PAR DES RÉSIDUS INTEGRAUX
(XIRADUXX PAH SOPHIE K0WAL3SVSKI.)
(Lu le 8 octobre 1885.)
(9 7ipc3omaêACHiu npo^dréA^nuxo Scauzuhis uufnczpaAoé'ô
nocpcdcntêoM'è uHm,ezpaAhuux'6 êuzcmoé'^.
(IIpHnosenie Kt LI TOuy SanncoETE. HMnepaTopcKoâ AKa^eMin HayKi., iNà 4, 1885 r, Acta mathematica. T. IX, 1886, p. 86—56.)
Sur la représentation des valeurs limites des Intégrales par des résidus Intégraux.
Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales *), publié en 1874 dans le Journal de Mathématiques de Liouville, nous avons communiqué quelques résultats concernant les valeurs limites de l'intégrale
\f{x)dx
dans le cas où l'on donne les valeurs des intégrales b b b
I f{x) dx, [ X f{x) dx, f x^ f{x) dXj... . ,
prises entre des limites plus vastes: a < ti, & > z;, et où la fonction inconnue f{x) reste positive pour toutes les valeurs réelles de x entre x = a et x = h.
D'après un théorème contenu dans ce Mémoire, si le nombre des intégrales données
\fix)dx, \xf{x)dx,.. . . \x'"'-'f{x)dx
est pair =^ 2m, les valeurs limites de l'intégrale
\fix)dx ne peuvent être déterminées que dans le cas où les limites u, v satisfont
*) T. n, pag. 183—185.
à une équation, dont les coefficients dépendent de la valeur des intégrales données.
Pour obtenir cette équation et les valeurs limites de l'intégrale
]f{x)dx
dans le cas où n, v satisfont à cette équation, nous développons l'intégrale
/(or)
dx
en une série procédant selon les puissances décroissantes de s b b
\f{x)dx \xfix)dx f{x) -1 a
Posant
lax)dx=:Ao, \xf{x)dx=A,,.,.. J^^"-YW^^ = A^p
nous obtenons donc pour l'intégrale
\lë-j^
l'expression approximative suivante, rigoureuse jusqu'au terme -^ inclusivement:
En désignant donc par
la fraction continue, que l'on obtient en développant l'expression
:éo 4 :éi . . ^2m—i
en fraction continue et en s'arrêtant à la m'®™° réduite, nous aurons par conséquent, aussi avec un degré d'approximation jusqu'au terme -^ inclusivement.
^dx=^-
Z—X Oi,g-
A l'aide de la fraction continue définie de cette façon, on établit l'équation à laquelle doivent satisfaire u et v, de même que les valeurs limites correspondantes de l'intégrale
jmdx.
En désignant par
la fraction ordinaire, à laquelle peut se réduire la fraction continue en question, et en égalant le dénominateur ^^(^) à zéro, on obtient l'équation
à laquelle doivent satisfaire les limites w et «; de l'intégrale
\f{x)dx.
Et en désignant par
toutes les racines de cette équation, disposées d'après leur grandeur croissante, on trouve que si l'on pose
les valeurs limites de l'intégrale en question
\f{x)dx
seront exprimées par les somme
Ces sommes sont composées des résidus de la fonction
par rapport aux racines de l'équation
contenues dans les limites
les racines ^^ et ^^ elles mêmes y étant comprises ou non.
Pour pouvoir exprimer ces sommes de résidus partiels par des résidus intégraux, nous conviendrons de désigner par w une quantité positive infiniment petite. Vu que dans ce cas les racines de l'équation
contenues dans les limites sont
et les racines, contenues dans les limites
sont
nous pouvons représenter les sommes précédentes par les résidus intégraux:
En conséquence des valeurs limites trouvées pour l'intégrale \f{x)àx
on aura donc
Zl Zl—tti
§ 2. Ces inégalités, de même que la solution d'un problème présentée dans le Mémoire mentionné plus haut et d'autres problèmes du même genre, découlent immédiatement de la représentation des valeurs limites de l'intégrale
\fix)dx
par des résidus intégraux dans le cas, où la limite supérieure de l'intégrale V reste arbitraire, mais la limite inférieure u coïncide avec la limite
inférieure des intégrales
\f{x)dx, \xf{x)dx,. . . .
Dans ce cas les valeurs limites de l'intégrale
\f{x)dx sont données par les formules suivantes:
(1) \màx < l F{z\
(2) \f{x)dx > l F{z),
OÙ F{z) est une fonction rationnelle, dont la valeur dépend du nombre des intégrales données
J f{x) dx, r X f{x) dx,. . . .
et de leurs valeurs. Cette fraction s'obtient facilement en développant l'intégrale
-dx
en fraction continue
«wi « -*- p»» -
dont les m dénominateurs peuvent toujours être trouvées, comme nous l'avons montré, lorsque l'on connaît les valeurs des 2m intégrales
\f{x)dx = A,, \xax)dx = A,,...., \x'''-'f{x)dx = A^^^.
