LORSQUE LA FONCTION SOUS LE SIGNE EST DECOMPOSEE EN DEUX FACTEURS

(TRADUIT VA-R C. A. POSSÉ.)

(Lu le 10 mai 1883.)

GSib odnoM'6 pji3r6^

9ocmaêAJiioîncM'6 npeQfSjiiuuji Scauzuuu uufnezpaAoê'S npu pa3Ao:^euiu noSisuHfncepajtHoû chtfufmiu ua MHo:Jcunicjiu.

(IIpnjioKeHie k-b XLVII-My Tony SanHCOKi. IlMnepaTopcKoâ AKa3,eMin HayKt, JNs 4, 1883 r.)

Sur une série qui fournit les valeurs extrêmes

des Intégrales, lorsque la fonction sous le signe

est décomposée en deux facteurs.

§ 1 . Dans une Note sous le titre : Sur le développement des fonctions à une seule variable *), nous avons indiqué plusieurs séries pour le développement des fonctions, qui résultent de la formule générale d'interpolation par la méthode des moindres carrés que nous avons donné dans le Mémoire sous le titre: Sur les fractions continues ■^^). Les termes de ces séries se composent des polynômes déterminés par le développement en fraction continue d'une intégrale de la forme

les dénominateurs des réduites qui s'obtiennent dans un tel développement sont justement ces polynômes suivant lesquels les fonctions se développent en séries, dont il était question dans notre Note.

Nous allons montrer maintenant une série d'un autre genre renfermant les mêmes polynômes. Cette série ne donne pas des valeurs approchées des fonctions sous la forme des polynômes, comme le faisaient les anciennes, mais elle fournit des expressions approchées, avec des termes complémentaires, des intégrales définies, ces expressions étant formées des intégrales plus simples sous certain égard, savoir: pour l'évaluation d'une intégrale de la forme

\ U{x) f,{x) 6\x)dx,

où figure un produit de trois fonctions

on obtient une expression approchée composée d'intégrales où figurent sous le signe d'intégration séparément les fonctions

multipliées par les polynômes mentionnés ci-dessus.

§ 2. Cette série, ainsi que son terme complémentaire, se déduisent facilement en considérant l'intégrale multiple

les fonctions

T=\F,S,S,Oidx,dx,...,dx^,

^05 -fo5 ^^05 '^l

étant déterminées par les formules:

^{x) = {x — x^) ix — x,) [x — xj,

La dernière égalité, après la substitution des valeurs de cp'(a?o), ^\x^,. . . . o'(a;J, se réduit à celle qui suit:

(3) Po= ± [[Xo — x^) (x^ — x^) (oc, — xJ (\-i — \)J'

Les limites de toutes les variables dans les intégrales que nous considérons sont les mêmes, savoir: a et b.

Remarquant d'après la structure des fonctions /S^, S^ que leur produit est égal à une somme de termes de la forme:

(f'ixi) ç'(a;A)'

où

i = 0, Ij. . . . n,

fe=0, 1, n,

nous concluons que l'intégrale (1) se décompose en une somme d'intégrales:

Cette somme renferme des termes de deux genres, à savoir: 1) ceux dans lesquels i = k, 2) ceux dans lesquels i diffère de k.

Les indices i et k ayant dans cette somme toutes les valeurs de 0 à n, il y aura w-*-l termes du premier genre et (w-*- 1) n termes du second genre. Or, d'après la symétrie par rapport aux variables

Xq, a^i,. . . . x^,

les termes du premier genre auront la valeur commune

fjJâlfii^p^^dx.dx, dx„,

9'{Xo) ç'(Xo) 0 0 0 1 „)

représentant le terme qui correspond à i = 0, /v =: 0, et les termes du second genre auront la valeur commune

représentant le terme qui correspond à ^ = 0, fc= 1; donc l'intégrale (1) que nous considérons se décompose de la manière suivante:

. dx„

§ 3. Pour simplifier la première des intégrales qui entrent au second membre de cette égalité nous introduirons des nouvelles fonctions 0^^ ^, Pj, en posant

0\x^)0'ix,) 0'{xJ = P,.

