constantes arbitraires les polynômes qui représentent les solutions de ce problême, nous obtiendrons les expressions générales des polynômes pour lesquels le rapport
fzHoix]
■:)dx
JZ2 0 {X]
■)dx
atteint ses valeurs extrêmes. Quant au polynôme Z qui fournit la plus grande ou la plus petite valeur de l'intégrale
'\z'0,(x)dx, sous la condition
-Hl
\Z^6{x)dx = l,
sa recherche présente un cas particulier du problême dont il était question dans nôtre Mémoire, sous le titre: Sur les maxima et minima des sommes, composées des valeurs d'une fonction entière et de ses dérivées *). Appliquant aux intégrales
\Z'^0^{x)dx, ^Z''0{x)dx —1 — 1
ce que nous avons donné en général à l'égard des sommes et changeant le signe du facteur auxiliaire X, nous trouvons que le polynôme Z de degré m — 1, qui procure le maximum ou le minimum de l'intégrale
\Z^ÔQ(x)dx sous la condition
^Z'^6{x)dx=l,
*) Voir, T. II, pag. 3—40.
se détermine par l'égalité suivante: * /■
Le produit Z ^" ^^^ ~ ^^ ^^^ dz aux termes en x~^ près inclusivement est égal à une fonction entière.
Cette égalité n'étant pas altérée par l'introduction d'un facteur constant quelconque dans le polynôme Z, l'expression générale de Z qui satisfait à cette égalité renfermera un facteur constant arbitraire.
La valeur de ce facteur se trouve à l'aide de l'égalité
\Z^O{x)dx=l
dans la solution du problême des maxima et minima relatifs indiqué plus haut; en passant de cette expression du polynôme Z à son expression générale qui donne les valeurs extrêmes du rapport
Z^OQ{x)dx
fz^Hx]
•)dx
on devra introduire de nouveau d'après les remarques précédentes un facteur constant arbitraire dans l'expression du polynôme Z.
§ 4. Désignant par F la fonction entière qu'on obtient en développant l'expression
,JM^
\Hz)^
suivant les puissances descendantes de x et par B^, B^. . . .les coefficients des puisances négatives de x nous aurons, d'après ce qu'on a vu à l'égard du polynôme cherché Z, l'égalité suivante
as — K -t- m-i-i ^^ ^m-t-2
d'où l'on trouve en divisant par Z,
\Oo{z)-U{z) j y ■ B, B^
On voit d'après cette égalité que la fraction
représente la valeur de l'intégrale
U,iz) -U{z)
dis
exacte jusqu'au terme dont le degré est égal à celui de ^^ inclusivement, ce qui n'est possible, comme on le sait, que dans le cas où dans la série des fractions réduites de l'intégrale
[%{z)-\Hz)^
qu'on obtient en la développant en fraction continue, se trouve une fraction
égale à
et la fraction réduite suivante ait un dénominateur de degré supérieur à m, ce qui suppose l'absence de la fraction réduite au dénominateur de degré m, car le polynôme cherché Z est de degré m — 1 .
Cela posé, il est facile de déduire dans chaque cas particulier l'équation à laquelle doit satisfaire la quantité auxiliaire X et de trouver l'expression des divers polynômes Z pour les différentes valeurs de X qui satisfont à cette équation. Quant au choix parmi ces valeurs de X de celles qui donnent la solution de nôtre problême, il ne présente pas de difficulté; car, comme on va le voir tout de suite, X est la valeur du rapport
J Z2 Go {x) dx
Z2 G {x) dx
Pour nous en convaincre, remarquons que, d'après ce qui précède, dans la série de réduites obtenues par le développement de l'expression
dz
en fraction continue, la fraction -^ est suivie par une fraction ayant un dénominateur de degré supérieur à celui de Zx.
Or dans ce cas, comme il est connu, aura lieu l'égalité suivante
^Z^{ûo{x)^lÔ{x))dx = 0,
d'où il résulte
Jz2 Go (x) dx
f Z2 0 [x) dx
On voit d'après cela, que dans la résolution de nôtre problême, exigeant que le rapport
J'zHo{x)dx
Jz2 6 (x) dx
soit le plus grand ou le plus petit possible, il faut adopter pour X la plus grande ou la plus petite de ses valeurs pour lesquelles dans la suite des fractions réduites de l'intégrale
%{z)-lH^)^^
il en manque celle dont le dénominateur est de degré m.