En désignant comme auparavant par
la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue
nous désignerons par
la fraction ordinaire que nous obtenons en nous arrêtant au terme Si, outre les intégrales
\ax)dx = A,, \xf(x)dx=A,...., \x'''-'f{x)dx = A^^^,
on connaît aussi la valeur de l'intégrale
\x^''ax)dx = A^^^,
il est nécessaire, pour pouvoir déterminer la fraction rationnelle F(z) dans les formules (1) et (2), de déterminer non seulement la fraction continue précitée et les deux fractions ordinaires
mais aussi la valeur du coefficient de z dans le (m-f-l/^'°® dénominateur de la fraction continue, obtenue par le développement de l'expression
Nous désignerons ce coefficient par
§ 3. En étudiant la fraction rationnelle F{z)^ nous remarquons que sous sa forme générale elle peut être exprimée d'une manière simple par une fraction continue. Dans cette dernière les m premiers dénominateurs sont identiques avec ceux de la fraction continue
a^^-Hpi-
^^ ^ -t- Hm
que l'on obtient en développant l'intégrale
La fraction rationnelle F{z) pourra donc être représentée par la formule
oii Z est une fonction inconnue.
Cette fonction peut être exprimée à l'aide des fonctions cp^j (^), 9^(^) seulement, si l'on connaît les valeurs des 2m intégrales
\f{x)dx, \xf{x)dx, \x^'''-'f{x)dx.
Mais si l'on veut se servir de 2 m-»- 1 intégrales
\f{x)dx, \xf{x)dx, \x'''^f{x)dx,
il faudra encore, pour déterminer F(^), connaître une quantité constante a^^^. Dans le premier de ces deux cas, cette fonction sera donnée par la formule
dans laquelle y désigne la plus grande des deux quantités
a — v L 'l^wl») '\>miv) J'
Dans le second cas on trouve pour la détermination de Z deux formules différentes selon que la fraction
est positive ou négative. Dans le premier cas la fonction Z est définie par la formule
Da ns le second cas Z est donné par la formule
/'7\ y— (^ n\ (b — «)pS Ki-i(«) (b — a)2p5
(7) Z — a„^^, i^ — flj i p -H ^^^^^^ (i p)2^(l p)(b a?)'
OÙ
1 r^m-. («) ^m-i (^Ol ^ g — p L 4^OT (g) ^OT {y) J ^^"^^
b-vl ^rnib) ^m{^) J '"-*-'
§ 4. L'expression de la valeur limite de l'intégrale
\f{x)dx,
par les résidus intégraux nous conduit facilement à toutes les formules indiquées dans le Mémoire précité.
En supposant connues les valeurs des 2m intégrales
\f{x)dx, ^xf{x)dx, \x'"'-'f{x)dx
et supposant de plus que l'on cherche la valeur limite de l'intégrale
\f{x)dx
pour une valeur de v satisfaisant à l'équation
nous remarquons que d'après le § 3 la valeur de Z sera donnée dans ce cas par la formule
d'où il résulte
Z=oo à cause de l'équation
Par conséquent, d'après le § 3,
En substituant à la fraction continue la fraction ordinaire qui lui est égale
on trouve
Pour cette valeur de 'F{z) les formules (1), (2) nous donnent
a a— eu
Ceci aura lieu pour toutes les valeurs de v satisfaisant à l'équation
En posant successivement où ^^ et 0^ signifient comme auparavant les racines de l'équation • et 0^ > ^i nous déduisons de ces formules
a a — tu a a—oi
Zl zi—oi zi zi-h(o
a— to
Et en retranchant les deux dernières inégalités des deux premières on trouve
Comme nous l'avons vu au § 1, ces inégalités nous conduisent aux mêmes valeurs limites de l'intégrale
que nous avons communiquées dans le Journal de Liouville pour le cas considéré.
§ 5. Pour appliquer les formules (1) et (2) à la résolution du problème proposé dans le Mémoire précité, nous supposons que les trois quantités données
sont déterminées par les formules suivantes:
p=^f{x)dx, d = l , k=:\{x — dff{x)dx,
et que l'on veut trouver les valeurs limites de l'intégrale
\f{x)dx
pour le cas où la fonction inconnue f{x) ne devient pas négative pour des valeurs de x entre 0 et &.