Comparant ces égalités aux égalités (2) nous remarquons que

Si l'on différentie la dernière égalité par rapport à x, nous aurons:

?' (^) = 0{x)-*r. (x — X,) 0' (x); xz=x,, x^, x^, x^,

d'oij, en faisant

et remarquant que d'après (5) les valeurs a; = ic,, i^a?- • • -^n annulent la fonction ^(x), nous déduisons

(7) ^'{x,)=0{x,), o {x,)=(x,—Xo) 0\x,), . . . . , cp'(rrj=(a;„— a-o) 0\xj. En multipliant ces égalités, nous trouvons:

(x, - X,) {x, — x,). . . . (^„ — ^o) ^(^o) ^'(^i) ^' W .... ^'K)' Comme on a d'après (5)

ix, — X,) {X, — Xo). . . . {X^^ — X,) =:{—!)'' 0{X,\ 0'iX,)0'ix,)....0\xJ = P,,

et d'après (2)

?'W ? W 9(^2) 9i\) = Po^

l'égalité obtenue nous donne

(8) p^ = (--rr0'(x,)p,.

Substituant les valeurs de Pg, Û^, ^'(^o) tirées de (8), (6), (7) dans l'intégrale

I — TT s — 7~/ s -Ln (y r\ ttXn 0/X, Cl/Xa . . . i CIX„ .

? (a^o) ? (a^o) 00012 ni

nous remarquons qu'elle se réduit à la suivante:

[ (— 1 )" f, (X,) /; {X,) P, œ {X,) d^ dx, dx, dx,.... dx^ .

Les fonctions P^, 0^ ne renfermant pas d'après (5) la variable a^o, cette intégrale se décompose en deux facteurs suivants:

\{r-\rP,0^^dx,dx,. . . . dx^•\f,{x,)f,{x,)â^x,)dXo.

En vertu de cela, désignant par G la valeur de l'intégrale

\{~irP,0^'dx,dx,...,dx^^,

indépendante des fonctions /i (x), f^ {x), nous obtenons pour la détermination de la première des intégrales contenues dans l'égalité (4) la formule:

§ 4. Passant à la simplification de l'intégrale

, =^! AN Po G^ dx^ dx, dx, dx^ dx^,

nous introduirons encore trois nouvelles fonctions, en posant

âix,)0{x,)....â{xj^â„ (10) { (x — x,) (x^x,). . . .{x — x^)-^.0,{x),

^\iX,)0\{X,)....0\{X^) = P,,

Comparant les deux premières des égalités (10) aux égalités correspondantes (5), on déduit:

Cette dernière égalité étant différentiée par rapport à x, donne

0' (x) = 0^ (x) -i-{x — fl?i) 0\ (x); d'oii, en posant

et remarquant que la fonction 0\{x) s'annule d'après (10) pour x = x^, 0^3, . . . .x^, nous obtenons

(12) 0\x,)=0^{x,\ 0\x,) = (x,-x^)0\ix,l,..,, ^' {x^) = (x-x,) 0\{x^).

Multipliant ces égalités, nous trouvons

0'{x;) 0'(x^) 0'{x,). . . . 0\x^) = {x,-^x,) ix, — x,). . . .{x^ — x,) 0,{x,) 0\{x,) 0\ix,). . ..0\{xj',

d'oii l'on tire, en vertu des égalités (5), (10), l'expression suivante de la fonction P^:

. P, = {-ir-'0,^x,)P,;

et par conséquent l'égalité (8) nous donne

En y substituant d'après (12) 0'(x^) au lieu de 0^ix^) et remplaçant d'après (7) la fonction 0{xo) par o{Xq) et la fonction 0'{x^) par J l.^y nous obtenons