§ 5. L'équation, qui détermine les valeurs de X, et l'expression du polynôme correspondant Z s'obtiennent facilement au moyen du développement de l'intégrale
en fraction continue. Ayant trouvé la réduite de ce développement au dénominateur de degré m, faisons d'abord disparaître dans les termes de cette fraction les diviseurs contenant la quantité X (ce qu'on peut faire toujours en multipliant le numérateur et le dénominateur par une certaine fonction de X). Le dénominateur prendra la forme
— 387- ^ où
désignent des fonctions entières de X.
Multipliant cette formule par une constante arbitraire, nous trouvons l'expression (2) GF, (A) aj"»-*- GF, (k) x"^-'-^ GF^ (X) x"^
qui embrasse tous les polynômes de degré non supérieur à m qui, étant multipliés par
donnent un produit qui se réduit à une fonction entière aux termes en x~^ près inclusivement. Remarquant que le polynôme cherché jouit de cette propriété même, nous concluons qu'il doit être représenté par la formule (2); or, le polynôme Z étant de degré non supérieur km — 1 , le terme en x^ dans cette formule appliquée à la détermination de Z doit disparaître, ce qui entraîne l'équation
En vertu de cette équation, d'après ce qui précède, on obtient pour le polynôme cherché l'expression suivante:
(4) Z= GF^ (k) x"^-' -+- GF, (X) x'^-'-i- ....
En déterminant la plus grande et la plus petite racine de l'équation Fo(X) = 0, nous trouverons la plus grande et la plus petite valeur du rapport
f Z2 ôo (x) dx
) Z^^{x)dx
Z étant un polynôme de degré m — 1 . Les expressions de Z pour lesquelles ce rapport atteint ses valeurs extrêmes sont données par la formule (4), quand on y remplace X par la plus grande et la plus petite racine de l'équation (3).
§ 6. Nous allons nous occuper maintenant d'un cas particulier, où les valeurs extrêmes du rapport
f Z^Qix)dx
et les valeurs correspondantes du polynôme Z s'obtiennent de la manière la plus simple d'après ce qui a été exposé. Ce cas aura lieu lorsque
L'intégrale
feo(g)-X(
:^^dx
se réduit dans ce cas à
or, en considérant la dernière intégrale comme limite de la somme
nous trouverons, en vertu de ce que nous avons montré dans le Mémoire sous le titre uSur les fractions continues^ *), que le dénominateur de la jw-ième réduite de l'intégrale
s'exprime â l'aide de '\'^^^ (ic), v|;^ {x) c'est-à-dire à l'aide des dénominateurs de la (w-*-l)-ième et m-ième réduitcs de l'intégrale
Jhj^>
*) Voir T. I, pag. 203—230.
par la formule
Les fonctions ^^^^i(ic), ^,„(^) étant respectivement de degrés m-*- 1, w, le terme le plus élevé du polynôme représenté par cette formule sera de la forme
et par conséquent dans le cas considéré l'équation qui détermine la valeur de X sera:
D'après ce qui a été démontré dans le § précédent la plus grande et la plus petite racine de cette équation donneront les valeurs extrêmes du rapport
\Z^xQ{x)dx
J Z2Q{x)dx
Pour déterminer les valeurs correspondantes du polynôme Z, multiplions d'après le § 5 la formule (5) par une constante arbitraire C et prenons pour X les deux racines nommées ci-dessus de l'équation ^^ (k) = 0.
On aura ainsi pour le polynôme cherché Z l'expression suivante:
qui peut être représentée par en posant
Dans le cas particulier où l'on a
0{x) = l, les dénominateurs
de réduites de l'intégrale
{b{z)dz r dz
se réduisent, comme on sait, aux fonctions de Legendre Xj, X2,. ... X^,. . . .
Par conséquent la plus grande et la plus petite racine de l'équation X^ = 0 représentent les valeurs extrêmes du rapport
J Z^xdx
J Z-^dx
Z étant un polynôme de degré m — 1 . En faisant dans la formule
\ égal à ces racines, nous aurons les expressions des polynômes pour lesquels ce rapport atteint ces valeurs extrêmes.