Vu que les trois quantités
p, d, Je
déterminent les valeurs des trois intégrales
f f(x) dx = p, f xf{x) dx=pdj f x^ f{x) dx =pd)^ -+- h.
les valeurs limites de l'intégrale
dans le problème considéré seront déterminées par les formules qui s'appliquent au cas, quand le nombre des intégrales données est impair 2m-i-l: il faut poser de plus
Pour déterminer la fraction continue
nous développons l'expression
en une fraction continue, en nous arrêtant toutefois au premier dénominateur, ce qui nous donne
OLiZ-i- !3| z d
Nous trouvons donc
Pour déterminer la quantité constante o^„i^i = (^2i ^^^^ développons en fraction continue l'expression
Aq Al A^ p . pd , pd^-t-Je
~z »~ T-r ~*~ "IS' — ~z •" lâ" ~*~ -a '
en nous arrêtant au second dénominateur et ne considérant que le premier terme de ce dernier. De cette manière nous trouvons
pd2-t-k 1 *" «3 Z-d
d'où l'on déduit, conformément à ce qui a été exposé au § 2,
§ 6. En substituant ces valeurs dans la formule (5) on trouve la fraction
pa
dont le signe décide, d'après le § 3, laquelle des deux formules (6), (7) doit être employée pour déterminer la fonction Z.
Vu que cette fraction ne change de signe que pour les valeurs
p{b — dy'" ^ pd
pour lesquelles elle devient od ou 0, tandis que pour ?;=oo et v= — oo elle est égale à -h 1 , on voit que cette fraction sera positive pour
et pour
tandis qu'elle est négative lorsque v est contenu entre les limites.
pib — d)^ ^ pd
Par conséquent, si
p{b-d) ou bien
nous devons, conformément au § 3, nous servir de la formule (6) pour déterminer la fonction Z^ ce qui nous donne
Au contraire, dans le cas où
■ <:v<d-ir-^
la fonction Z sera déterminée par la formule (7) qui nous donne
Z = Çz-^{2d-h-v)Ç-^ib~d)iv — d)%
k^{z — d)—pk2{b—d){v — d)d
En passant maintenant à la détermination de la fraction rationnelle F(z), conformément au § 3, nous remarquons que dans le cas considéré la fraction
continue
ne contient qu'un seul dénominateur
la formule (3) se réduit donc à
Aux deux valeurs de Z correspondent donc les valeurs suivantes de F{3)\
7^/ N ps^^ — pjb-i-v — d) s -*- k -i- {b — d)(v—d)p
La première de ces valeurs aura lieu, d'après ce que nous avons vu, dans le cas où
V <id 7T -Js 5
ou bien
la seconde dans le cas où
'>^-pd^
p{b — d)^''^-'*^^pd
En introduisant ces valeurs de F{z) dans les formules (1) et (2) et en posant a = 0, nous trouvons que les valeurs limites de l'intégrale
[ f{x) dx,
que nous clierclions dans le problème considéré, seront données par les formules
dans le cas où
\f{x)dx> l
\f{x)àx< l
piv-d)) k
^ p{b — d) ^ pd^
et par les formules
pz^ —p{b-i-v — d)z-t-k-i-{b — d){v — d)p z[z — b){z — v) '
{f(x)dx< r P^'-p{b-*-v-d)z-^k-^ib-d){v-d)p
dans le cas où
ci—-JL^^^v<d ■ ^
p{b-d) § 7. Si nous nous arrêtons au cas
pd
p{b-dY
nous remarquons que pour telles valeurs de v, ^ étant compris entre z = — ca et ^ =: «; it (0, la fraction
ne peut devenir oo que pour
vu que la seconde valeur z^=d — . ^., pour laquelle cette fraction devient oo, surpasse, pour les valeurs considérées de v et pour co infiniment petit, aussi bien v-noi que v — w. Quant ta la valeur
elle sera contenue, à cause de l'inégalité
(o>0, dans les limites
mais elle sera en dehors des limites
— w, V — co.
Par conséquent, pour les valeurs considérées de v^ le résidu intégral
se réduira à zéro, tandis que le résidu intégral
se réduira au résidu correspondant à qui est égal à
kp
~pib-d)
Par conséquent, dans le cas où t; < d jt—j^ les formules (8) se réduisent
aux suivantes:
^f{x)dx>0,
\ f{x)dx<. 7^— -Ki-
J ' V / = k -t-p [v — df
Passant maintenant au cas, où
nous
remarquons que dans
ce cas la valeur
--^ i^(r-rf)
pour
laquelle
la fraction
(^ ^H^ '--Pi^-
devient infinie, est contenue aussi bien entre les limites
— co, V — to qu'entre les limites
tandis que l'autre valeur z = v^ pour laquelle cette fraction devient aussi oo, n'est contenue qu'entre les deux dernières limites. Par conséquent le résidu intégral
V— co
se réduit au résidu
correspondant à
lequel est égal à
-df
v—df
tandis que le résidu
intégral
sera égal à la somme des résidus de la fraction
correspondants aux deux valeurs de z, pour lesquelles cette fraction devient
infinie. Cette somme est égale à p. Pour ces valeurs des résidus intégraux, les formules (8) nous donnent
I f{x)dx<p.