Or en mettant cette valeur de P^ dans l'intégrale

v^) vÊ ^» ^«' '^''»''^' ''''^ ''''-■•• ''''•■

et en y remplaçant d'après (6) la fonction <9o par le produit 6 {x^ 6^ et la fonction 6^ d'après (11) par le produit 0{x^6^^ nous trouvons que cette intégrale se réduit à la suivante:

Ù W /•, (^.) 6' (^o) 6^(x,) ^2^-1-' P, 6,' dx, dx,.... dx„,

ce qu'on peut aussi représenter par

— I fo (^o) /; K) ^(^0 , ^i) ^' w 6' (^i) ^^0 ^^1,

oii l'on a désigné par

la fonction des deux variables Xq, x^, déterminée par l'égalité

^(^0, ^d =|^^7^^ ^2^/ d^.dx, .... dx^.

§ 5. En vertu de ces transformations des intégrales qui entrent au second membre de l'égalité (4), elle se réduit à celle ci

f T = (»^ -*- 1) (7 f fo (a^o) fi W ^' W dx, (14) {

[ — (w -i- 1) w I fo (^o) fi (^i) ^(^0 , ^i) ^' W ^' fe) ^^0 dx, ,

T étant d'après (1) la valeur de l'intégrale

JPo^o'^i^o'^^o^^i....^^„.

Nous allons montrer maintenant comment s'obtiennent les limites entre lesquelles se trouve renfermée la valeur de cette intégrale.

D'après (2) les fonctions Sq, S^^ se déterminent par les égalités:

g -,/i(a"o) , fijxi) ^ , /i(^n),

En mettant ici d'après (7)

au lieu de

nous remarquons que ces égalités peuvent être représentées sous la forme

1 Q — J ff Cr ^ ^^^o)/oK) <^i^o)foM 1

i Q — L r/'/'r^-^iî2lM^iL. <P(^o)/i(a;n) "1

(*^l— <Z'(a-o)L'l^ '^ (a:o-x,)(^'(Xi) (^o-^„)<Z^'(^n)J*

Si l'on considère la première de ces égalités, où d'après (5)

0 {X) =z{x X^) {X X^. . . ,{X Xj,

on remarque que l'expression renfermée entre les parenthèses [ ] représente la différence entre la valeur de la fonction f^ {x) pour x = Xq et la valeur que donne la formule d'interpolation de Lagrange pour la détermination de f^ixo) d'après les valeurs de f^ix) pour ic=:a;,, x^,. . . ,x^. Le rapport de cette différence à la valeur de

{Xq — Xi) (Xq — X^).. . {Xq — Xn)

ne sort pas, comme on le sait, des limites dans lesquelles reste renfermée la dérivée

dx"'

pour x=Xq, x^^ Xç^,. . . .x^ et pour les valeurs intermédiaires.

Remarquant d'ailleurs, d'après ce qui a été admis à l'égard des limites d'intégration, que toutes ces valeurs se trouvent entre a et h, nous concluons que ce rapport est égal à une certaine quantité iHf^, moyenne entre les valeurs de la dérivée

dx"'

dans les limites a et h. Par conséquent, d'après l'égalité (15), nous aurons

o (Xq — Xi) {Xq ^ a;^) . ■ . . (xq — a;^) Mp

*^o— l.2....n 0{xo)'

Eu remplaçant ici d'après (5) le produit

{Xo — X,) {x, — X^) (^0— ^n)

par ^(^o), nous trouvons l'expression de Sq qui, étant simplifiée, se réduit à la suivante:

On trouve d'une manière analogue

M^ étant une moyenne entre les valeurs de la dérivée

dans l'intervalle x = a, x = h.