§ 7. Après avoir montré comment se déterminent les valeurs extrêmes du rapport
r Z2 60 {X) dx
r Z2 Ô {x) dx
z étant un polynôme de degré donné, revenons maintenant à nôtre problême de la recherche du maximum et du minimum du rapport
\ Yvdx
Y étant un polynôme de degré n et conservant le signe -h entre x = — 1 et a; = -H 1 . Ces valeurs extrêmes du rapport
comme on l'a vu dans le § 2, seront égales aux limites que le rapport
J Zi (1 -i-xf (1 - xfo^dx
ne peut dépasser, lorsque p =: 0 ou 1 , p^ = 0 ou 1 , Z étant un polynôme de degré non supérieur à "~ 2~^°' I^^signant par E " ~ ''^~ ^" le plus grand nombre entier contenu dans " ~ p ~ p» et remarquant que l'expression générale d'un polynôme de degré E ^~^~^o renferme comme cas particuliers les polynômes de tous les degrés inférieurs, nous trouverons ces limites d'après ce qu'on a vu dans les §§ 2 et 3, en posant
6^ (x) = (1 -+- xf (1 — xf"" u, e {x) ={\^x)\\— xf V, (6) m— 1=:E^-P-P°,
et en faisant à l'égard des nombres p, p^ les 4 suppositions suivantes:
1) p = 0, po = 0,
2) p = l, po = 0, 3)p = 0, po=l, 4) p=.l, po=l.
Les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs extrêmes du rapport
J Z^il-i-xf {l—xfOudx
Z'^il-t-xY {l—xfo^dx
pour ces ^'aleurs des p, po et les valeurs correspondantes de m — 1, seront les limites du rapport
j Tvdx
le polynôme Y étant de degré non supérieur à n et conservant le signe ■ entre x = — 1 et a? = H-l.
§ 8. Nous allons montrer maintenant comment ces limites se trouvent dans un cas singulièrement simple, savoir, quand w = xv. Pour une telle valeur de m, d'après § 6, les valeurs extrêmes du rapport
jZ2{l-^xf{l—xf(^vdx
pour un polynôme Z de degré m — 1 , seront égales à la plus grande et la plus petite racine de l'équation
^^m (^) étant le dénominateur de la w-ième réduite de l'intégrale f-i
qu'on obtient par le développement de cette intégrale en fraction continue. Pour trouver les valeurs extrêmes de ce rapport, qui sont d'après ce qui précède les limites du rapport
I Txudx
j Tudx
lorsque le polynôme Y est de degré non supérieur à ^ et reste positif entre x = — 1 et a; = H-l, nous devons considérer 4 hypothèses à l'égard des nombre p, p^:
p = 0, po=0,
P = 0, Po=l, p = l, Po=l;
en leur faisant correspondre les valeurs suivantes de m:
Désignant par
V~\^), -t-i^'W, ¥^'(^), i'ïC'c)
les fonctions auxquelles se réduit la fonction 'l»^ (x) pour les valeurs précédentes de p, po , nous remarquons que les plus grandes et les plus petites des racines des équations
(8) ^1^; (X) = 0, ^ïï (X) = 0, ^s (^) = 0, ^s; w = o
seront égales aux valeurs extrêmes du rapport
r J Z2{l-t-xf {l—xfoudx
et parmi celles-ci la plus grande et la plus petite seront les valeurs extrêmes du rapport
J Yxudx
Yudx
dans les conditions posées.
Passant à la détermination des fonctions
^g\x), ^2'(^), ^Ti^), V^'ix)
pour différentes valeurs de m, nous remarquons d'abord que la première entre elles
correspondante à
se trouvera à l'aide du développement de l'intégrale
en fraction continue, cette fonction étant comme on l'a vu le dénominateur de la w-me réduite.
D'après la formule (5), en y faisant X = =^z 1 et remplaçant 4'm(^)) ^m-»-i (^) P^^ ^w (^)? Mm+i (^)j ûous trouverous les expressions suivantes des fonctions 4^» (a;), ^S^(ic) qu'on détermine à l'aide du développement des intégrales
j {l-t-z)udz j (1 — z)ud I X — z ' I x — z
en fractions continues:
Wj T"» W —
Par la même formule, en y remplaçant ^„(a;), ^„^i(iP) par ^SH^)» ^mVi(^) 6* posant X=l, nous trouverons l'expression suivante de la fonction i^'^^ (x) qui se détermine par le développement de l'intégrale
à l'aide de la fonction '^S W déterminée par le développement de l'intégrale
, „, , . g(-')^a-iw-i'Si.(-')-^g'w
Tm V^J a; -H 1
En substituant dans la dernière égalité les expressions des fonctions 4^m (^)) 'W+ii^) tirées de (10), nous trouverons qu'elle se réduit à la suivante
(11) +m(a^) = ^rZTÎ '
OÙ
i=%^[')'^ll(l)'l'li'(-l)-+2'(l)<l'i'l>(-l)],
^= %^ [-Hil» (i)'K' (- 1) - +ï (1) ^-L'I^ (-1)],
N= %^ [iïï-.(i)'i'i'i.(-i)-'i'i;i-.(i)4'i;i-2(-i)]-
C'est ainsi qu'on trouvera toutes les fonctions qui figurent dans l'équation (8). Quant aux nombres
m^, ^2, mg, m,,
qui déterminent les degrés de ces équations, on trouve d'après (7) en posant
n = 2l, les égalités
et posant