Il nous reste encore à étudier plus en détail le cas où
p{b — d) ^ ^ pd
Pour ces valeurs de v, les valeurs limites de intégrale
]fiœ)dx
sont données, d'après le § 6, par les formules
if(x)dx< / ï>2^—p{b-*-v-d)s-t-Jc-i-ib-d){v-d)p 0 —0)
Vu que des trois valeurs pour lesquelles la fraction
pz^ — p [b -t- V — d) z -i-k -t- {b — d}{v — d)d z{z — h){z — v)
devient infinie, la première, ^ = 0, est contenue aussi bien entre les limites
CO, V — co
qu'entre les limites
— co, t' -+- 0),
la seconde 0 = b n'est contenue ni entre les premières, ni entre les secondes limites, tandis que la troisième, 2 = v n'est contenue qu'entre les secondes limites, le résidu intégral
pz^ —p(b-\-v — d)z-t'k-i-{b — d){v — d)p z{z — b){z — V)
se réduit au résidu correspondant à ^ = 0, lequel est égal à
(& d){v — d)p-t-k bv '
tandis que le résidu intégral
r-t-co
pz^ — p{h -+- y — d) z -^-k -i- [h — d){v — d)p 7(7- 6) (^-r)
est égal à la somme des résidus correspondants h s = 0 et à -? = v; ces résidus sont respectivement égaux à
bv
ib-v)v '
leur somme est donc
Il résulte par conséquent de ces formules
On voit donc que de l'expression des valeurs limites de l'intégrale
\f(x)dx
à l'aide de résidus intégraux découlent toutes les formules communiquées dans mon Mémoire, inséré dans le Journal de Liouville sous le titre: Sur les valeurs limites des intégrales.
§ 8. Il est facile de s'assurer de l'exactitude des valeurs limites de l'intégrale ^
\f{x)dx
que nons avons trouvées pour le cas où l'on connaît les valeurs des intégrales
J f{x) dx, [ X f{x) dx, I x^ f{x) dx,
et que de plus la fonction inconnue f(x) reste positive entre a et &, à l'aide de l'équation
\Uf{x)dx = lUF{z),
laquelle aura toujours lieu, en conséquence des propriétés de la fonction rationnelle F{0) déterminée par les formules (3), (4), (6), (7), sitôt que U désigne une fonction entière dont le degré est moindre que le nombre des intégrales données
f f{x) dx, r X f(x) dXj ï x^ f{x) dx,....
Quant à la déduction de ces mêmes formules par la méthode des quantités maxima et minima, cette question sera l'objet d'un Mémoire particulier, dans lequel nous montrerons aussi d'autres applications de la fonction rationnelle F{^). On verra entre autre que les deux racines de l'équation
les plus rapprochées de la racine
fournissent la solution du problème suivant par rapport à la fonction f{x): dans quelles limites, en partant de x = v ou en finissant par x = v, la fonction f{x) peut-elle avoir une valeur constante égale à zéro?
En assignant à v dans les formules qui déterminent F{z^ certaines valeurs spéciales, nous trouvons deux fractions F^{z\ F^{z) telles, que les résidus intégraux
l FMH^\ l F,{z)6{z)
a — co a-t-co
représentent les valeurs limites de l'intégrale
J f{x) 6 ix) àx\
SOUS condition, que pour toutes les valeurs de x entre x = a et x = h la.
fonction 6 (x) reste finie et continue et que sa dérivée, dont l'ordre est égal
au nombre des intégrales données
J f{x) dx, \ X f{x) dx, J x'' f{x) dx,
lie change pas de sigue. Si le nombre de ces intégrales est pair, ces valeurs spéciales de F{z) peuvent être déduites des formules (3) et (4) eu supposant t; = &, ou bien v égal à une racine quelconque de l'équation ^^(a;) = 0. Si au contraire le nombre des intégrales données
J f{x) dx, \ X f{x) dx, [ x^"" f{x) dx,
est impair, les fractions F^{z) et F^{z) peuvent être déduites des formules (3) et (6) en supposant v=:a, v = b.
A l'aide des fractions, déterminées par les formules (3), (4), (6), (7) on peut aussi trouver les valeurs limites de l'intégrale
\f{x)dx
quelles que soient k, v pourvu seulement, que dans les intégrales données l'une des limites soit égale à =t oo.
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