En vertu des égalités que nous avons déduites à l'égard des valeurs des fonctions S^, S^ dans l'intégrale

et remarquant que le facteur PqÔo^ d'après (3) n'y change pas de signe, nous concluons que pour certaines valeurs Mq, M^^ ne sortant pas des limites entre lesquelles restent les dérivées

dx^ ' dx"

dans l'intervalle de x = a k x = h, aura lieu l'égalité suivante:

§ 6. Substituant cette valeur de T dans l'égalité (14) nous obtenons l'équation

J^jp,0^^dx,dx,.,.dx^={n-^l) cjf^ W /; W 6^ W dx,

—{n-\-l)n^f,{Xo)f,{x;)F(x^,x;)6\x,)6\x;)dx,dx„

d'où il résulte la formule suivante pour l'évaluation de l'intégrale

(17) [fo M A (^o) ^' W dx, =jfo (x,) /; {X,) î^^^^ â' ix,) 6' {x,) dx, dx,

MQMijPQÙQ^dxodXi dXn

~* {1.2....m)2(wm-1)C

C'est de cette formule que nous tirons la série qui fait l'objet de cette Note, en développant la fonction

suivant les termes composés des polynômes qui s'obtiennent, comme on l'avait dit au § 1, au moyen du développement de l'intégrale

62 (s) dz X — z

en fraction continue et que nous désignerons par

^oi^)i '^l(^), '\'»{^)i

D'après la propriété connue de ces polynômes, en vertu de la formule (17), il est facile de faire un tel développenient de la fonction

sans qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur de l'intégrale

qui donne l'expression de la fonction

FiXç,, x^.

d'après l'équation (13).

Nous ne ferons que remarquer d'après cette équation que F[Xq^ x^ est une fonction entière de degré inférieur à w, tant par rapport à x^ que par rapport à rr^, comme cela résulte de ce que d'après (2) le produit ?' W ?' W 6st divisible par {x^ — x^ et ne contient des puisances ni de rCo, ni de x^ supérieures à w-t- 1. D'après la propriété des polynômes

toute puissance de x inférieure à n pouvant être représentée par la somme

la fonction

d'après ce qu'on a remarqué ci-dessus à l'égard de la fonction F{x^^ ic^), pourra être représentée par la somme

y,G,^M^^ux,),

X et [J^ restant moindres que n.

En mettant cette somme au lieu de

dans la formule (17), nous obtenons l'égalité

\a^,)a^,)à\x^àx,-==\u{x,)f,{x^^^

Mo ilf 1 C Pq Oq^ dxQ dxi dxn

qui, comme il est aisé de reconnaître, peut être représentée comme il suit:

(18) ^Ux)f,(x)Û\x)dx=y^C,Jf,ixy].,(x)â\x)dx\f,{xy\^^(x)^

Mo Ml j Pq Oq^ dxo rfx, . . . . dxn

~^ {1.2....nf{n-^])(;

En vertu de la propriété connue des polynômes

'lo(^), 'J^i(^), 'h(^), —

de satisfaire à l'équation

(19) \'h,{x)'i^,ix)ô'{x)dx=0

pour i différent de k, il n'est pas difficile de trouver la valeur des coefficients

qui figurent dans cette formule. En effet, si l'on y pose

oi^i

l < î?, m < n, les dérivées

dx** dx^ ' dx" dx^

seront égales à zéro. Par suite, d'après ce qui a été dit au § 5 à l'égard des quantités M^, M^, celles-ci seront aussi égales à zéro; donc, pour de telles valeurs des fonctions fo{x)j fi{x), la formule (18) se réduira à l'égalité

I U^) ^«(^) ^'(^) dx=^ C^^ J '\^^(x) '^,{x) 6' {X) dx \ ^l^^{x) ^^{x) 0\x) dx.

Remarquant d'après (19) que les intégrales

\']^^{x)^.Sx)6^{x)dx,

[^^{x)'\^(x)6^{x)dx

se réduisent à zéro lorsque \%l, [J-^m, nous concluons que dans la somme

2 ^x,J'l/ W 'Ix W ^'{x)dx\'\>Jx) ^^{x) e\x)dx

tous les termes, à l'exception de celui- qui correspond à

X = L ut. = m,

s'évanouissent; en vertu de quoi l'égalité déduite nous donne

J^xW i'^^) â\x)dx=G,J'!^,'(x) 6\x)dx . \i/;{x) (^[x)dx; d'où il résulte pour la détermination du coefficient G-^ ^ la formule suivante