n = 2l—lj
on aura
§ 9. Dans le cas particulier oii
M= 1, les fonctions
représentant les dénominateurs des fractions réduites du développement de l'intégrale
dz X — z
en fraction continue, se réduisent, comme il a été déjà remarqué dans le § 6, aux fonctions de Legendre
^ij ^2J -^37- • • •;
et par suite dans le cas considéré nous aurons
en vertu des propriétés des fonctions de Legendre on aura dans ce cas
it:'(-i)=ii;v.(-i)=(-ir; ii';i(-i)=-(-ir;
d'après cela les équations (9), (10) et (11) nous donnent
^'S{^)=i-ir
^L*H^)-(-ir%^E^-
Remarquant d'ailleurs que d'après les propriétés des fonctions de Legendre
nous trouvons que la dernière des formules précédentes conduit à l'expression suivante de la fonction '|î*' {x) :
,1 ,(4) f^\ / 1 \Wl 2m -t- 3 Xjn-^i ^ — ^m
Il en suit d'après le § 8 que les valeurs extrêmes du rapport
r Yxdx
le polynôme Y restant positif entre x = — 1 et ir = -h 1 , se trouveront au moyen des équations
lorsque le degré de Y n'est pas supérieur à 2/, et au moyeu des équations
'Y^l{x) = Xj = 0,
'VZi^) = {-i)'^^^^--
-Xi
lorsque le degré de Y n'est par supérieur à 2h — 1 .
§ 10. Au moyen de ces équations nous trouverons la limite supérieure du rapport
J Yxdx
J Ydx
en déterminant la plus grande quantité qui satisfait à une équation quelconque parmi les équations (12) ou (13), selon que la limite du degré du polynôme Test égale à 2^ ou à 2^ — 1.
Cela se fait facilement en vertu des propriétés des fonctions de Legendre.
La fonction de Legendre X^ admet toujours, comme on le sait, des valeurs de signes contraires pour deux racines consécutives de l'équation
donc, il est certain que dans chacun des l intervalles entre ces dernières se trouvent des racines des équations de degré l
^i^x ■+■ Xi __ Q Xi^i — Xi __ Q X/,i x — Xi __ Q
iC-Hl ' X — 1 ' X^— l
D'où l'on voit que toutes les racines des équations précédentes sont plus petites que la plus grande racine de l'équation
par conséquent c'est cette dernière racine qui représente la plus grande des quantités qui satisfont à l'une quelconque des équations (12). En appliquant les mêmes raisonnements aux équations
nous nous convaincons de ce que toutes les racines de l'équation
Xix-Xi,f.
seront moindres que la plus grande racine de l'équation
Cette racine surpassera en même temps toutes les racines de l'équation
parceque, d'après ce qui précède, ces dernières sont plus petites que la plus grande des racines de l'équation
et que d'ailleurs, comme il est connu, dans l'intervalle entre cette racine et la plus grande racine de l'équation
la fonction X^^, conserve le signe — , et la fonction X^ le signe -h, ce qui entraine certainement l'impossibilité d'une racine de l'équation
supérieure à la plus grande des racines de l'équation X, = 0.
Or remarquant que pour cette racine la valeur de la fonction X^^^ a le signe — , nous concluons que cette racine sera elle-même inférieure à la plus grande racine de l'équation
D'oii l'on voit que la plus grande quantité de toutes celles qui satisfont à l'une quelconque des équations (13) est la plus grande racine de l'équation
qui, après la suppression du diviseur x-^l, qui n'inilut pas sur la valeur de cette racine, se réduit à la suivante:
§ 11. De ce que nous avons démontré à l'égard des quantités les plus grandes de celles qui satisfont aux équations (12) et (13) il suit que la limite supérieure du rapport
J Yxdx
le polynôme Y restant positif entre x= — 1 eta; = -f-l, sera égale à la plus grande racine de l'équation
ou de l'équation
selon que la limite supérieure du degré du polynôme Y est égale à 2/ ou à 21 — 1. Remarquant que la formule
Yxdx
) Tdx
est également susceptible de donner des valeurs positives ainsi que des valeurs négatives nous concluons que les limites supérieures de sa valeur, déterminées de la manière indiquée, représentent en mêmes temps les limites supérieures de ses valeurs numériques.
D'ailleurs, le rapport
Ydx
ne changeant pas de valeur par le changement de Y en — Y, on voit que les limites de ce rapport déterminées dans la supposition que Y conserve le signe H- entre x = — 1 eta; = -t-l auront lieu aussi dans le cas où Y conserve le signe — entre x = — 1 eta;=-i-l, et par suite lorsque en général Y ne change pas de signe dans l'intervalle donné.
C'est ainsi qu'on obtient, en vertu de ce que nous avons démontré à l'égard de la limite supérieure du rapport
r Yxdcc
le théorème suivant:
Théorème.
Si Y désigne un ^polynôme qui ne change pas de signe entre x= — 1 et x = -i-l et dont le degré ne surpasse pas n, la valeur numérique du rapport
'(~Ydx
ne surpasse pas la plus grande racine de V équation ^^^i = 0 om Z^^i-i-Z^ = 0, selon qu'on a n=2l ou n = 2l — 1, où X^, X^^^ désignent les fonctions de Legendre des degrés l et l-\-\.
§ 12. Nous allons montrer maintenant une application du théorème démontré. Soit ABC un arc d'une courbe parabolique dont l'équation en coordonnées rectangulaires est:
y = f{x) = G^xP -H (7^^ xP-'-^ ....
Si cet arc de courbe entre les points ^ et C va toujours en s'élevant ou en s'abaissant et n'oifre point d'inflexions, il ne peut couper ni la corde AG, ni les droites AD, GD menées parallèllement aux axes de coordonnées par ses extrémités A et C; par conséquent le segment ABG représentera une partie du triangle rectangulaire formé par la corde AG et les droites
AD, BG parallèles aux axes des coordonnées. On voit d'après cela que le rapport
segment ACB triangle ACD
sera toujours plus petit que 1, quel que soit le degré de la courbe parabolique. D'ailleurs pour tout degré donné le rapport
segment ^CB triangle ACD
aura pour limite une quantité inférieure à 1.
C'est cette valeur limite du rapport
segment ACB triangle ACD '
que le théorème démontré va nous donner, comme nous allons le voir tout de suite.
Désignant par
^05 2/05 ^\1 Vx
les coordonnés des points A, G et remarquant que y = f{x), nous trouverons
AJ) = x^ — x^, GD=y, — y^=^f{x,) — fix,), ce qui nous donne l'expression de l'aire du triangle AGD que voici:
^C7D = S^(A^.)-A^,)), ce qu'on peut représenter sous la forme:
AGD--
)dx.
Passant à la détermination de l'aire du segment ÂGB, nous remarquons d'abord que l'aire du trapèze A^AGO^ s'exprime comme il suit:
A,ACG, = ^ (AA, -^ GG,) = '-^ {y,-^ y,) = ^-^ (f W -^ f{x,))-
quant à l'aire limitée par l'arc ABG et par les droites AA^^ ^fij, G fi, elle s'exprime par l'intégrale
f f{x) dx.
Retranchant cette dernière aire de la première on verra que l'aire du segment AGB s'exprime ainsi:
AGB = ^^ {f{x,) -+- fix,)) — J fix) dx,
ce qui se réduit à
AGB = lf (x) [x— ^^] dx,
Xq
au moyen de l'intégration par parties, en posant
jdx = x — ''-^'
D'après les valeurs trouvées des aires du triangle AGD et du segment AGB leur rapport s'exprime ainsi:
segment ACB xq
triangle ACD Xi '
''-^\f{x)dx
Xq
ce qui se réduit à l'égalité
segment ACB — i
triangle ACD ^i '
en introduisant la variable t au lieu de x, au moyen de la substitution
Comme la ligne parabolique considérée entre les points A et (7 va toujours en s' élevant ou en s'abaissant, son équation 'étant
la dérivée
eutre les limites t = — 1 et ^ = -i- 1 correspondantes à ces points, ne changera pas de signe, et par suite on pourra appliquer le théorème mentionné à l'expression
représentant la valeur du rapport
segment ACB triangle ACD
Or remarquant que la fonction entière f'{x) est ici de degré non supérieur k p — 1, nous devons prendre d'après ce théorème n=p — 1. Ainsi en vertu de ce théorème nous arrivons à la conclusion que le rapport
segment ACB triangle ACD
ne surpassera pas la plus grande racine de l'équation
la courbe parabolique étant de degré non supérieur à 2^-4-1, ou de l'équation
si ce degré ne surpasse pas 21.
Posant ^ = 1 , nous trouvons que la première de ces équations se réduit à celle-ci:
et la seconde à
Remarquant que la plus grande racine de la première équation est l/y et de la seconde y, nous concluons d'après ce qui précède que la limite supérieure du rapport
segment ACB triangle ACB
pour les lignes paraboliques du second degré est -g- et pour celles du troisième y Y'