En y faisant X = [x, nous trouvons

çr __ i

^5^ j ^}^ (x) 6"- (x) <ix^

tandis que pour XJp. d'après l'égalité (19) on voit que

Il en suit que la somme

'E%\foi=') 'Wi^) 6\x)dx\f,{x) ^^(x) e\x)dx

ne contient que les termes dans lesquels X = (jt. et que dans ces termes le coefficient Cj^ a la valeur

|V(^)QM^)<?«' par conséquent l'égalité (18) se réduit à la suivante

\^U{x)U{o:)6\x)dx=^^-

l^X\x)^-'{x)dx

Mq Ml J Fq Ôq^ <ia;o «ïa^i dx^

"" (1.2....w)2(n-Hl)C '

oii la sommation s'étend, d'après ce qu'on a remarqué plus haut, aux valeurs suivantes de X:

§ 7. On peut aussi trouver sans peine la valeur de l'expression

[ Pq Oq^ Jxq dxi dx2 dXn

contenue dans le dernier terme de l'égalité déduite. On y arrive en y posant

Les dérivées

dx^ ' dx^

se réduisant dans ce cas à la quantité constante, égale à ^„'"H0), les quantités ilfo, M^ d'après ce qu'on en a dit au § 5 seront aussi égales à 4^„^"^(0); par conséquent pour

la formule (20) donnera

''[^^n{^)^l{x)(iHx)dx]^

\^'}^^\x)d\x)dxJ^^-

]^l^[x)b^(x)dx

[W'iS>)fi'Po%^dxQdx,....dXr, ~*~ (1.2....w)2(nH-l)C

Le nombre A étant moindre que >^, d'après ce qu on a vu au § précédent, les intégrales de la forme

\^^{x)^^{x)6\x)dx,

qui figurent sous le signe de la somme se réduisent à zéro en vertu de (19) et nous trouvons

(1.2....«)2(n-Hl)C

Cette égalité nous donne

J Po Oo2 dxo dxi....dxn J '\>n^ (x) 62 (x) dx^

ce qui, étant substitué dans la formule (20), la réduit à la suivante

[n{x)f,{x)6'{x)dx=^^

où la somme représente n termes de la série

J/o {^) 4^0 {X) 6^ (a:) (?a; ' J/i (X) ^0 (g:) 6' (a;) cZo; J/o [x) ^, {X) 62 (a;) dx . Ja (x) 4>i {x) 6' (x) c?.r

J'^l2(x)02(x)dx

J/o (x) ^^t (a;) 62 (x) Jo; » f /^ (a;) ^„t (x) 6^ (x) dx J^n i2(x)62(a:)dx

qui donne la valeur approchée de l'intégrale

et l'expression

représente son terme complémentaire.

Remarquant d'après ce qu'on a vu au § 5 que la valeur numérique des quantités Mq, M^ ne surpasse pas la plus grande valeur numérique des dérivées

dans les limites de l'intégration et désignant ces valeurs numériques maxi ma par A et B, nous concluons que la valeur numérique du terme complémentaire

j;|^Jt=W^'W<^-.

ne surpasse pas la valeur de

f^Jl^W^^KX^»^..

Quant au signe du terme complémentaire il se détermine facilement dans le cas où les dérivées

^"/o(^) dnf^{x)

ne changent pas de signe dans les limites de l'intégration.

Dans ce cas, d'après le § 5, les quantités M^^ M^ auront les signes des dérivées

dx^ ' (?a;"

dans les limites de l'intégration, et par suite le terme complémentaire

vu que les quantités

J.|„^(T„) 6'(x,)dx,„ [|„'")(0)]',

sont évidemment positives, aura le signe h- ou — selon que ces dérivées conservent des signes égaux ou contraires dans les limites d'intégration.

SUR LA REPRESENTATION DIS YILIÏÏRS LÏMÏTKS DIS fflTÉSRlLIS